В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

1) A - абсолютную пропускную способность СМО , т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

2) Q - относительную пропускную способность , т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

3) P_{\text{otk}} - вероятность отказа , т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

4) \overline{k} - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Примечание. Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu , т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu .

Система S (СМО) имеет два состояния: S_0 - канал свободен, S_1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.

В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений)

\begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}

т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1 , найдем из (18) предельные вероятности состояний

P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,

которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0 (когда канал свободен) и S_1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:

Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,

P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.

Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов

A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.

Пример 5. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda , равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

Решение. Имеем \lambda=90 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5 (1/мин) =30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25 , т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75 (см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5 , т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система (СМО) с отказами

Рассмотрим классическую задачу Эрланга . Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda . Поток обслуживании имеет интенсивность \mu . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n , где S_k - состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda . Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu . Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3 (три канала заняты) в S_2 , будет иметь интенсивность 3\mu , т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.

В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния

P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},

где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n} , будут представлять собой коэффициенты при p_0 в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n . Величина

\rho=\frac{\lambda}{\mu}

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала . Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь

P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е.

P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.

Абсолютная пропускная способность:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Среднее число занятых каналов \overline{k} есть математическое ожидание числа занятых каналов:

\overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),

где p_k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

\overline{k}=\frac{A}{\mu}

Или, учитывая (29), (24):

\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.

Пример 6. В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.

Решение. Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3 , т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2 мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры.

Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2 имеем

З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 и т.д.

Значение характеристик СМО сведем в табл. 1.

По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9 , следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9 - см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1) , а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67 .

Пример 7. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.

Решение. По условию n=3,~\lambda=0,\!25 (1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}} =3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33 . Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75 . Найдем предельные вероятности состояний:

– по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 ;

– по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 ;

т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).

Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033 .

По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967 , т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.

По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242 , т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки.

По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725 , т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%. .

При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).

СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

Покидает систему с отказами;

Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

На ожидание в очереди;

На простои каналов обслуживания.

Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :

- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;

- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;

- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.

Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

4.2. Моделирование системы массового обслуживания:

основ­ные параметры, граф состояний

При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

Основные параметры;

Граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

Характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок .

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.

Для простейших потоков заявок используются модели СМО.

Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .

Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.

Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.

Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.

Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом каналов обслуживания ;

Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;

Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

Составить перечень всех возможных состояний СМО;

Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;

Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

4.3. Вычисление вероятностей состояний

системы массового обслуживания

Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения" представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:

Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.

СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:

где - вероятность того, что система находится в состоянии

- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .

Используя эту систему уравнений, а также уравнение

вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :

вероятность нулевого состояния рассчитывается как

а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность

Выводы по четвертому разделу

Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.

Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.

Вопросы для самопроверки

Какие системы называются системами массового обслуживания?

Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?

Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?

Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?

Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?

Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?

Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?

Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?

Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?

Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?

Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?

Чем характеризуются механизмы обслуживания?

Что описывает граф состояний системы массового обслуживания

Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?

Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?

Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?

Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?

По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?

Примеры решения задач

1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.

а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Основные параметры:

Каналов ,

Интенсивность потока ,

Интенсивность обслуживания .

Возможные состояния системы:

Все каналов заняты ( заявок в системе).

Граф состояний:

Относительная пропускная способность ,

Вероятность отказа ,

Среднее число занятых каналов .

б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналы заняты, две заявки в очереди;

Все каналы заняты, заявок в очереди.

Граф состояний:

в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Канал занят, ноль заявок в очереди;

Канал занят, одна заявка в очереди;

...................................................................................

Канал занят, заявка в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

,

Среднее время пребывания заявки в системе ,

,

,

Абсолютная пропускная способность ,

Относительная пропускная способность .

г) n-канальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

Все каналы заняты, одна заявка в очереди;

....................................................................................

Все каналы заняты, заявок в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

Среднее число занятых каналов ,

Среднее число заявок в системе ,

Среднее число заявок в очереди ,

Среднее время пребывания заявки в очереди .

2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.

РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:

Число каналов ;

Интенсивность потока заявок (задача / час);

Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);

Длина очереди .

Перечень возможных состояний:

Заявок нет, все каналы свободны;

Один канал занят, два свободны;

Два канала заняты, один свободен;

Три канала заняты;

Три канала заняты, одна заявка в очереди;

Три канала заняты, две заявки в очереди;

Три канала заняты, три заявки в очереди.

