3. Диаграмма дерева - инструмент стимулирования процесса творческого мышления, способствующий систематическому поиску наиболее подходящих и эффективных средств решения проблем. Древовидная диаграмма строится в виде многоступенчатой древовидной структуры, составными частями которой являются различные элементы (причины, средства, способы) решения проблемы.
Древовидная диаграмма (Рис.3) применяется для выявления и показа связи между предметом (проблемой) рассмотрения и его компонентами (элементами, причинами), например, в следующих случаях:
– когда неясно сформулированные пожелания потребителя в отношении продукции преобразуются сначала в установленные и предполагаемые потребности, а затем в технические условия для этой продукции;
– когда необходимо исследовать все возможные части (элементы, причины), касающиеся рассматриваемого предмета (проблемы);
– когда краткосрочные цели должны быть достигнуты раньше результатов всей работы, например, на этапах планирования продукции, проектирования продукции.
Матричная диаграмма
4. Матричная диаграмма - инструмент, позволяющий выявлять важность различных неочевидных (скрытых) связей. Обычно используются двумерные матрицы в виде таблиц со строками и столбцами a1, a2,., b1, b2. - компоненты исследуемых объектов.
Рис. 4. Матричная диаграмма
Стрелочная диаграмма
5. Стрелочная диаграмма - инструмент, позволяющий планировать оптимальные сроки выполнения всех необходимых работ для реализации поставленной цели и эффективно их контролировать. Используется на этапе составления оптимальных планов тех или иных мероприятий после того, как:
· определены проблемы, требующие решения;
· намечены необходимые меры;
· определены сроки и размечен ход осуществления запланированных мер.
Стрелочная диаграмма (Рис.5) обычно графически представляет ход проведения работ. [Из стрелочной диаграммы должны быть наглядно видны порядок и сроки проведения различных этапов работы. Одновременно этот инструмент обеспечивает уверенность, что планируемое время выполнения всей работы и отдельных ее этапов является оптимальным при достижении конечной цели.]
Стрелочные диаграммы широко применяются не только при планировании, но и для последующего контроля хода выполнения запланированных работ, в частности, при проектировании и разработке, а также при планировании и контроле производственной деятельности.
Рис.5 Стрелочная диаграмма
Поточная диаграмма процесса
Поточная диаграмма процесса- этот инструмент представляет собой графическое представление этапов процесса, удобное для исследования возможностей улучшения за счет накопления подробных сведений о фактическом протекании процесса. Рассматривая связь различных этапов процесса друг с другом, часто удается выявить потенциальные источники неприятностей. При использовании поточной диаграммы для описания существующего процесса рекомендуется:
– идентифицировать начало и конец процесса;
– наблюдать процесс целиком от начала до конца;
– определить этапы процесса (действия, решения, входящие и выходящие потоки, операции контроля, ведение записей и очередность их выполнения);
– построить черновой вариант поточной диаграммы;
– рассмотреть этот черновой вариант с сотрудниками, участвующими в осуществлении процесса;
– улучшить поточную диаграмму на основе этого рассмотрения;
– сверить диаграмму с фактическими этапами процесса;
– отметить на получившейся поточной диаграмме название и местоположение процесса, дату составления диаграммы, сведения об участниках работы по составлению диаграммы и любую другую информацию, достойную внимания.
· начало или окончание процесса,
· действие, операция (очередной этап процесса),
· решение (разветвление процесса),
· инспекция (контроль качества или количества),
· документ (регистрация данных о качестве),
· комментарий (помогает чтению карты процесса, но не является действием/этапом процесса),
· линии со стрелками (указывают направление протекания процесса).
PDPC-диаграмма
7. Диаграмма процесса осуществления программы (process decision program chart – PDPC) обычно отображает последовательность действий и решений, необходимых для получения желаемого результата. PDPC-диаграмма может быть использована для оценки сроков и целесообразности проведения работ по выполнению программы, например, в соответствии со стрелочной диаграммой Ганта, как до их начала, так и в процессе выполнения этих работ (с возможной корректировкой сроков их выполнения).
Поточные диаграммы процессов PDPC-диаграммы широко используются при решении сложных проблем в области научно-исследовательских работ, при проектировании и разработке новых видов продукции, при выполнении крупных производственных заказов.
Диаграмма Ганта
8. Диаграмма Ганта (англ. Gantt chart, также ленточная диаграмма) - это популярный тип столбчатых диаграмм, который используется для иллюстрации плана, графика работ по какому-либо проекту. Является одним из методов планирования проектов.
Первый формат диаграммы был разработан Генри Л. Гантом (Henry L. Gantt, 1861-1919) в 1910 году.
Диаграмма Ганта представляет собой отрезки (графические плашки), размещенные на горизонтальной шкале времени. Каждый отрезок соответствует отдельной задаче или подзадаче. Задачи и подзадачи, составляющие план, размещаются по вертикали. Начало, конец и длина отрезка на шкале времени соответствуют началу, концу и длительности задачи. На некоторых диаграммах Ганта также показывается зависимость между задачами. Диаграмма может использоваться для представления текущего состояния выполнения работ: часть прямоугольника, отвечающего задаче, заштриховывается, отмечая процент выполнения задачи; показывается вертикальная линия, отвечающая моменту «сегодня». Диаграмма Ганта - это один из наиболее популярных способов графического представления плана проекта, представляет собой изображение календарного графика задач в проекте.
