- Tutorial
Это 4-я статья цикла по разработке, управляемой моделями. В предыдущих статьях мы познакомились с , и . Сегодня научимся описывать метамодели в текстовой нотации (а не в виде диаграмм как раньше) и познакомимся с табличным представлением моделей в Sirius. Сделаем это на примере кризиса среднего возраста и метода анализа иерархий. Возможно, это пригодится вам при разработке ИИ в играх, при принятии решений или в работе.
Введение
Вообще, я планировал статью про разработку DSL и преобразование моделей. Но мои планы внезапно нарушили мысли о смысле жизни, о том, тем ли я вообще занимаюсь.Самое очевидное, что может при этом сделать специалист по разработке, управляемой моделями, это
- Выбрать метод, который позволит получить интересующие ответы (раздел 1)
- Создать метамодель под этот метод (раздел 2)
- Создать инструмент разработки моделей в соответствии с метамоделью (раздел 3)
- Создать модель (раздел 4)
- Profit
1 Метод анализа иерархий
Меня интересовали следующие вопросы:- Чем мне интересно заниматься?
- Достаточно ли времени я уделяю интересным вещам?
- Что можно изменить в жизни к лучшему?
- Не станет ли от этих изменений хуже?
- Вы определяете
- цель,
- критерии достижения цели и
- возможные альтернативы.
- Оцениваете значимость критериев.
- Оцениваете альтернативы по каждому из критериев.
- Рассчитываете приоритеты альтернатив.
- Принимаете решение.
1.1 Построение иерархии
Итак, в простейшем случае иерархия должна содержать цель, критерии и альтернативы.Если суммировать все мои вопросы, то, по большому счету, меня интересует стоит ли мне сменить работу. Поэтому цель: выбрать работу .
При выборе работы меня интересует
- сколько денег я буду зарабатывать,
- на сколько интересно мне будет этим заниматься,
- будет ли у меня время на жизнь,
- карьерные перспективы,
- смогу ли я бывать на природе или буду видеть солнце и деревья раз в год,
- на сколько близка мне культура коллег, соседей и остальных людей.
- ничего не менять,
- переехать в Москву,
- переехать за границу,
- заняться фрилансом или каким-нибудь предпринимательством.
1.2 Оценка критериев
У разных людей при принятии решений могут быть примерно одинаковые критерии. Однако, их значимость может сильно различаться. Кто-то работает в большей степени ради денег, кто-то ради интереса, кому-то просто нравится общаться с коллегами и т.д.В соответствии со своими приоритетами один человек не раздумывая выберет более денежную работу, а другой – более интересную. Не существует работы, которая по всем критериям подходит абсолютно всем.
Наверное, при принятии решений большинство людей в явной или неявной форме ранжируют критерии от самого значимого до самого незначительного. Последние отбрасывают, а по первым сравнивают возможные альтернативы. На каждую возможную работу они навешивают ярлычок: вот, эта работа более денежная, но не интересная, а эта интересная и коллектив там хороший, но сомнительные карьерные перспективы и т.д.
Если сходу не получается сделать выбор, то человек начинает переоценивать критерии: может быть интерес пока не так важен и в пробке можно лишние два часа постоять, зато там больше зарплата, вот, выплачу ипотеку и займусь чем-то интересным.
Подобные рассуждения могут продолжаться долго, мучительно и без гарантии, что в итоге действительно будет принято оптимальное решение.
В методе анализа иерархий предлагается формальный алгоритм принятия подобных решений: все критерии попарно сравниваются друг с другом по шкале от 1 до 9.
Например, что для меня важнее: интерес или деньги? Интерес важнее, но не сказать, что очень сильно. Если максимальная оценка 9 к 1, то для себя я оцениваю приоритеты как 5 к 1.
Или, например, что важнее: деньги или наличие времени для жизни, хобби? Готов ли я ради дополнительных денег работать в выходные или стоять по два часа в пробках? Я для себя оцениваю значимость этих критериев как 1 к 7.
В итоге заполняется подобная таблица:
Очевидно, что по диагонали всегда будут единицы. Также очевидно, что все оценки будут обратно-симметричны относительно главной диагонали. Например, если я оцениваю значимость «интерес-деньги» как 5 к 1, то значимость «деньги-интерес» будет 1 к 5. Иногда такие матрицы называют обратно-симметричными.