Граф состояний:

Рассчитаем вероятность состояния :

Показатели эффективности:

Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых ЭВМ

3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).

РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .

1) Вероятность простоя каналов обслуживания:

,

3) Вероятность обслуживания:

4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

5) Доля каналов, занятых обслуживанием:

6) Абсолютная пропускная способность:

При . Произведя аналогичные расчеты для , получим

Так как , то произведя расчеты для , получим

ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .

1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):

.

2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

.

3) Вероятность очереди:

.

4) Среднее число заявок в очереди:

.

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

7) Среднее число свободных каналов:

.

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

.

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

Авт./дн.

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

причем 0!=1,0.

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

Так как , произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .

Задания для самостоятельной работы

Для каждой из следующих ситуаций определить:

a) к какому классу относится объект СМО;

b) число каналов ;

c) длину очереди ;

d)интенсивность потока заявок ;

e) интенсивность обслуживания одним каналом;

f) количество всех состояний объекта СМО.

В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:

a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;

b) =… (единиц);

c) =… (единиц);

d) =ххх/ххх (единиц /мин);

e) =ххх/ххх (единиц /мин);

f) (единиц).

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.

5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.

7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:

Составить перечень возможных состояний;

Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".

В ответе указать для каждой задачи:

Количество состояний системы;

Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.

Вариант № 1

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку

2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью

5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 2

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки

2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 3

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки

2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 4

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки

2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 5

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок

2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 6

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок

2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 7

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок

2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 8

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок

2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 9

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок

2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 10

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок

2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью

Примеры решения задач систем массового обслуживания

Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 2–4.

Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность входящего потока заявок П вх;

v – интенсивность выходящего потока заявок П вых;

μ – интенсивность потока обслуживания П об;

ρ – показатель нагрузки системы (трафик);

m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

i – число источников заявок;

p к – вероятность k-го состояния системы;

p о – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;

p сист – вероятность принятия заявки в систему;

p отк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

р об – вероятность того, что заявка будет обслужена;

А – абсолютная пропускная способность системы;

Q – относительная пропускная способность системы;

Оч – среднее число заявок в очереди;

Об – среднее число заявок под обслуживанием;

Сист – среднее число заявок в системе;

Оч – среднее время ожидания заявки в очереди;

Об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;

Сис – среднее время пребывания заявки в системе;

Ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;

– среднее число занятых каналов.

Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:

1) определение типа СМО по табл. 4.1;

2) выбор формул в соответствии с типом СМО;

3) решение задачи;

4) формулирование выводов по задаче.

1.Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения

решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 ,…,S n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния (S 0 , S n) - только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событии, переводящие систему по стрелкам графа,- простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс - простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоянии), существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, в число состояний конечно). Для первого состояния S 0 имеем:

(19.1)

Для второго состояния S 1:

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

где k принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности p 0 , p 1 , ..., р n удовлетворяют уравнениям

(19.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n =1. (19.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2)выразим p 1 через р 0 :

p 1 = p 0. (19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

(19.5)

Из третьего, с учетом (19.5),

(19.6)

и вообще, для любого k (от 1 до n ):

(19.7)

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S k), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S k).

Таким образом, все вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., р n выражены через одну из них (р 0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку р 0:

отсюда получим выражение для р 0 :

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р 0 (см. формулы (19.4) - (19.7)). Заметим, что коэффициенты при р 0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя р 0 , мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

^ 2. Формула Литтла. Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок L сист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ.

Обозначим: X(t} - число заявок, прибывших в СМО до момента t. Y (t ) - число заявок покинувших СМО

до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X (t )) и уходов заявок (Y(t)). Вид функций X(t) и Y(t) показан на рис. 19.2; обе линии - ступенчатые, верхняя - X(t), нижняя-Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z (t ) = X(t) - Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

L сист. = . (19.9) о

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 19.2. Разглядим хорошенько этот рисунок. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t 1 , t 2 ,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

(19.10)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (.19.10) на длину интервала Т. Получим, с учетом (19.9),

L сист. = . (19.11)

Разделим и умножим правую часть (19.11) на интенсивность X:

L сист. = .