Диаграмма Ганта позволяет:
ü визуально оценить последовательность задач, их относительную длительность и протяженность проекта в целом;
ü сравнить планируемый и реальный ход выполнения задач;
ü детально проанализировать реальный ход выполнения задач.
Использование древовидных диаграмм
Хотя довольно легко понять, что вероятность выпадения орла при одном броске «честной» монеты равна ½, интуитивно определить вероятность выпадения четырех орлов при четырех бросках «честной» монеты несколько труднее. Хотя пример с монетой может показаться искусственным, он хорошо подходит для объяснения сочетания вероятностей при нескольких попытках. Давайте произведем расчеты. (Следите за моими рассуждениями, даже если вы панически боитесь математики. Если вы поработаете над примерами, вычисления и математические рассуждения покажутся вам довольно простыми. Не надо восклицать, взглянув на следующие несколько цифр: «Нет, ни в коем случае, я это просто пропущу». Важно уметь думать с числами и о числах.)
При первом броске может наступить лишь один из двух возможных исходов; орел (О) или решка (Р). Что произойдет, если монету бросят дважды? Существует четыре возможных исхода: орел оба раза (ОО), орел в первый раз и решка во второй раз (ОР), решка в первый раз и орел во второй раз (РО) и решка оба раза (РР). Поскольку существует четыре возможных исхода и лишь один способ выпадения двух орлов, то вероятность этого события равна 1/ 4 (опять-таки мы предполагаем, что монета - «честная», (312:) т.е. выпадение орла и решки равновероятно). Существует общее правило для вычисления вероятности совместного появления нескольких событий в любой ситуации - правило «и». Если вы хотите найти вероятность совместного появления первого и второго события (орел при первом и при втором броске), надо перемножить вероятности наступления этих событий по отдельности. Применяя правило «и», мы находим, что вероятность появления двух решек при двукратном броске монеты равна ½ x ½ = 1/ 4 . Интуитивно кажется, что вероятность совместного появления двух событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из них в отдельности; так оно и оказывается.
Простой способ расчета этой вероятности получается, если представить все возможные события с помощью древовидной диаграммы. Древовидные диаграммы использовались в главе 4, когда мы проверяли правильность утверждений типа «если... то...». В этой главе мы припишем ветвям дерева вероятностные значения, чтобы определить вероятности различных сочетаний исходов. В последующих главах я еще вернусь к древовидным диаграммам при рассмотрении способов нахождения творческих решений задач.
При первом броске монеты она упадет или орлом, или решкой вверх. Для «честной» монеты выпадения орла и решки имеют одинаковую вероятность, равную 0,5. Давайте изобразим это следующим образом:
Когда вы бросаете монету второй раз, то либо за первым орлом последуют второй орел или решка, либо за первой решкой последуют второй орел или решка. Вероятности выпадения орла и решки при втором броске по-прежнему равны 0,5. Исходы второго броска изображаются на диаграмме в виде дополнительных ветвей дерева.
Как видно из диаграммы, существует четыре возможных исхода. Вы можете пользоваться этим деревом для нахождения вероятностей других событий. Чему (313:) равна вероятность получения одной решки при двух бросках монеты? Поскольку существует два способа, которыми можно получить одну решку (ОР или РО), ответ равен 2 / 4 или ½. Если вы хотите найти вероятность двух или более различных исходов, сложите вероятности всех исходов. Это называется правилом «или». По-другому эту задачу можно сформулировать так: «Чему равна вероятность получить или сначала орла, а потом решку (1 / 4), или сначала решку, а потом орла (1/4)?» Правильная процедура нахождения ответа состоит в том, чтобы сложить эти значения, в результате чего получается ½.Интуитивно кажется, что вероятность появления одного из нескольких событий должна быть больше, чем вероятность появления каждого из них; так оно и оказывается.
Правилами «и» и «или» можно пользоваться только тогда, когда интересующие нас события независимы. Два события независимы, если появление одного из них не влияет на появление второго. В рассматриваемом примере результат первого броска монеты никак не влияет на результат второго броска. Кроме того, для применения правила «или» необходимо, чтобы события были несовместимыми, т. е. не могли происходить одновременно. В рассматриваемом примере исходы являются несовместимыми, поскольку мы не можем получить и орла, и решку при одном броске.
Представление событий в виде древовидных диаграмм полезно во многих ситуациях. Давайте расширим наш пример. Предположим, что мужчина в полосатом костюме с длинными, подкрученными вверх усами и бегающими маленькими глазками останавливает вас на улице и предлагает сыграть на деньги, бросая монету. Он все время ставит на орла. При первом броске монета падает орлом вверх. При втором броске происходит то же самое. При третьем броске опять выпадает орел. Когда вы начнете подозревать, что у него «нечестная» монета? У большинства людей сомнения возникают при третьей или четвертой попытке. Вычислите вероятность выпадения одних орлов при трех и четырех бросках «честной» монеты (вероятность выпадения орла равна 0,5).