В общем случае, если мы сравниваем N критериев, то необходимо сделать (N*(N-1))/2 сравнений. Казалось бы, всё только усложнилось. Если изначально было 6 критериев, то сейчас целая матрица каких-то чисел. Чтобы снова вернуться к критериям, рассчитаем собственный вектор матрицы. Элементы этого вектора и будут относительной значимостью каждого критерия.
В книге Томаса Саати предлагается несколько упрощенных методов расчета собственного вектора в уме или на бумаге. Мы воспользуемся более точным итеративным алгоритмом :
N = количество критериев
m = матрица оценок размерностью NxN
eigenvector = вектор размерностью N, заполненный значениями 1/N
Повторяем пока eigenvalue не начнет сходиться к определенному значению
или пока не сделаем максимально допустимое количество итераций
x = m * eigenvector
eigenvalue = sum(x)
eigenvector = x / eigenvalue
В итоге получаем следующий вектор:
Наиболее значимый критерий – время (0,3846), наименее значимый – карьера (0,0555).
При парных сравнениях некоторые оценки могут получиться несогласованными. Например, для меня интерес важнее денег, а деньги важнее карьеры. Очевидно, что интерес должен быть существенно важнее карьеры. В данной таблице так и есть. Но если бы оценка для «интерес-карьера» была меньшей или вообще обратной, то мои оценки были бы не согласованы между собой.
Оценить меру этой несогласованности поможет собственное значение матрицы сравнений. Оно равно 6,7048.
Очевидно, что собственное значение пропорционально количеству критериев. Чтобы оценка согласованности не зависела от количества критериев, рассчитывается так называемый индекс согласованности = (собственное значение - N) / (N - 1).
Наконец, чтобы оценка была совсем объективной необходимо разделить данный индекс на усредненный индекс согласованности для случайных матриц. Если полученная величина (отношение согласованности) меньше 0,1000, то парные сравнения можно считать более-менее согласованными. В нашем примере оно равно 0,1137, это значит, что рассчитанным приоритетам можно более-менее доверять.
1.3 Оценка альтернатив
Теперь необходимо сравнить все альтернативы по каждому из критериев.Например, при переезде в Москву я существенно выиграю в зарплате. Но работа, скорее всего, будет менее интересная, а также будет оставаться меньше времени для жизни. Или при переезде за границу мне придется отказаться от своего языка, подстраиваться под чужие культурные ценности.
По каждому критерию рассчитывается собственный вектор и отношение согласованности.
Полученные собственные векторы записаны в столбцах:
Отношения согласованности по каждому критерию записаны в следующем векторе:
[ 0,0337; 0,0211; 0,1012; 0,1399; 0,1270; 0,9507 ]
Большинство значений меньше или незначительно превышают 0,1000. Однако для критерия «культура» отношение согласованности получилось очень большое. Это связано с тем, что я неправильно расставил часть оценок. Хотел поставить 7 для «ничего не менять – переехать за границу», потому что жить в родном городе гораздо комфортнее. Но по ошибке поставил 1/7.
1.4 Определение приоритетов альтернатив
Итак, мы оценили критерии, навесили на каждую альтернативу ярлычок: какой вариант более денежный, какой более интересный и т.д. Теперь необходимо оценить альтернативы по всем критериям в сумме. Для этого достаточно умножить матрицуНа вектор
[ 0,0592; 0,2323; 0,3846; 0,0555; 0,1220; 0,1462 ]
В итоге мы получим следующий вектор:
[ 0,3184; 0,1227; 0,2049; 0,3540 ]
Это и есть значимости альтернатив относительно достижения цели.
1.5 Принятие решения
Теперь изобразим все рассчитанные значения на следующем рисунке:В скобках указано отношение согласованности оценок.
Толщина линий пропорциональна приоритетам. Наиболее интересна и перспективна в плане карьеры текущая работа. Фриланс позволил бы больше бывать на природе и больше времени тратить на жизнь. Более денежная работа в Москве и заграницей.
Видно, что Москва совсем отпадает. Заграница чуть лучше, но тоже не очень. Ничего не менять и фриланс примерно на одном уровне.
