При решении задач управления, в том числе и управления войсками, часто возникает ряд однотипных задач:

• оценка пропускной способности направления связи, железнодорожного узла, госпиталя и т. п.;
• оценка эффективности ремонтной базы;
• определение количества частот для радиосети и др.

Все эти задачи однотипны в том смысле, что в них присутствует массовый спрос на обслуживание. В удовлетворении этого спроса участвует определенная совокупность элементов, образующая систему массового обслуживания (СМО) (рис. 2.9).

Элементами СМО являются:

• входной (входящий) поток требований (заявок) на обслуживание;
• приборы (каналы) обслуживания;
• очередь заявок , ожидающих обслуживания;
• выходной ( выходящий) поток обслуженных заявок;
• поток не обслуженных заявок;
• очередь свободных каналов (для многоканальных СМО).

Входящий поток - это совокупность заявок на обслуживание. Часто заявка отождествляется с ее носителем. Например, поток неисправной радиоаппаратуры, поступающий в мастерскую объединения, представляет собой поток заявок - требований на обслуживание в данной СМО.

Как правило, на практике имеют дело с так называемыми рекуррентными потоками, - потоками, обладающими свойствами:

• стационарности;
• ординарности;
• ограниченного последействия.

Первые два свойства мы определили ранее. Что касается ограниченного последействия, то оно заключается в том, что интервалы между поступающими заявками являются независимыми случайными величинами.

Рекуррентных потоков много. Каждый закон распределения интервалов порождает свой рекуррентный поток . Рекуррентные потоки иначе называют потоками Пальма.

Поток с полным отсутствием последействия, как уже отмечалось, называется стационарным пуассоновским. У него случайные интервалы между заявками имеют экспоненциальное распределение:

здесь - интенсивность потока.

Название потока - пуассоновский - происходит от того, что для этого потока вероятность появления заявок за интервал определяется законом Пуассона:

Поток такого типа, как отмечалось ранее, называют также простейшим. Именно такой поток предполагают проектировщики при разработке СМО. Вызвано это тремя причинами.

Во-первых , поток этого типа в теории массового обслуживания аналогичен нормальному закону распределения в теории вероятностей в том смысле, что к простейшему потоку приводит предельный переход для потока, являющегося суммой потоков с произвольными характеристиками при бесконечном увеличении слагаемых и уменьшении их интенсивности. То есть сумма произвольных независимых (без преобладания) потоков с интенсивностями является простейшим потоком с интенсивностью

Во-вторых , если обслуживающие каналы (приборы) рассчитаны на простейший поток заявок, то обслуживание других типов потоков (с той же интенсивностью) будет обеспечено с не меньшей эффективностью.

В-третьих , именно такой поток определяет марковский процесс в системе и, следовательно, простоту аналитического анализа системы. При других потоках анализ функционирования СМО сложен.

Часто встречаются системы, у которых поток входных заявок зависит от количества заявок, находящихся в обслуживании. Такие СМО называют замкнутыми (иначе - разомкнутыми ). Например, работа мастерской связи объединения может быть представлена моделью замкнутой СМО. Пусть эта мастерская предназначена для обслуживания радиостанций, которых в объединении . Каждая из них имеет интенсивность отказов . Входной поток отказавшей аппаратуры будет иметь интенсивность :

где - количество радиостанций, уже находящихся в мастерской на ремонте.

Заявки могут иметь разные права на начало обслуживания. В этом случае говорят, что заявки неоднородные . Преимущества одних потоков заявок перед другими задаются шкалой приоритетов.

Важной характеристикой входного потока является коэффициент вариации :

где - математическое ожидание длины интервала;

Среднеквадратическое отклонение случайной величины (длины интервала) .

Для простейшего потока

Для большинства реальных потоков .

При поток регулярный, детерминированный.

Коэффициент вариации - характеристика, отражающая степень неравномерности поступления заявок.

Каналы (приборы) обслуживания . В СМО могут быть один или несколько обслуживающих приборов (каналов). Согласно с этим СМО называют одноканальными или многоканальными.

Многоканальные СМО могут состоять из однотипных или разнотипных приборов. Обслуживающими приборами могут быть:

• линии связи;
• мастера ремонтных органов;
• взлетно-посадочные полосы;
• транспортные средства;
• причалы;
• парикмахеры, продавцы и др.