Но величина Тλ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время ^ Т. Если мы разделим сумму всех времен t i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W сист. Итак,

L сист. = λW сист. ,

W сист. = . (19.12)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди ^ W оч и среднее число заявок в очереди L оч:

W оч = . (19.13)

Для вывода достаточно вместо нижней линии на рис. 19.2 взять функцию U(t) - количество заявок, ушедших до момента t не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).

Формулы Литтла (19.12) и (19.13) играют большую роль в теории массового обслуживания. К сожалению, в большинстве существующих руководств эти формулы (доказанные в общем виде сравнительно недавно) не приводятся 1).

§ 20. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим, некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга - не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель - познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживании». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания - показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином).

1) В популярной книжке дан несколько иной, по сравнению с вышеизложенным, вывод формулы Литтла. Вообще, знакомство с этой книжкой («Беседа вторая») полезно для первоначального ознакомления с теорией массового обслуживания.

В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.

Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.

^ 1. п -канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания;

эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлантом. Задача ставится так: имеется п каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания t об). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

^ А - абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

^ Р отк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

k - среднее число занятых каналов.

Решение. Состояния системы ^ S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 - в СМО нет ни одной заявки,

S 1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

S k - в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

S n - в СМО находится п заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели в размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф - проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S 0 в S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система перескакивает из S 0 в S 1). Тот же поток заявок переводит

Систему из любого левого состояния в соседнее правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии ^ S 1 (работает один канал). Он производит μ обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки S 1 → S 0 интенсивность μ. Теперь представим себе, что система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна 2μ; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживании, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3μ, k каналами - kμ. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р 0 в выражениях для p 1

Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения λ/μ. Обозначим

λ/μ = ρ (20.3)

И будем называть величину р «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл-среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:

Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем ^ Р отк . - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все п каналов были заняты, значит,

Р отк = р n = . (20.6)

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q = 1 – P отк. = 1 - (20.7)

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ, на Q:

A = λQ = λ . (20.8)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0, 1, ..., п и вероятностями этих значений р 0 р 1 , ..., р n:

k = 0 · р 0 + 1 · p 1 + 2 · р 2 + ... + п · р n .

Подставляя сюда выражения (20.5) для р k , (k = 0, 1, ..., п) и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для k. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый i .шал в единицу времени обслуживает в среднем |л заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

k = A/μ, (20.9)

или, учитывая (20.8),

k = (20.10)

Рекомендуем читателю самостоятельно решить пример. Имеется станция связи с тремя каналами (n = 3), интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки в минуту); среднее время обслуживания одной заявки t об = 2 (мин.), все потоки событий (как и во всем этом параграфе) - простейшие. Найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: А, Q, P отк, k. На всякий случай сообщаем ответы: p 0 = 1/13, p 1 = 3/13, p 2 = 9/26, р 3 = 9/26 ≈ 0,346,

А ≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P отк ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Из ответов видно, между прочим, что наша СМО в значительной мере перегружена: из трех каналов занято в среднем около двух, а из поступающих заявок около 35% остаются не обслуженными. Предлагаем читателю, если он любопытен и неленив, выяснить: сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее 80% поступающих заявок? И какая доля каналов при этом будет простаивать?

Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому и любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.

^ 2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживании имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки t об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

L сист. - среднее число заявок в системе,

W сист. - среднее время пребывания заявки в системе,

^ L оч - среднее число заявок в очереди,

W оч - среднее время пребывания заявки в очереди,

P зан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности:

в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А = λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S 0 - канал свободен,

S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

S k - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состоянии имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживании с интенсивностью μ.

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t → ∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если ρ строго меньше единицы (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t → ∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при ρ = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При ρ = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для р 0:

p 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +… .) -1 . (20.11)

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ρ < 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., p k , ... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

p 0 = 1 - ρ. (20.12)

Вероятности р 1 , р 2 , ..., р k , ... найдутся по формулам:

p 1 = ρp 0 , p 2 = ρ 2 p 0 ,…,p k = ρp 0 , ...,

Откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

p 1 = ρ (1 - ρ), p 2 = ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k = ρ k (1 - ρ), . . .(20.13)

Как видно, вероятности p 0 , p 1 , ..., p k , ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р 0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО ^ L сист . . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, .... k, ... с вероятностями p 0 , р 1 , р 2 , ..., p k , ... Ее математическое ожидание равно