2 Создание метамодели
Теперь опишем как всё это рисуется и считается.Сначала необходимо описать метамодель: виды сущностей, которые используются в методе анализа иерархий. Причем, в отличие от мы не будем рисовать метамодель в виде диаграммы, а опишем её в текстовой нотации Xcore.
Остановимся только на самых интересных вещах. Xcore в отличие от Ecore позволяет описывать не только структуру модели, но и некоторую логику на Java-подобном языке. Опишем, например, тип данных для хранения оценок. Положительные оценки будем хранить в виде положительных целых чисел. А обратные оценки вида 1/n будем хранить как -n. Мы могли бы хранить оценки в виде строк или в виде действительных чисел, но, наверное, это плохая идея.
При этом нам нужны две функции для преобразования оценок из или в строковое представление. На Xcore это будет выглядеть так:
Type Weight wraps int
create
{
if (it.matches("\\d+")) {
Integer.parseInt(it)
}
else if (it.matches("1\\s*/\\s*\\d+")) {
val result = Integer.parseInt(it.replaceFirst("1\\s*/\\s*", ""))
if (result <= 1) 1 else -result
}
else {
throw new NumberFormatException("The weight must be either n or 1/n")
}
}
convert
{
if (it >= 1) {
it.toString
}
else if (it >= -1) {
"1"
}
else {
"1/" + (-it).toString
}
}
Xcore позволяет описывать также и относительно сложную логику.
Вот, например, операция расчета приоритетов в иерархии.
class Hierarchy
{
op void updatePriorities()
{
priorities.clear
inconsistencies.clear
val mat = new JudgmentMatrix
Наконец, для Xcore-модели (как и для Ecore-модели) вы можете создать диаграмму классов.
Так выглядит метамодель для метода анализа иерархий. Это максимально упрощенный вариант. А в общем случае, иерархия может содержать более трех уровней (например, у критериев могут быть подкритерии). Матрицы связей между уровнями могут быть разреженными. Оценки могут ставить несколько экспертов, а не один.
Так выглядит спецификация редактора диаграмм и таблиц:
Так выглядит результирующий редактор:
Совсем декларативно описать редактор иерархий не получилось, пришлось писать расширения на Java. Думаю, стоит остановиться на этом немного подробней. В Sirius есть по крайней мере два варианта расширений: службы (service) и действия (action).
С помощью служб вы можете добавить классам из метамодели некоторые дополнительные операции. Например, следующие две операции соответственно форматируют приоритет и рассчитывают толщину связей между критериями и альтернативами.
Public class Service {
public String toString(Priority priority) {
return String.format("%.4f", priority.getValue());
}
public int getEdgeWidth(Alternative alternative, EdgeTarget targetView) {
DSemanticDecorator targetNode = (DSemanticDecorator)targetView;
Criterion criterion = (Criterion)targetNode.getTarget();
Priority priority = alternative.getPriority(criterion);
return (int) (priority.getValue() * 7);
}
}
Удобно то, что эти операции вы можете использовать прямо в AQL-выражениях. Однако, вы не можете с их помощью изменять модель.
Для изменения модели нужно использовать Java-действия. Действия в отличие от служб уже не могут вызываться в AQL-выражениях. Их можно запускать, например, через контекстное меню или по нажатию кнопки. Действия можно откатывать с помощью команды Undo.
Метод анализа иерархий, МАИ -- разработан Т. Саати и является методом измерения взаимозависимости в системе, систематической процедурой для иерархического представления элементов доминантной, прямой или обратной иерархии, системно описывающих проблему. В рамках данного метода взаимозависимость измеряется (оценивается) путем сравнения вкладов в вышестоящие узлы иерархии нижестоящих видов деятельности или критериев (подиерархии). Метод предполагает последовательное осуществление процедур:
- -- декомпозиции проблемы на части (элементы);
- -- получения экспертных заключений по парным сравнениям, синтеза множества суждений;
- -- определения относительной степени (интенсивности) взаимодействия элементов в иерархии;
- -- определения численного выражения интенсивности взаимодействия.