Для расчета вероятности выпадения трех орлов в трех попытках вам надо нарисовать дерево с тремя рядами «узлов», причем из каждого узла исходят две «ветви».
В этом примере нас интересует вероятность выпадения трех орлов подряд при условии, что монета «честная». Посмотрите на столбец, озаглавленный «исход», и найдите исход ООО. Поскольку это единственный исход с тремя орлами, перемножьте вероятности вдоль ветви 000 (обведенной на диаграмме) и вы получите 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,125. Вероятность 0,125 означает, что если монета «честная», то в среднем она будет падать орлом вверх три раза подряд в 12,5% случаев. Поскольку эта вероятность невелика, то при выпадении трех орлов подряд большинство людей начинает подозревать, что монета «с секретом».
Для расчета вероятности выпадения четырех орлов в четырех попытках добавьте к дереву дополнительные ветви.
Вероятность выпадения четырех орлов равна 0,5 х 0,5 х 0,5 х 0,5 = 0,0625, или 6,25%. Как вы уже знаете, математически она равна 0,5 4 ; т. е. умножить число само на себя четыре раза - это то же самое, что возвести его в четвертую степень. Если вы будете считать на калькуляторе, где есть операция возведения в степень, то вы получите тот же самый ответ - 0,0625. Хотя такой исход возможен и когда-нибудь произойдет, он маловероятен. На самом деле он настолько неправдоподобен и необычен, что многие сказали бы, что человек с бегающими глазками, наверное, жульничает. Несомненно, что при выпадении пятого орла подряд разумно будет заклю-
чить, что вы имеете дело с мошенником. Для большинства научных целей событие считается «необычным», если его появление ожидается с вероятностью менее 5%. (На языке теории вероятностей это записывается так: р < 0,05.)
Давайте оставим искусственный пример с монетой и применим ту же логику в более полезном контексте. Я уверена, что любой студент когда-либо сталкивался с тестами с выбором вариантов, в которых нужно выбирать из предложенных вариантов правильные ответы. В большинстве таких тестов на каждый вопрос предлагается пять вариантов ответов, из которых правилен только один. Предположим, что вопросы настолько трудны, что вы можете только случайно угадать правильный ответ. Какова вероятность правильного угадывания при ответе на первый вопрос? Если вы понятия не имеете, какой из вариантов является правильным ответом, то вы с одинаковой вероятностью можете выбрать любой из пяти вариантов, предполагая, что любой из них может оказаться правильным. Поскольку сумма вероятностей выбора всех вариантов должна быть равна единице, то вероятность выбора каждого из вариантов при равновероятности всех вариантов равна 0,20. Один из вариантов правильный, а остальные - неправильные, поэтому вероятность выбора правильного варианта равна 0,20. Древовидная диаграмма этой ситуации изображена ниже.
Какова вероятность правильно угадать ответы на первые два вопроса теста? Нам придется добавить новые ветви к дереву, которое вскоре станет очень густым. Чтобы сэкономить место и упростить вычисления, можно представить все неправильные варианты в виде одной ветви, обозначенной «неправильные». Вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8.
Вероятность правильно угадать ответы на два вопроса равна 0,2 х 0,2 = 0,04. То есть случайно это может произойти только в 4% попыток. Допустим, что мы расширим наш пример до трех вопросов. Я не буду рисовать дерево, но вы должны уже понять, что вероятность равна 0,2 х 0,2 х 0,2 = 0,008. Это настолько необычное событие, что оно может произойти случайно менее чем в 1 % попыток. Что вы подумаете о человеке, которому удалось правильно ответить на все три вопроса? Большинство людей (а преподаватели тоже люди) заключит, что студент не выбирал ответы наугад, а действительно что-то знал. Конечно, не исключено, что ему просто повезло, но это чрезвычайно маловероятно. Таким образом, мы приходим к выводу, что полученный результат не может объясняться только удачей.