L сист = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 +…+k · p k +…= (20.14)

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для p k (20.13):

L сист. =

Теперь вынесем за знак суммы ρ (1-ρ):

L сист. = ρ (1-ρ)

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: k ρ k -1 есть не что иное, как производная по ρ от выражения ρ k ; значит,

L сист. = ρ (1-ρ)

Меняя местами операции дифференцирования п суммирования, получим:

L сист. = ρ (1-ρ) (20.15)

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и знаменателем ρ; эта сумма

равна , а ее производная .Подставляя это выражение в (20.15), получим:

L сист = . (20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

W сист = (20.17)

Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди L оч равно среднему числу заявок в системе L сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Р зан). Очевидно, Р зан равно единице минус вероятность р 0 того, что канал свободен:

Р зан = 1 - р 0 = ρ. (20.18)

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

^ L об = ρ, (20.19)

L оч = L сист – ρ =

и окончательно

L оч = (20.20)

По формуле Литтла (19.13) найдем среднее время пребывания заявки в очереди:

(20.21)

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование)

состава длится случайное (показательное) время со средним значением t об = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее, число составов l сист, связанных со станцией, среднее время W сист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число L оч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время W оч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях L внеш и среднее время этого ожидания W внеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: L сист. = 2 (состава), W сист. = 1 (час), L оч = 4/3 (состава), W оч = 2/3 (часа), L внеш = 16/27 (состава), W внеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а : Ш ≈ 14,2а .

^ 3. re-канальная СМО с неограниченной очередью. Совершенно аналогично задаче 2, но чуточку более сложно, решается задача об n -канальной СМО с неограниченной очередью. Нумерация состояний - опять по числу заявок, находящихся в системе:

S 0 - в СМО заявок нет (все каналы свободны),

S 1 - занят один канал, остальные свободны,

S 2 - занято два канала, остальные свободны,

S k - занято k каналов, остальные свободны,

S n - заняты все п каналов (очереди нет),

S n+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

S n+r - заняты вес п каналов, r заявок стоит в очереди,

Граф состояний показан на рис. 20.3. Предлагаем читателю самому обдумать и обосновать значения интенсивностей, проставленных у стрелок. Граф рис. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

есть схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Сообщим без доказательства естественное условие существования финальных вероятностей: ρ/n <1. Если ρ/n ≥ 1, очередь растет до бесконечности.

Предположим, что условие ρ/n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для р 0 будет стоять ряд членов, содержащих факториалы, плюс сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n . Суммируя ее, найдем

(20.22)

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего находится среднее число занятых каналов k == λ/μ, = ρ (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в системе L сист и среднее число заявок в очереди L оч. Из них легче вычислить второе, по формуле

L оч =

выполняя соответствующие преобразования по образцу задачи 2

(с дифференцированием ряда), получим:

L оч = (20.23)

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же - среднее число занятых каналов) k = ρ, получим:

L сист = L оч + ρ. (20.24)

Деля выражения для L оч и L сист на λ, по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявки в очереди и в системе:

(20.25)

А теперь решим любопытный пример. Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближайший в очереди пассажир его занимает). Касса продает билеты в два пункта: А и В. Интенсивность потока заявок (пассажиров, желающих купить билет) для обоих пунктов А и В одинакова: λ А = λ В = 0,45 (пассажира в минуту), а в сумме они образуют общий поток заявок с интенсивностью λ А + λ В = 0,9. Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Опыт показывает, что у кассы скапливаются очереди, пассажиры жалуются на медленность обслуживания, Поступило рационализаторское предложение: вместо одной кассы, продающей билеты и в А и в В, создать две специализированные кассы (по одному окошку в каждой), продающие билеты одна - только в пункт А , другая - только в пункт В. Разумность этого предложения вызывает споры - кое-кто утверждает, что очереди останутся прежними. Требуется проверить полезность предложения расчетом. Так как мы умеем считать характеристики только для простейших СМО, допустим, что все потоки событий - простейшие (на качественной стороне выводов это не скажется).

Ну, что же, возьмемся за дело. Рассмотрим два варианта организации продажи билетов - существующий и предлагаемый.