Основная характеристика канала - время обслуживания. Как правило, время обслуживания - величина случайная.

Обычно практики полагают, что время обслуживания имеет экспоненциальный закон распределения:

где - интенсивность обслуживания, ;

Математическое ожидание времени обслуживания.

То есть процесс обслуживания - марковский, а это, как теперь нам известно, дает существенные удобства в аналитическом математическом моделировании.

Кроме экспоненциального встречаются -распределение Эрланга, гиперэкспоненциальное, треугольное и некоторые другие. Это нас не должно смущать, так как показано, что значение критериев эффективности СМО мало зависят от вида закона распределения вероятностей времени обслуживания.

При исследовании СМО выпадает из рассмотрения сущность обслуживания, качество обслуживания .

Каналы могут быть абсолютно надежными , то есть не выходить из строя. Вернее, так может быть принято при исследовании. Каналы могут обладать конечной надежностью . В этом случае модель СМО значительно сложнее.

Очередь заявок . В силу случайного характера потоков заявок и обслуживания пришедшая заявка может застать канал (каналы) занятым обслуживанием предыдущей заявки. В этом случае она либо покинет СМО не обслуженной, либо останется в системе, ожидая начало своего обслуживания. В соответствии с этим различают:

• СМО с отказами;
• СМО с ожиданием.

СМО с ожиданием характеризуются наличием очередей. Очередь может иметь ограниченную или неограниченную емкость: .

Исследователя обычно интересуют такие статистические характеристики, связанные с пребыванием заявок в очереди:

• среднее количество заявок в очереди за интервал исследования;
• среднее время пребывания (ожидания) заявки в очереди. СМО с ограниченной емкостью очереди относят к СМО смешанного типа.

Нередко встречаются СМО, в которых заявки имеют ограниченное время пребывания в очереди независимо от ее емкости. Такие СМО также относят к СМО смешанного типа.

Выходящий поток - это поток обслуженных заявок, покидающих СМО.

Встречаются случаи, когда заявки проходят через несколько СМО: транзитная связь , производственный конвейер и т. п. В этом случае выходящий поток является входящим для следующей СМО. Совокупность последовательно связанных между собой СМО называют многофазными СМО или сетями СМО .

Входящий поток первой СМО, пройдя через последующие СМО, искажается и это затрудняет моделирование . Однако следует иметь в виду, что при простейшем входном потоке и экспоненциальном обслуживании (то есть в марковских системах) выходной поток тоже простейший . Если время обслуживания имеет не экспоненциальное распределение, то выходящий поток не только не простейший, но и не рекуррентный.

Заметим, что интервалы между заявками выходящего потока, это не то же самое, что интервалы обслуживания. Ведь может оказаться, что после окончания очередного обслуживания СМО какое-то время простаивает из-за отсутствия заявок. В этом случае

4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности

Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).

СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:

Системы с отказами не имеют очередей.

Системы с ожиданием имеют очереди.

Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:

Покидает систему с отказами;

Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;

Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.

В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:

На ожидание в очереди;

На простои каналов обслуживания.

Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :

- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;

- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;

- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.

Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.

4.2. Моделирование системы массового обслуживания:

основ­ные параметры, граф состояний

При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .

Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:

Основные параметры;

Граф состояний.

Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.

Основные параметры для моделирования СМО включают:

Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;

Характеристики механизма обслуживания.

Рассмотрим характеристики потока заявок .

Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.

Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.

Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.

Для простейших потоков заявок используются модели СМО.

Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .

Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.

Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.

Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.

Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.

Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .

Механизм обслуживания характеризуется:

- числом каналов обслуживания ;

Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;

Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).

Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.

Для построения графа состояний СМО необходимо:

Составить перечень всех возможных состояний СМО;

Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;

Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.

4.3. Вычисление вероятностей состояний

системы массового обслуживания

Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения" представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:

Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.

СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:

где - вероятность того, что система находится в состоянии

- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .

Используя эту систему уравнений, а также уравнение

вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :

вероятность нулевого состояния рассчитывается как

а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность

Выводы по четвертому разделу

Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.

Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.

Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.

Вопросы для самопроверки

Какие системы называются системами массового обслуживания?

Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?

Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?

Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?

Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?

Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?

Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?

Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?

Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?

Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?

Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?

Чем характеризуются механизмы обслуживания?

Что описывает граф состояний системы массового обслуживания

Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?

Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?

Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?

Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?

По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?

Примеры решения задач

1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.

а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Основные параметры:

Каналов ,

Интенсивность потока ,

Интенсивность обслуживания .

Возможные состояния системы:

Все каналов заняты ( заявок в системе).

Граф состояний:

Относительная пропускная способность ,

Вероятность отказа ,

Среднее число занятых каналов .

б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналы заняты, две заявки в очереди;

Все каналы заняты, заявок в очереди.

Граф состояний:

в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Канал занят, ноль заявок в очереди;

Канал занят, одна заявка в очереди;

...................................................................................

Канал занят, заявка в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

,

Среднее время пребывания заявки в системе ,

,

,

Абсолютная пропускная способность ,

Относительная пропускная способность .

г) n-канальная СМО с неограниченной очередью

Возможные состояния системы:

Все каналы свободны (ноль заявок в системе);

Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);

Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);

...................................................................................

Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;

Все каналы заняты, одна заявка в очереди;

....................................................................................

Все каналы заняты, заявок в очереди;

....................................................................................

Граф состояний:

Показатели эффективности системы:

Среднее число занятых каналов ,

Среднее число заявок в системе ,

Среднее число заявок в очереди ,

Среднее время пребывания заявки в очереди .

2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.

РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:

Число каналов ;

Интенсивность потока заявок (задача / час);

Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);

Длина очереди .

Перечень возможных состояний:

Заявок нет, все каналы свободны;

Один канал занят, два свободны;

Два канала заняты, один свободен;

Три канала заняты;

Три канала заняты, одна заявка в очереди;

Три канала заняты, две заявки в очереди;

Три канала заняты, три заявки в очереди.

Граф состояний:

Рассчитаем вероятность состояния :

Показатели эффективности:

Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

Среднее число занятых ЭВМ

3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).

РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .

1) Вероятность простоя каналов обслуживания:

,

3) Вероятность обслуживания:

4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:

.

5) Доля каналов, занятых обслуживанием:

6) Абсолютная пропускная способность:

При . Произведя аналогичные расчеты для , получим

Так как , то произведя расчеты для , получим

ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.

Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.

4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .

1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):

.

2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:

.

3) Вероятность очереди:

.

4) Среднее число заявок в очереди:

.

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

мин.

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

7) Среднее число свободных каналов:

.

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

.

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.

Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .

РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:

Авт./дн.

1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):

причем 0!=1,0.

2) Вероятность отказа в обслуживании:

.

3) Вероятность обслуживания:

Так как , произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .

Задания для самостоятельной работы

Для каждой из следующих ситуаций определить:

a) к какому классу относится объект СМО;

b) число каналов ;

c) длину очереди ;

d)интенсивность потока заявок ;

e) интенсивность обслуживания одним каналом;

f) количество всех состояний объекта СМО.

В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:

a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;

b) =… (единиц);

c) =… (единиц);

d) =ххх/ххх (единиц /мин);

e) =ххх/ххх (единиц /мин);

f) (единиц).

1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.

2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.

3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.

4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.

5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.

6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.

7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.

8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.

9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.

10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.

11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.

12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.

Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:

Составить перечень возможных состояний;

Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".

В ответе указать для каждой задачи:

Количество состояний системы;

Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.

Вариант № 1

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку

2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью

5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 2

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки

2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 3

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки

2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 4

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки

2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 5

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок

2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 6

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок

2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 7

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок

2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 8

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок

2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 9

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок

2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью

Вариант № 10

1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок

2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)

3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью

4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью

Краткая теория

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

Абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

Вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

Среднее число занятых каналов.

Рассмотрим классическую задачу Эрланга.

Имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где – состояние системы, когда в ней находится заявок, то есть занято каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке.

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет . Аналогично, суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния (три канала заняты) в будет иметь интенсивность , то есть может освободиться любой из трех каналов и так далее.

Для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных вероятностей . Величина

называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь:

Последние формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все каналов системы будут заняты, то есть:

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:

где – предельные вероятности состояний

Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:

Пример решения задачи

Условие задачи

Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет 20 изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия - 7 мин.