Мне хотелось бы отметить одну любопытную сторону таких рассуждений. Рассмотрим плачевную ситуацию, в которую попала Сара. Она отвечала на 15 вопросов теста, где ответ на каждый вопрос надо было выбирать из пяти вариантов. Сара ответила неправильно на все 15 вопросов. Можете ли вы определить вероятность того, что это произошло случайно? Я не буду рисовать древовидную диаграмму для иллюстрации этой ситуации, но легко видеть, что вероятность ошибиться при ответе на один вопрос равна 0,8; поэтому вероятность неправильно ответить на все 15 вопросов равна 0,8 15 . Это число 0,8, умноженное само на себя 15 раз, в результате чего получается 0,0352. Поскольку вероятность такой случайности равна 3,52%, может быть, Саре стоит заявить преподавателю, что такой необычный результат не может объясняться случайностью? Сара, конечно, может привести подобный довод, но поверили бы вы ей на месте преподавателя? Предположим, она утверждает, что знала ответы на все вопросы. Как иначе она смогла бы не выбрать правильный вариант ответа в 15 вопросах подряд? Я не знаю, сколько преподавателей поверили бы ее утверждению, что 15 неверных ответов доказывают наличие у нее знаний, хотя в принципе такой ход рассуждений используется для доказательства наличия знаний, поскольку вероятность правильно угадать все ответы примерно такая же. (В этом примере вероятность наугад ответить правильно на все 15 вопросов равна 0,20 15 ; это число значительно меньше 0,0001.) Если бы преподавателем Сары была я, то я бы поставила ей высокие оценки за творческий подход и понимание статистических принципов. Не исключено, что Сара действительно что-то знала на эту тему, но в этом «чем-то» была систематическая ошибка. Я бы также указала ей на то, что, возможно, она не подготовилась к тесту, а вдобавок ей еще и не повезло, и она сделала 15 неверных догадок. В конце концов, иногда случаются и очень необычные события.
Перед тем как перейти к чтению следующего раздела, проверьте, понимаете ли вы, как применять древовидные диаграммы для расчета вероятностей и учета всех возможных исходов. В этой главе я еще вернусь к таким диаграммам. Когда вы научитесь их использовать, вы будете удивлены, как много существует ситуаций, в которых они могут применяться.
Ошибка при конъюнкции - применение правила «и»
Тверски и Канеман (Tversky & Kahneman, 1983) составили следующую задачу.
Линде 31 год, она откровенный и прямой человек и очень способна. В колледже она выбрала в качестве основного предмета философию. Когда она была студенткой, ее волновали про-
блемы расовой дискриминации и социальной справедливости; кроме того, она участвовала в антиядерных демонстрациях.
Для каждого из следующих утверждений укажите вероятность того, что это утверждение служит описанием Линды.
A. Линда работает учительницей в начальной школе.
Б. Линда работает в книжном магазине и занимается йогой.
B. Линда активно участвует в движении феминисток.
Г. Линда работает социальным психиатром.
Д. Линда является членом Лиги женщин-избирателей.
Е. Линда работает кассиром в банке.
Ж. Линда работает страховым агентом.
З. Линда работает кассиром в банке и активно участвует в движении феминисток.
Этот небольшой отрывок про Линду был написан в качестве характерного описания активной феминистки, чему соответствует утверждение В. Таким образом, если воспользоваться распространенным стереотипом «типичной феминистки», то правдоподобным описанием является В. Обратите внимание на утверждения Е (кассир) и 3 (феминистка и кассир). Как вы оценили вероятность истинности этих утверждений? Большинство людей считает, что истинность 3 более вероятна, чем истинность Е. Понимаете ли вы, что Е должно быть более вероятным утверждением, чем 3, если быть кассиром в банке и быть феминисткой - события независимые? Бывают кассиры, которые не принимают активного участия в феминистском движении. При определении вероятности совместного появления двух событий вы перемножаете вероятности их появления по отдельности (правило «и»). Таким образом, вероятность совместного появления этих событий должна быть меньше, чем вероятность каждого из этих событий. В исследовании Тверски и Канемана (Tversky & Kahneman, 1983) 85% субъектов оценили вероятность истинности утверждения 3 выше, чем Е. Ошибка, возникающая, когда люди считают, что совместное появление двух событий более вероятно, чем появление одного из них, называется ошибкой конъюнкции.
Для тех читателей, которым легче воспринимать пространственную информацию, давайте представим задачу в виде круговых диаграмм - такая форма представления использовалась при рассмотрении силлогизмов в главе о рассуждениях. Пусть один круг представляет всех на свете банковских кассиров, а другой - всех феминисток. Эти два круга должны наложиться друг на друга, потому что некоторые банковские кассиры являются одновременно феминистками. На рис. 7.3 область пересечения кругов заштрихована. Как видно из рис. 7.3, заштрихованная область, которая представляет всех людей, одновременно являющихся кассирами и феминистками, должна быть меньше, чем круг, представляющий всех кассиров, потому что существуют кассиры, которые не являются феминистками.
Теперь, когда вы поняли, в чем заключается ошибка конъюнкции, попробуйте ответить на другой вопрос (также взятый из работы Tversky & Kahneman, 1983):
В Британской Колумбии проводилось обследование здоровья мужчин из выборки, где были представлены все возрастные группы и профессии.
Пожалуйста, приведите свои оценочные значения следующих величин:
Какова процентная доля обследованных мужчин, которые перенесли один или более инфарктов? _____ (318:)
Рис. 7.3. Два круга представляют «всех феминисток» и «всех банковских кассиров». Пересечение этих двух кругов представляет тех людей, которые одновременно являются феминистками и банковскими кассирами. Поскольку существуют феминистки, которые не работают кассирами, и кассиры, которые не являются феминистками, область пересечения кругов должна быть меньше, чем каждый из них в отдельности.