В этом методе предусматривается декомпозиция проблемы на части, ее структурирование и выделение иерархии, содержащей различные главные цели, подцели, критерии или уровней мероприятий, альтернатив, подлежащих оценке и дальнейшая обработка последовательности суждений ЛПР по попарным сравнениям. Данный метод включает процедуры синтеза множественных суждений, оценку приоритетности факторов (критериев) и нахождения альтернативных стратегий (решений) Преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания стратегических альтернатив является четкое выражение суждений экспертов и лиц, принимающих решения, а также ясное представление структуры проблемы: элементов и взаимозависимостей между ними. Метод анализа иерархий опирается на достаточно простые элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений экспертов. А затем на основании обработки экспертных оценок определяется относительная степень их взаимного влияния в иерархии.
Для анализа стоимость-эффективность необходимо построить две иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми же альтернативами на нижнем уровне. Критерии для выгод и для издержек не обязательно должны быть противоположными друг другу, но они должны различаться.
Главная цель проблемы является высшим уровнем иерархии. За целью следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим.
Методика МАИ включает парные сравнения, разработку шкалы для преобразований суждений в числовые значения, использование обратно симметричных отношений, гомогенную кластеризацию иерархических уровней, иерархическую композицию проблемы .
Порядок применения Метода Анализа Иерархий:
- 1. Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив.
- 2. Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.
- 3. Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
- 4. Проверка суждений на согласованность.
- 5. Принятие решения на основе полученных результатов.
- 1. Первый шаг МАИ -- построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.. Декомпозиция предусматривает структурирование задачи в виде иерархии. В наиболее простом виде иерархия строится с вершины (цель), через промежуточные уровни (критерии) к самому низкому уровню, который обычно является перечнем альтернативных решений. Число уровней иерархии, описывающих конкретную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент) критериев в описываемой альтернативе рассматривается относительно цели выбора альтернатив. При бинарном сравнении критериев каждый из них оценивается относительно поставленной цели и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.
- 2. Затем определяется вес элементов на первом уровне иерархии. Для каждого из этих элементов строится матрица векторов-столбцов элементов, находящихся на следующем уровне иерархии. Векторы весов элементов этого уровня используются для взвешивания собственных векторов-столбцов. Перемножением матрицы векторов на вектор-столбец весов рассчитывают общий вектор весов элементов нижнего уровня.
Расчеты необходимо проводить в матричной форме. При этом должно соблюдаться свойство обратной симметрии.
3. Сущность попарных сравнений заключается в сравнении элементов задачи (критерии, альтернативы) попарно по отношению к их воздействию (весу, интенсивности) на общую для них характеристику. Парные сравнения критериев и альтернатив проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующая строке А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке В и столбцу А, - обратным ему числом. Если А и В эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.
Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:
- · Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
- · Какой из них более вероятен?
- · Какой из них предпочтительнее?
Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.
Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.
Пусть: A 1 ...A n - множество из n элементов; W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:
Таблица 4 - Парные сравнения
Для получения каждой матрицы требуется n(n - 1)/2 суждений, где n - число критериев, если сравнение проводится среди них, или число альтернатив, если они сравниваются по каждому критерию. При бинарном сравнении альтернатив, особенно при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок.
4. Обработка результатов в методике МАИ осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием специальных процедур оценки субъективных суждений на основании шкалы сравнений.
Для обоснования шкалы МАИ учитывается, что способность человека производить количественные разграничения можно представить пятью определениями: а) равный; б) слабый; в) сильный; г) очень сильный; д) абсолютный. Можно принять компромиссные определения между отмеченными соседними, когда нужна большая точность. В целом
требуется девять значений, выносимых при сравнении объектов суждений. Использование единицы в начале шкалы соответствует отношению значимости объекта относительно самого себя.
Для определения значений суждений следует начинать сравнение с левого элемента матрицы постановкой вопроса: насколько он важнее каждого из элементов, расположенных вверху (какой более вероятен или какой более предпочтителен). Если сравниваемый элемент важнее того, с которым он сравнивается, то в соответствующую позицию матрицы заносится целое число из шкалы относительной важности; в противном случае берется обратная величина. При сравнения элемента с самим собой отношение равно единице.
5. Для объединения суждений целесообразно найти среднегеометрическое значение путем перемножения соответствующих числовых значений в каждой строке матрицы суждений и извлечении корня степени, равной числу оцениваемых элементов. В результате получаем значение компонент собственного вектора.