Вариант I (существующий). На двухканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,9; интенсивность потока обслуживании μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l,8. Так как ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Среднее, число заявок в очереди находим по формуле (20.23): L оч ≈ 7,68; среднее время, проводимое заявкой в очереди (по первой из формул (20.25)), равно W оч ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предлагаемый). Надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окошка); на каждую поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,45; μ. по-прежнему равно 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L оч = 8,1.

Вот тебе и раз! Длина очереди, оказывается, не только не уменьшилась, а увеличилась! Может быть, уменьшилось среднее время ожидания в очереди? Посмотрим. Деля L оч на λ = 0,45, получим W оч ≈ 18 (минут).

Вот так рационализация! Вместо того чтобы уменьшиться, и средняя длина очереди, и среднее время ожидания в ней увеличились!

Давайте попробуем догадаться, почему так произошло? Пораскинув мозгами, приходим к выводу: произошло это потому, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет: незанятый кассир просто сидит, сложа руки...

Ну, ладно,- готов согласиться читатель,- увеличение можно объяснить, но почему оно такое существенное? Нет ли тут ошибки в расчете?

И на этот вопрос мы ответим. Ошибки нет. Дело в том, что в нашем примере обе СМО работают на пределе своих возможностей; стоит немного увеличить время обслуживания (т. е. уменьшить μ), как они уже перестанут справляться с потоком пассажиров, и очередь начнет неограниченно возрастать. А «лишние простои» кассира в каком-то смысле равносильны уменьшению его производительности μ.

Таким образом, кажущийся сначала парадоксальным (или даже просто неверным) результат вычислений оказывается на поверку правильным и объяснимым.

Такого рода парадоксальными выводами, причина которых отнюдь не очевидна, богата теория массового обслуживания. Автору самому неоднократно приходилось «удивляться» результатам расчетов, которые потом оказывались правильными.

Размышляя над последней задачей, читатель может поставить вопрос так: ведь если касса продает билеты только в один пункт, то, естественно, время обслуживания должно уменьшиться, ну, не вдвое, а хоть сколько-нибудь, а мы считали, что оно по-прежнему в среднем равно 2 (мин.). Предлагаем такому придирчивому читателю ответить на вопрос: а насколько надо его уменьшить, чтобы «рационализаторское предложение» стало выгодным? Снова мы встречаемся хотя и с элементарной, но все же задачей оптимизации. С помощью ориентировочных расчетов даже на самых простых, марковских моделях удается прояснить качественную сторону явления - как выгодно поступать, а как - невыгодно. В следующем параграфе мы познакомимся с некоторыми элементарными немарковскими моделями, которые еще расширят наши возможности.

После того, как читатель ознакомился с приемами вычисления финальных вероятностей состояний и характеристик эффективности для простейших СМО (овладел схемой гибели и размножения и формулой Литтла), ему можно предложить для самостоятельного рассмотрения еще две простейшие СМО.

^ 4. Одноканальная СМО с ограниченной очередью. Задача отличается от задачи 2 только тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО не обслуженной (получает отказ).

Надо найти финальные вероятности состояний (кстати, они в этой задаче существуют при любом ρ - ведь число состояний конечно), вероятность отказа Р отк, абсолютную пропускную способность А, вероятность того, что канал занят Р зан, среднюю длину очереди L оч, среднее число заявок в СМО L сист , среднее время ожидания в очереди W оч , среднее время пребывания заявки в СМО W сист. При вычислении характеристик очереди можно пользоваться тем же приемом, какой мы применяли в задаче 2, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию, а конечную.

^ 5. Замкнутая СМО с одним каналом и m источниками заявок. Для конкретности поставим задачу в следующей форме: один рабочий обслуживает т станков, каждый из которых время от времени требует наладки (исправления). Интенсивность потока требований каждого работающего станка равна λ. Если станок вышел из строя в момент, когда рабочий свободен, он сразу же поступает на обслуживание. Если он вышел из строя в момент, когда рабочий занят, он становится в очередь и ждет, пока рабочий освободится. Среднее время наладки станка t об = 1/μ. Интенсивность потока заявок, поступающих к рабочему, зависит от того, сколько станков работает. Если работает k станков, она равна k λ. Найти финальные вероятности состояний, среднее число работающих станков и вероятность того, что рабочий будет занят.