Какова процентная доля обследованных мужчин в возрасте старше 55 лет, которые перенесли один или более инфарктов? ____ (р. 308)
Теперь прекратите чтение и вставьте на пропущенные места свои оценочные цифры.
Более 65% респондентов считали, что процентная доля мужчин, которые старше 55 лет и перенесли инфаркт, будет больше, чем процент всех мужчин, которые перенесли инфаркт. Вы заметили, что это еще один пример ошибки конъюнкции? Вероятность совместного появления двух случайных событий не может быть выше, чем вероятность появления только одного из них.
Совокупный риск - применение правила «или»
Очевидно, что вероятность случайно ответить правильно на три вопроса, при наличии пяти вариантов ответов на каждый из вопросов, будет значительно меньше, чем вероятность правильно угадать ответ на один вопрос. Ясно также, что вероятность правильно угадать ответ хотя бы на один вопрос из трех будет выше, чем вероятность правильно угадать ответ, когда вопрос всего один. До сих пор я специально подбирала простые примеры. Давайте выясним, как применять рассмотренные принципы в реальной жизненной обстановке.
В реальной жизни риск, как правило, связан с многократным попаданием в рискованную ситуацию. Рассмотрим вождение машины. Вероятность попасть в аварию при одной поездке на машине очень невелика. Но что будет с вероятностью аварии, если вы совершаете сотни или тысячи поездок? Согласно правилу «или», она будет равна вероятности аварии при первой, или при второй, или... при (319:) n -й поездке. Шекли (Shaklee, 1987) провела интересное исследование того, как люди понимают концепцию совокупного риска. Она предложила субъектам значения вероятностей, которые соответствовали риску наводнения в течение года. Затем субъектам надо было оценить вероятность наводнения в течение одного месяца, 5 лет, 10 лет и 15 лет. Только 74% субъектов понимали, что вероятность наводнения увеличивается, если рассматривать интервал времени более одного года. Среди тех, кто дал более высокие оценки вероятности наводнения за интервалы более одного года, большинство серьезно недооценивали совокупную вероятность.
Давайте рассмотрим аналогичный пример. При применении метода контрацепции, эффективного на 96% из расчета на год, в среднем у четырех женщин из каждых ста, пользующихся этим методом, в течение года наступит беременность. Предполагая, что уровень неудач не зависит от времени, следует ожидать, что при применении этого метода в течение 15 лет забеременеет больше женщин, а при его применении в течение более 15 лет количество беременностей будет еще больше (Shaklee, 1987). При опросе студентов колледжа оказалось, что только 52% студентов понимало, что количество ожидаемых беременностей возрастает со временем, а большинство из них существенно недооценивало число беременностей.
Вероятно, идея, которую я пытаюсь донести до читателя, уже ясна: при определении риска важно понимать, относится ли предлагаемое вам значение вероятности к какой-либо единице времени (например, год), и осознавать, что совокупный риск увеличивается при повторении рискованной ситуации. Создается впечатление непонимания многими того, что совокупные риски выше, чем однократные.
Ожидаемые значения
Какую из следующих двух ставок вы бы сделали, если было бы можно выбрать лишь одну из них?
1. Большая дюжина: игра стоит один доллар. Если, бросив пару игральных костей, вы получите 12 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще 24 доллара. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.
2. Счастливая семерка, игра стоит один доллар (так же, как в предыдущем случае). Если, бросив пару игральных костей, вы получите в сумме 7 очков, вам вернут ваш доллар плюс еще б долларов. Если выпадет любая другая сумма, вы проиграли свой доллар.
Теперь выберите либо ставку номер 1, либо ставку номер 2.
Большинство людей выбирает ставку номер 1, считая, что 24 доллара, которые они выиграют, если выпадет 12 оков, в четыре раза больше, чем 6 долларов, которые можно выиграть, если выпадет 7 очков, а денежная величина одинакова для каждой ставки. Давайте проверим, насколько правильны такие рассуждения.
Чтобы выяснить, какая из ставок выгоднее, надо рассчитать вероятность выигрыша и проигрыша в каждом из случаев. Существует формула, которая учитывает все эти значения и дает ожидаемое значение (ОЗ) выигрыша для каждой игры. Ожидаемое значение - это количество денег, которое можно ожидать выиграть (320:) при каждой ставке, если вы все время будете продолжать играть. Формула для расчета ожидаемого значения (ОЗ) имеет следующий вид:
ОЗ = (вероятность выигрыша) х (величина выигрыша) + (вероятность проигрыша) х (величина проигрыша).
Давайте вычислим ОЗ для первой ставки. Начнем с расчета вероятности выпадения 12 при броске пары игральных костей. Существует только один способ получить 12: когда на каждой из костей выпадет 6. Вероятность этого события при условии, что кости «честные», равна 1/ 6 х 1/ б = 1/ 36 = 0,028. (Поскольку нас интересует вероятность выпадения 6 и на первой, и на второй кости, мы используем правило «и» и перемножаем вероятности.) Таким образом, выпадение 12 ожидается в 2,8% случаев. Чему равна вероятность, что 12 не выпадет? Поскольку вы уверены, что 12 либо выпадет, либо не выпадет (других исходов быть не может), можно вычесть 0,028 из 1. Вероятность того, что выпадет не 12, равна 0,972. (Это значение с небольшой ошибкой округления можно получить также, если рассчитать вероятности 35 остальных возможных исходов - каждая из них равна 1/ 36 - и сложить их.) Все исходы, возможные при броске пары игральных костей, показаны на рис. 7.4.