Таблица 5 - Синтез локальных приоритетов критериев
|
Компоненты вектора приоритета |
Нормативный вектор |
||||
|
х1=а /s |
|||||
|
х2=b /s |
|||||
|
х3=c /s |
|||||
|
s =а +b +с |
- 1) суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта (в данном случае первого фактора) и т. д.;
- 2) суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась единице, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин;
- 3) разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т. е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке - усреднение по нормализованным столбцам;
- 4) умножить п элементов каждой строки и извлечь из произведения корень п-й степени. Нормализовать полученные числа.
В общем случае, когда матрица М[п] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов
- (факторов взвешивания).
- 6. Синтез приоритетов заключается в разработке глобального критерия оценки альтернативных вариантов решения на базе системы локальных приоритетов. Система локальных приоритетов - это совокупность векторов приоритетов по каждой матрице попарных сравнений. Один вектор приоритетов показывает значимость критериев и определяется по матрице попарных сравнений критериев. Остальные векторы приоритетов показывают значимость (результаты сравнения) вариантов по соответствующему критерию. Вектор приоритетов представляет собой нормализованный собственный вектор матрицы попарных сравнений.
Таблица 6 - Синтез локальных приоритетов альтернатив
|
Компоненты вектора приоритета |
Нормативный вектор |
||||
|
s= а+в+с |
7. После определения вектора приоритетов находят оценки согласованности мнений экспертов. Для этого определяется отношение согласованности локальных критериев. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.
Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого определяется сумма по каждому столбцу суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Полученные числа суммируются, таким образом, получаемая величина лmах называется оценкой максимума (главного значения матрицы М). Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе лmах к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонение от согласованности называют индексом согласованности (ИС):
Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.
Таблица 7 - Определение случайной согласованности
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.
8. После проверки согласованности локальных приоритетов определяется глобальный критерий для каждого возможного варианта решений. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня и вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия (взвешиваются) вышестоящего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Это удобно представить в виде матрицы глобальных приоритетов.
Таблица 8 - Матрица глобальных приоритетов
Обобщенные веса или приоритетность объекта при их выборе равны сумме произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.
Сравнивая полученные значения глобальных приоритетов, определяют рейтинг для всех стратегий. Высокий рейтинг будет соответствовать наибольшему значению глобального вектора приоритета или наиболее предпочтительной альтернативной стратегии. Оценить полезность вариантов выбора конкурентных стратегий можно с помощью нечеткой статистической теории принятия решений.
Основные этапы формирования и выбора конкурентной стратегии организации с использованием аналитических и процедурных методов, в частности, метода анализа иерархий, положенные в основу разработанной методики, представлены на рис. 5.
Достоинством предлагаемой методики выбора конкурентной стратегии является то, что метод МАИ в отличие от других экспертных дает возможность оценивать сразу и качественные, и количественные характеристики посредством перехода к безразмерным показателям. С помощью этого метода можно осуществлять поиск оптимальной конкурентной стратегии в любой рыночной ситуации, так как он позволяет сравнивать все факторы одновременно, определяя значимость путем сравнения попарно каждого с каждым. В результате определяется относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. При этом другие методы позволяют одновременно сравнивать, как правило, только по два фактора.
Рисунок 5 - Этапы формирования и выбора стратегии организации методом анализа иерархий (МАИ)
В рамках теории принятия решений процедура согласования результатов может быть рассмотрена как многокритериальная задача, в которой альтернативами являются подходы оценки недвижимости. Для получения весов этих подходов необходимо выбрать критерии оценки альтернатив. В литературе встречаются различные варианты выбора критериев для процедуры согласования, например может быть предложен вариант, в которой отражены рассуждения, проведенные выше. Эти критерии в совокупности достаточно хорошо позволяют оценить специфику проводимых расчетов рыночной стоимости недвижимости в рамках каждого из применяемых подходов. Таким образом, в действительности речь идет о применимости подходов и методов оценки.
Метод анализа иерархий (МАИ) (Analytic Hierarchy Process — АНР) является математической процедурой для иерархического представления сущностных элементов на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательных суждений оценщика по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно.
Главное преимущество метода анализа иерархий, разработанного американским математиком Т. Саати, заключается в возможности сравнивать критерии и варианты решений попарно, что существенно облегчает обоснование сделанных выводов.