Заметим, что и в этой СМО финальные вероятности

будут существовать при любых значениях λ и μ = 1/t об, так как число состояний системы конечно.

Краткая теория

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

Абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

Среднее число занятых каналов.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где – состояние системы, когда в ней находится заявок, то есть занято каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет . Аналогично, суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния (три канала заняты) в будет иметь интенсивность , то есть может освободиться любой из трех каналов и так далее.

Для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных вероятностей . Величина

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь:

Последние формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все каналов системы будут заняты, то есть:

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где – предельные вероятности состояний

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:

Пример решения задачи

Условие задачи

Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет 20 изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия - 7 мин.

Определить показатели эффективности отдела технического контроля. Сколько контролеров необходимо поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%?

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по методам оптимальных решений .

Решение задачи

Контроль представляет собой открытую многоканальную систему массового обслуживания с отказом в обслуживании.

За единицу измерения времени выберем час. Будем считать, что контроль работает в установившемся режиме. По условию задачи

–число каналов обслуживания

Изделий в час –интенсивность потока заявок

Изделий в час –интенсивность потока обслуживания

Вычислим –относительные интенсивности переходов из состояние в состояние:

Вычислим :

Вероятность отказа:

Вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность системы:

–среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки:

Вычислим, сколько контролеров нужно поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%:

Таким образом, чтобы вероятность обслуживания составляла не менее 97%, необходимо иметь 6 контролеров.

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

СМО с неограниченной очередью
Приведены необходимые теоретические сведения и образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью", подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием обслуживания - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки, длина очереди, вероятность образования очереди, вероятность свободного состояния системы, среднее время ожидания в очереди.

Задача оптимального распределения ресурсов
Кратко изложены основные принципы динамического программирования (динамического планирования), рассмотрены уравнения Беллмана. Подробно решена задача оптимального распределения ресурсов между предприятиями.

Метод множителей Лагранжа
На странице рассмотрено нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа. Показано построение функции Лагранжа на примере решения задачи нелинейного программирования. Решенную задачу предваряет краткая теория.

Вектор конечного потребления и вектор валового выпуска
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания (СМО) с ожиданием.
Пусть входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью l .

Интенсивность потока обслуживания равна m . Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что СМО не может вместить более N заявок, т.е. заявки, не попавшие в ожидание, покидают СМО. Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

Канал свободен;

Канал занят, очереди нет;

Канал занят, одна заявка в очереди;

..............................

Канал занят, n-1 заявка в очереди;

Канал занят, N-1 заявка в очереди.

Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

, n=0,

...................................

-( , 0

...................................

, n=N,

n - номер состояния.

Система уравнений имеет следующее решение::

,

Если , n=1, 2, ..., N,

Выполнение условия стационарности r < 1 не обязательно, поскольку число допускаемых в СМО заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди. Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
1) вероятность отказа в обслуживании заявки:

2) относительная пропускная способность СМО:

3) абсолютная пропускная способность СМО:

4) среднее число находящихся в СМО заявок:

;

5) среднее время пребывания заявки в СМО:

;

6) средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

;

7) среднее число заявок в очереди (длина очереди):

;

Задача 1 . Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность l = 0.85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем составляет 1.05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение :
1) Интенсивность прибытия автомобилей на обслуживание:

> lambda:=0.85;

2) Зададим среднее время обслуживания и выразим интенсивность потока обслуживания автомобилей:

> t:=1.05:mu:=1/t;

3) Найдем приведенную интенсивность потока автомобилей как отношение интенсивностей l и m , т.е..

> rho:=lambda/mu;

4) Вычислим финальные вероятности системы:

> N:=4:P:=(1-rho)/(1-rho^(N+1));P:=rho*P;P:=rho^2*P;P:=rho^3*P;P:=rho^4*P;

5) Вероятность отказа в обслуживании автомобиля::

> P:=P;

Отсюда следует, что пост диагностики не обслуживает автомобили в среднем в 15.8% случаев.
6) Относительная пропускная способность поста диагностики:

> q:=1-P;

7) Абсолютная пропускная способность поста диагностики (автомобиля в час):

> A:=lambda*q;

8) Среднее число автомобилей в СМО:

> L[s]:=rho*(1-(N+1)*rho^N+N*rho^(N+1))/((1-rho)*(1-rho^(N+1)));