ОЗ (1-я ставка) = (вероятность выпадения 12) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 12) х (проигрыш)
ОЗ (1-я ставка) = 0,028 х $24 + 0,972 х (- $1) 03 (1-я ставка) = $0,672 - $0,97 03 (1-я ставка) = - $0,30
Давайте посмотрим, из чего состоит эта формула. Если выпадет 12, вы выиграете $24, которые дают величину выигрыша. Если выпадет любое другое число, вы потеряете доллар, который заплатили, чтобы вступить в игру, поэтому величина проигрыша равна $1. Вероятность выигрыша умножается на величину выигрыша. Вероятность проигрыша умножается на величину проигрыша. Затем эти два произведения складываются. ОЗ при такой ставке равно $0,30. Это означает, что в конечном счете, если вы будете продолжать играть в эту игру много раз, вы можете ожидать, что будете проигрывать в среднем по $0,30 при каждой игре. Конечно, при каждой игре вы можете или проиграть $1, или выиграть $24, но после множества игр вы проиграете в среднем по $0,30 за одну игру. Если вы сыграете 1000 раз, ставя каждый раз по доллару, то вы потеряете $300.
Сравним этот результат со второй ставкой. Чтобы рассчитать ОЗ для второй ставки, мы начнем с вычисления вероятности выпадения 7 очков при броске пары костей. Сколько существует способов получить 7, бросив пару костей? Семь очков получится, если выпадет 1 на первой кости и 6 на второй, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2 или 6 и 1. Таким образом, существует 6 возможных способов получить 7 очков из 36 возможных исходов. Вероятность любого из этих исходов равна 1/ 6 x 1/ 6 = 1/ 36 . (Это вероятность получить, например, 1 на первой кости и 6 на второй кости.) Для определения вероятности того, что за первым выпавшим числом последует второе нужное число, вы должны применить правило «и». Поскольку теперь вас интересует вероятность выпадения 1 и 6 , или 2 и 5, или 3 и 4, или 4 и 3, или 5 и 2, или 6 и 1, то (321:) следующим шагом должно быть применение правила «или». Поскольку существует 6 возможных комбинаций, вам надо сложить шесть раз по 1/6 (что, конечно, то же самое, что умножить 1/ 36 на 6). Таким образом, вероятность выпадения 7 очков при броске пары костей равна 6 / 36 (1/ 6 или 0,167). Вероятность выпадения любой другой суммы очков (не 7) равна 1 – 0,167 = 0,833. Теперь мы подсчитаем 03 для второй ставки:
ОЗ (2-я ставка) = (вероятность выпадения 7) х (выигрыш) + (вероятность выпадения не 7) х (проигрыш)
Рис. 7.4. Древовидная диаграмма, изображающая все исходы, возможные при броске пары игральных костей.
ОЗ (2-я ставка) = 0,167 х $6 + 0,833 х (- $1)
ОЗ (2-я ставка) = $1,002 - $0,833 = $0,169, или приблизительно $0,17.
Это означает, что если вы будете продолжать играть на условиях второй ставки, то вы выиграете в среднем по $0,17 за каждую игру. Следовательно, если вы сыграете 1000 раз, ставя каждый раз по $ 1, то можно ожидать, что вы разбогатеете на $170. Конечно, как и в первом случае, вы никогда не выиграете $0,17 за одну игру; это средний результат за много-много игр. Это то, что произойдет на большом интервале времени.
Даже если вы сначала думали иначе, лучше выбрать вторую ставку, поскольку вероятность выпадения семь очков относительно высока. Это объясняется тем, что существует шесть сочетаний, которые в сумме дают семь очков.
Существует игра, основанная на принципе, что чем больше имеется способов, которыми может произойти событие, тем выше его вероятность. Предположим, что в одной комнате собрались 40 человек, составляющих случайную выборку. Оцените вероятность того, что среди них окажутся два человека, у которых дни рождения совпадают. Возможно, вы удивитесь, узнав, что эта вероятность равна приблизительно 0,90. Вы понимаете, почему она такая высокая? Существует очень много способов совпадения дней рождения у сорока человек. Чтобы точно рассчитать эту вероятность, надо подсчитать количество всех возможных сочетаний из сорока человек по два. Таким образом, нам придется начать с сочетания первого человека со вторым, первого с третьим и т. д., пока не дойдем до первого с сороковым; затем начнем считать сочетания второго человека с третьим второго с четвертым и т.д., пока не дойдем до сочетания второго с сороковым. Этот процесс мы будем повторять до тех пор, пока каждый из сорока человек не побывает в паре с любым из остальных. Поскольку существует так много возможных пар людей, у которых могут совпадать дни рождения, то такое «совпадение» более вероятно, чем могло показаться сначала. Вероятность совпадения чьих-нибудь дней рождения превышает 0,50 для 23 человек и превышает 0,75 для 32 человек (Loftus & Loftus, 1982). Вы можете воспользоваться этими знаниями, чтобы держать пари на вечеринках или любых других собраниях людей. Лучше всего, если количество людей близко к 40. Большинству людей трудно поверить, что вероятность совпадения дней рождения настолько высока.