Пример иерархии
Алгоритм МАИ состоит из следующих этапов:
1. Структурировать проблему согласования результатов в виде иерархии и построить ее (рис. 15.1).
Например, в результате оценки получены следующие результаты:
- сравнительный подход — 2 950 000 у.е.;
- затратный подход — 2 440 000 у.е.;
- доходный подход — 2 980 000 у.е.
-
Тогда проблема согласования результатов может быть представлена в виде иерархии, где верхний уровень — цель — определение рыночной стоимости; промежуточный уровень — критерии согласования (их указано четыре), нижний уровень — набор альтернатив — результаты, полученные применением различных подходов оценки.
Далее использован следующий набор из пяти критериев:
а) адекватность подхода цели оценки;
б) наличие необходимой и достоверной информации, на основе которой проводится анализ;
в) способность используемого подхода учитывать влияние рыночной ситуации, отражать конъюнктурные колебания;
г) адекватность применения подхода типу объекта недвижимости способность его учитывать специфические особенности объекта оценки, влияющие на его стоимость;
д) способность используемого подхода учитывать риски управления для оцениваемого объекта недвижимости.
2. Выполнить парные сравнения элементов каждого уровня. После иерархического воспроизведения проблемы строится матрица нения критериев и рассчитываются значения приоритетов критериев. В методе анализа иерархий все элементы задачи сравниваются повторно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента ад другим. Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности. Система парных сравнений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементы матрицы обозначаются Аiy и представляют собой интенсивность продления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j.
Пусть A1, Аn - множество из n элементов, W1 Wn - элементы иерархии - соотносятся следующим образом:
| А n | ||||
| А 1 | ||||
| А 2 | ||||
| А n | 1 |
При сравнении элементов, принадлежащих одному уровню иерархии, оценщик выражает свое мнение, используя одно из определений шкалы интенсивности. Интенсивность проявления обычно оценивается по шкале интенсивности в балльных оценках от 1 до 9, где балльные оценки имеют смысл, отраженный в табл. 15.2. В матрицу сравнения заносится соответствующее число. При желании оценщик может использовать и четные целые числа, выражая промежуточные уровни предпочтения по важности.
Выбор шкалы определялся следующими требованиями: I - шкала должна давать возможность улавливать разницу субъективной составляющей аналитиков, когда они проводят сравнения, различать как можно больше градаций оценок;
- эксперт должен быть уверенным во всех градациях своих суждений одновременно.
3. Вычислить коэффициенты значимости (важности) для элементов каждого уровня.
Вычисление весовых коэффициентов критериев согласования результатов оценки производится по формуле
Пример 15.3. Для указанных выше значений, полученных применением трех подходов оценки, и для пяти сформулированных выше критериев расчет весовых коэффициентов для каждого примененного подхода по каждому из критериев согласования
Итоговое значение рыночной стоимости объекта недвижимости определяется в соответствии с весом каждого из подходов
С учетом весов стоимостных оценок, полученных в результате применения классических подходов, средневзвешенное значение рыночной стоимости объекта оценки составит округленно 2 900 000 дол.
Результаты, полученные методом анализа иерархий, должны быть оценены с точки зрения здравого смысла. Весьма полезным инструментом иерархической теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который позволяет диагностировать степень нарушения согласованности.
При расчете матрицы парных сравнений целесообразно учитывать лимит отклонения от согласованности. Если выявленные отклонения превышают установленные пределы, то суждения, занесенные в матрицу, следует перепроверить.
Индекс согласованности = (amax — п) : (п — 1).
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, то получим отношение согласованности. Величина отношения согласованности не должна превышать 10%.
В каждом конкретном случае проведения процедуры согласования оценщик должен взвесить все за и против при выборе того или иного метода.
Так, опытный эксперт, привлеченный к проведению согласования результатов в рамках той же оценки, выполнил эту процедуру традиционным образом, используя экспертный метод. Он определял веса трех подходов по тем же критериям, которые были введены в примененном выше методе анализа иерархий, используя простейшую двубалльную шкалу (0; 1)
Оба метода дали одинаковые весовые коэффициенты, а следовательно, и результат согласования - итоговую величину стоимости. Этот пример показывает, что в каждой конкретной ситуации оценщику необходимо осознанно выбирать тот или иной метод исходя из принципа целесообразности.