9) Среднее время пребывания автомобиля в СМО:

> W[s]:=L[s]/(lambda*(1-P[N]));

10) Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

> W["q"]:=W[s]-1/mu;

11) Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

> L["q"]:=lambda*(1-P[N])*W["q"];

Для статистического моделирования работы поста диагностики составим следующую процедуру:

> p:=proc(k) global t_och1,t_och2,t_och3,sm_t_obs,post,otk,obsl:local t1,t_okon,t,rn_post,och,per:
t_och1:=0:t_och2:=0:t_och3:=0:post:=0:otk:=0:obsl:=0:t_okon:=0:sm_t_obs:=0:och:=0:rn_post:=rand(1..1200):
for t from 1 by 1 to k do
t1:=rn_post():
if och=1 then t_och1:=t_och1+1 fi:
if och=2 then t_och2:=t_och2+1 fi:
if och=3 then t_och3:=t_och3+1 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon=0 and och>=0 and och<=3 then per:=1 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon>0 and och>=0 and och<3 then per:=2 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon>0 and och=3 then per:=3 fi:
if t1>17 and t_okon>0 then per:=4 fi:
if t1>17 and t_okon=0 and och>0 then per:=5 fi:
if per=1 then t_okon:=stats(): sm_t_obs:=sm_t_obs+t_okon:obsl:=obsl+1:post:=post+1 fi:
if per=2 then t_okon:=t_okon-1:obsl:=obsl+1:och:=och+1:post:=post+1 fi:
if per=3 then t_okon:=t_okon-1:otk:=otk+1:post:=post+1 fi:
if per=4 then t_okon:=t_okon-1 fi:
if per=5 then t_okon:=stats(): sm_t_obs:=sm_t_obs+t_okon:och:=och-1 fi od end:

Принятые обозначения:
t_och1,t_och2,t_och3 - количество минут, когда в очереди 1, 2 и 3 машины соответственно;
sm_t_obs - затрачено всего минут на обслуживание;
post - прибыло машин на обслуживание; otk - количество отказов в обслуживании; obsl - обслужено машин;
t_obsl - продолжительность обслуживания машины, инициализируется как случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием 65 минут (1 час 5 минут);
t1 - случайная величина, с одинаковой вероятностью принимающая целые значения из интервала от 1 до 12000. Если t1>=0 и t1<=17, то считаем, что на пункт диагностики поступила заявка (интенсивность 0.85 заявки в час = 17/12000 заявки в минуту);
t - параметр цикла (количество минут).
Проведем опыт продолжительностью в 5000 минут:
> p(5000);print("Поступило на обслуживание автомобилей ",post);print("Обслужено ",obsl); print("Отказано в обслуживании ",otk); print("Затрачено на обслуживание ",sm_t_obs,"мин."); print(t_och1," мин. 1 машина в очереди");print(t_och2,"мин. 2 машины в очереди"); print(t_och3," мин. 3 машины в очереди");

Повторите опыт 50 раз в цикле, найдите оценки характеристик СМО, сравните их с теоретическими значениями.

Задача 2 :
1) Модифицируйте процедуру для вычисления числовых характеристик СМО. Задайте продолжительность опыта в 1000 минут и повторите опыт, например, 5 раз. Затем вычислите средние значения каждой характеристики СМО. Сравните опытные данные с вероятностными характеристиками СМО.
2) Смоделируйте работу СМО для случая, когда автомобиль обслуживается ровно 1 час 5 минут, а все остальные параметры остаются прежними. Сравните полученные данные с результатами предыдущего пункта.
3) Так как интенсивность поступления заявок равна 0.85 машины в час, то в среднем промежуток времени между поступлениями заявок составляет 1/0.85=100/85 часа, или около 71 минуты. Задайте интервал между поступлениями заявок с помощью функции stats() и проведите ряд испытаний работы СМО. Сравните средние значения характеристик, полученных опытным путем, с вероятностными характеристиками.
4) Задайте интенсивность обслуживания в 70 минут, а число стоянок для машин равной 4, и проведите испытания работы поста диагностики. Повторите опыт для случая, когда интенсивность обслуживания составляет 60 минут, а число стоянок 2. Как изменятся характеристики поста диагностики?
5) Смоделируйте работу поста диагностики при условии, что число стоянок не ограниченно.