Вы можете также воспользоваться своими знаниями по теории вероятностей для того, чтобы повысить свои шансы на успех в некоторых ситуациях. Возьмем, к примеру, Аарона и Джилл, которые спорили из-за того, кому из них выносить мусор. Их мама согласилась помочь им уладить разногласия, назвав наугад число от одного до 10. Тот из них, чье число окажется ближе к числу, названному мамой, победит в споре. Аарон был первым и назвал число «три». Какое число должна назвать Джилл, чтобы иметь максимальные шансы на победу? Прекратите чтение и подумайте, какое число ей следует выбрать.
Джилл лучше всего выбрать число «четыре». Если мама назовет любое число, большее трех, то эта стратегия принесет Джилл победу. Таким образом, она может увеличить вероятность выигрыша в ситуации, которая кажется зависящей только от случая. (323:)
Диаграмма дерева (древовидная диаграмма, систематическая диаграмма, иерархическая модель) - один из инструментов выработки и принятия решений. Диаграмма позволяет раскрывать в определенной упорядоченной последовательности базовые элементы проблемы и показывает логическую связь между ними.
Результатом использования диаграммы дерева является принятие решения на основании анализа. Анализ может осуществляться в различных аспектах, например, для
Выявления тех подпроблем, совокупность которых отражает сущность исходной сложной проблемы (в этом случае дерево представляет собой дерево проблем);
Определения набора средств, с помощью которых может быть обеспечено решение исходной проблемы (дерево становится деревом средств или деревом мероприятий);
Обозначения и иерархического упорядочения тех целей, для достижения которых выполняется некоторый проект или программа (дерево целей);
Выбора оптимального набора средств, обеспечивающего решение исходной сложной проблемы (дерево решений);
Распределения ресурсов, например, финансовых, выделяемых для решения отдельных подпроблем сложной проблемы (дерево относительных важностей);
Прогнозирования возможности решения сложной проблемы (дерево прогнозов).
В квалиметрии при оценивании качества продукции и услуг применяют дерево свойств и дерево показателей качества. Эти два вида диаграмм в значительной степени являются аналогами. В качестве примера рассмотрим дерево свойств.
Основное понятие – свойство представлено на одной из ветвей дерева. Свойства бывают сложные (делимые на менее сложные) и простые (элементарные, неделимые), а также квазипростые (условно простые).
В дереве свойств качество как наиболее сложное свойство рассматривается в виде ствола дерева, который условно считают расположенным на нулевом ярусе дерева. Это сложное свойство делится (декомпозируется) на следующем ярусе на менее сложные свойства, каждое из которых, в свою очередь, делится еще на менее сложные и т.д.
При построении дерева показателей качества объекта на самом высоком (последнем) ярусе дерева располагаются единичные показатели качества, которые обобщаются на предыдущих ярусах сначала в подгруппы, а затем в группы показателей.
Общая схема декомпозиции (по ярусам дерева) показана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Ярусы дерева
Высотой дерева называют общее число ярусов. Различают: полное, неполное и усеченное дерево. Полное дерево – такое, на самом высоком ярусе которого расположены только простые или квазипростые свойства. Неполное дерево – это дерево, разветвленное не до самого высокого яруса, т.е. имеющее на нем хотя бы одно сложное свойство. Усеченное дерево – это полное или неполное дерево, из которого в соответствии со спецификой конкретно решаемой задачи, можно исключить одно или несколько свойств.
Существуют различные способы изображения деревьев (рисунок 2.), различают:
Нижестороннее (т.е. растущее вниз, рис. 2 а);
Верхнесторонее (т.е. растущее вверх, рис. 2 б);
Правостороннее (растущее слева направо, рис.2 .в);
Левостороннее (растущее влево, рис.2 .г).
Рисунок 2 - Способы изображения деревьев
Правильное построение диаграммы дерева – важное условие, в решающей степени влияющее на достоверность получаемой при оценивании качества объекта информации. В квалиметрии регламентирован комплекс правил (их около 30), следование которым позволяет различным разработчикам применительно к одному и тому же объекту получать одно и то же дерево. Рассмотрим некоторые.
При построении дерева свойств придерживаются следующих правил:
1) На самом высоком (последнем) уровне помещают показатели, измеряемые непосредственно – экспериментально, статистически или экспертно. Эти показатели называют единичными. Все остальные показатели называют комплексными и их значения находят расчетным путем.