Определить показатели эффективности отдела технического контроля. Сколько контролеров необходимо поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%?

Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по методам оптимальных решений .

Решение задачи

Контроль представляет собой открытую многоканальную систему массового обслуживания с отказом в обслуживании.

За единицу измерения времени выберем час. Будем считать, что контроль работает в установившемся режиме. По условию задачи

–число каналов обслуживания

Изделий в час –интенсивность потока заявок

Изделий в час –интенсивность потока обслуживания

Вычислим –относительные интенсивности переходов из состояние в состояние:

Вычислим :

Вероятность отказа:

Вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность системы:

–среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки:

Вычислим, сколько контролеров нужно поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%:

Таким образом, чтобы вероятность обслуживания составляла не менее 97%, необходимо иметь 6 контролеров.

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

СМО с неограниченной очередью
Приведены необходимые теоретические сведения и образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью", подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием обслуживания - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки, длина очереди, вероятность образования очереди, вероятность свободного состояния системы, среднее время ожидания в очереди.

Задача оптимального распределения ресурсов
Кратко изложены основные принципы динамического программирования (динамического планирования), рассмотрены уравнения Беллмана. Подробно решена задача оптимального распределения ресурсов между предприятиями.

Метод множителей Лагранжа
На странице рассмотрено нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа. Показано построение функции Лагранжа на примере решения задачи нелинейного программирования. Решенную задачу предваряет краткая теория.

Вектор конечного потребления и вектор валового выпуска
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.

Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут. Решение . Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма

где f1(θ)- плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
- порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга - го порядка (Э).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид

. (2)

По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь

f1(θ)=3е-6θ(1+6 θ), θ≥0. (3)

Построим график функции f1(θ) . При θ <0 имеем f1(θ) =0 . При θ =0 , f1(0)=3 . Рассмотрим предел

При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа использовано правило Лопиталя . По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).

Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой

Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х) . Эта площадь выражается определенным интегралом

Следовательно, искомая вероятность равна

Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θ dθ . Тогда dU=6 dθ и V= .
Используя формулу получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.

Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале. Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок: где (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда польз./час.

Найдем -интенсивность потока обслуживания: , где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,

тогда польз/час.

Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам

Поскольку =5, имеем

Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство

Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.

Найдем эти вероятности: ро =0,014; р1 =3,93*0,014; р2 =7,72*0,014; р3 =10,12*0,014; р4 =9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:

• 1. среднее число пользователей в очереди

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

3. среднее время ожидания свободного дисплея

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р* =0,54; пользователя; пользователя; ; .

Задача 3. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Методом Монте-Карло найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин. Указание: провести три испытания. Решение. Изобразим статистическое моделирование работы заданной СМО с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:
Вх -входящий поток заявок, здесь ti -моменты поступления заявок; Ti -интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно, что ti =ti -1 +Т i .
К1-первый канал обслуживания;
К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной.
Вых ОБ-выходящий поток обслуженных заявок.
Вых ПТ-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала . Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток Вых ПТ. Так на рис. 3 заявка №10, пришедшая в систему в момент t10 , не успевает обслужиться до момента tmax , так как t10+Тобсл.>tmax . Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в Вых ПТ, получая отказ.

Рис. 3

Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Т i . Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ =5, то плотность распределения имеет вид f (τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом

.

Известно, что область значений функции распределения F (T ) есть отрезок . Выбираем из таблицы случайных чисел число и определяем Т i из равенства , откуда . Однако, если . Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации . Следовательно,
е-5Т i = ri , или –5Т i = lnri , откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.

Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1

№ зая-вки i	Сл. число ri		-ln ri Тi	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
					К1

Таблица 2 ИСПЫТАНИЕ №2

№ зая-вки i	Сл. число ri		-ln ri Т i	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок

Таблица №3 ИСПЫТАНИЕ №3

№ зая-вки i		Сл. число ri		-ln ri Т i	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
						К1

Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1 =9, х2 =9, х3 =8. Найдем среднее число обслуженных заявок:

Ответ: среднее число заявок, обслуженных СМО за 4 минуты, равно 8,6(6).