2) Число показателей в каждой группе и на любом уровне принимают не более 7-8, т.к. иначе оценки весомостей некоторых показателей получаются настолько малы, что их относительным влиянием на качество можно пренебречь. По этой причине из деревьев свойств исключают показатели, чьи бальные оценки весомости составляют менее 0,1 от оценки самого весомого в группе показателя
3) Показатели в каждой группе должны иметь общее основание для их объединения в группу, т.е. более простые свойства, раскрывающие более сложное свойство, должны действительно относиться к этому свойству, а не к другому.
Японский союз ученых и инженеров в 1979 году включил диаграмму дерева в состав семи новых методов управления качеством. Достоинствами таких диаграмм являются наглядность, простота освоения и универсальность применения.
Древовидные диаграммы наиболее часто и широко используются в системном анализе, прогнозировании, квалиметрии и в теории принятия решений.
На рисунке 3 представлена древовидная диаграмма для потребительских требований к двери легкового автомобиля (фрагмент)
Рисунок 3 - древовидная диаграмма для потребительских требований к двери легкового автомобиля (фрагмент)
1. Объясните суть диаграммы дерева.
2. В каких областях можно использовать древовидные диаграммы?
3. Что такое полное, неполное и усеченное дерево?
4. Поясните способы изображения древовидных диаграмм
5. В чем заключается преимущество при использовании древовидных диаграмм?
Древовидная диаграмма , или систематическая диаграмма, - инструмент, обеспечивающий систематическийпуть разрешения существенной проблемы , центральной идеи или удовлетворения нужд потребителей, представленный на различных уровнях иерархии.
Метод иерархической структуры разработан для отыскания эффективных мер для решения проблемы, благодаря систематическому прослеживанию средств, ведущих к достижению цели или для определения объекта, который надо усовершенствовать с помощью организации его структурных элементов.
Древовидная диаграмма может использоваться в следующих случаях:
когда неясно сформированные пожелания потребителей в отношении продукта преобразуются в пожелания потребителя на управляемом уровне;
когда необходимо исследовать все возможные части, касающиеся проблемы;
когда краткосрочные цели должны быть достигнуты раньше результатов всей работы, т.е. на этапе проектирования.
Древовидная диаграмма строится в виде многоступенчатой структуры, элементами которой являются различные способы решения проблемы. Принцип построения древовидной диаграммы показан на рисунке 6.
Рисунок 6 – Принцип построения древовидной диаграммы
Пример построения диаграммы для разрешения задачи «удовлетворить пожелания потребителей и найти пути создания регулировочного гаечного ключа, «легкого в обращении»» приведен на рисунке 7.
На втором уровне диаграммы сформулированы причины, объясняющие, почему гаечный ключ «легок в обращении». На третьем практически указано, что надо сделать, чтобы ключ был «легок в обращении», т.е. сформулированы задачи для решения поставленной проблемы.
Рисунок 7 - Древовидная диаграмма пожелания потребителя «легкости в обращении», которое относится к регулировочному гаечному ключу
Этапы построения древовидной диаграммы:
Шаг 1. Группа проводит подготовку к мозговому штурму: участники повторяют правила мозгового штурма (лучше всего, чтобы плакат с этими правилами во время собраний группы висел на видном месте) и проводят разминку. Затем на доске вешают плакат, в центре левого края которого размещают формулировку проблемы.
Шаг 2. Группа при помощи мозгового штурма должна выявить наиболее общие причины, влияющие на проблему. Их формулировки руководитель (или ведущий) располагает в блоках справа от формулировки проблемы и соединяет блоки соответствующими линиями. Оформление формулировок причин является завершающим этапом данного шага, поэтому фиксировать поступающие идеи лучше всего на отдельном листе и только после окончательного выбора участниками группы следует занести их на диаграмму.
Шаг 3. Далее участники группы должны рассмотреть поочередно каждую причину первого уровня, при помощи мозгового штурма выявить причины, влияющие на нее. После обсуждения, окончательного выбора поступающих идей, зафиксировать причины второго уровня на древовидной диаграмме в блоках и установить соответствующие связи.
Тема 5 Методы, применяемые на этапе анализа проблемы
Для эффективного анализа проблем применяются методы, признанные на практике наиболее подходящими для работы в группе:
мозговая атака,
диаграмма «рыбья кость» была разработана японскими учеными для научно-исследовательской работы, а затем предложена для решения проблем качества на производстве. С помощью этой диаграммы можно определить все причинно-следственные связи, влияющие на проблему. Диаграммы Исикавы являются одним из наиболее важных и широко распространенных методов анализа, которые применяют группы по решению проблем. Они представляют собой удачное сочетание аналитического и творческого мышления, и многие решения возникают именно после глубокого анализа такой диаграммы;
диаграмма шести слов основана на применении формулирования вопросов по известной формуле «вопросы журналиста» (вопросы со словами Кто? Что? Почему? Где? Когда? Как?).Использование данной диаграммы позволяет рассмотреть проблему со всех сторон и учесть все факторы, влияющие на нее;
метод фокальных объектов - метод поиска оригинальных решений,
матричные методы ,
метод функционально-стоимостного анализа (ФСА).