Такое решение может быть принято после ответа на следующие вопросы:
1. Какой из методов предпочтительнее с точки зрения экономии ресурсов? От рационального использования трудовых ресурсов (работа экспертов) и ресурсов времени зависит эффективность процесса оценки.
2. В каком случае снижается доля субъективизма? В оценке всегда присутствует неизбежная доля субъективизма, который достаточно сильно влияет на точность расчетов. Соотношение количества принимаемых субъективных решений в традиционном экспертном методе и МАИ - не в пользу последнего.
3. Оценит ли заказчик применение сложных аналитических процедур прикладной математики для формализации процедуры согласования/ Понятно, что грамотное обоснование результатов согласования - необходимое требование к оформлению результатов оценки. Однако применение «изысканий» «на ровном месте» может сослужить оценщику плохую службу при установлении взаимопонимания с заказчиком.
Хочется еще раз подчеркнуть, что стоимость объекта оценки, указанная как итог в отчете, - это мнение независимого оценщика, и не более того. Покупатель имеет полное право с этим мнением не согласиться и в процессе переговоров предложить свою цену. Таким образом, цена сделки может достаточно серьезно отличаться от стоимости, которую определил оценщик в отчете. Причин этому может быть много, напри мер цена может зависеть от целей, стоящих перед покупателем, его субъективных мотиваций, особенностей проведенной сделки.
На Западе, как правило, оценочная стоимость компании незначительно отличается от цены заключаемой сделки. В российской действительности это расхождение часто составляет более 30%. Тем не менее грамотное и подтвержденное расчетами заключение оценщика, имеющего хорошую репутацию, может стать дополнительным аргументом при переговорах с потенциальным покупателем.
Изложение алгоритма МАИ приведем, следуя и , для наглядности совместив формальное описание с примером.
2.1. Основные положения
Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления компонентов, определяющих суть любой проблемы . Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень взаимодействия элементов. Эти суждения затем выражаются численно. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, выявления приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют некоторым численным оценкам.
Решение проблемы – это процедура поэтапного установления приоритетов. На первом этапе выявляются наиболее важные компоненты проблемы, на втором – наилучший способ проверки наблюдений, испытания и оценка альтернатив; на следующем этапе вырабатывается решение и оценивается его качество. Процесс может быть проведен также над последовательностью иерархий: в этом случае результаты, полученные в одной из них, используются в качестве входных данных при изучении следующей. Метод многокритериального отбора систематизирует процесс решения такой многоступенчатой задачи.
Основные принципы метода анализа иерархий
1. Принцип идентичности и декомпозиции . Предусматривает структурирование проблем в виде иерархии или сети.
2. Принцип сравнительный суждений (парных сравнений). Предполагает, что элементы задачи (альтернативы и критерии) сравниваются попарно с позиции их воздействия на общую характеристику.
3. Принцип синтеза приоритетов. Предполагает формирование набора локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.
2.2. Постановка задачи (пример)
Целью задачи является строительство аэропорта . Необходимо выбрать лучшую площадку для строительства аэропорта с точки зрения выделенных критериев. Комиссия по выбору постройки аэропорта предварительно отобрала из нескольких возможных три альтернативных варианта площадок – А1, А2, А3 . Было выявлено три основных критерия, влияющих на принятие решения о выборе площадки для строительства: 1 – стоимость строительства, 2 – время в пути от аэропорта до центра города, 3 – количество жителей, подвергающихся шумовым воздействиям. При решении задачи используется МАИ для поддержки процесса принятия решений.
2.3. Этапы маи
Этап 1. Построение иерархической структуры задачи многомерного выбора.
В общем случае простейшей трехуровневой иерархии структура имеет вид Рис.1.
Рис. 1. Обобщенна иерархическая структура проблемы
Этап 1. Структуризация.
Структуру решаемой задачи можно представить в виде иерархической структуры, показанной на Рис. 2.
Рис. 2. Иерархическая структура проблемы
Этап 2. Выполнение попарных экспертных сравнений элементов каждого уровня иерархий.
Рассмотрим элементы С 1 , С 2 , …, С n некоторого зафиксированного уровня иерархи. Мы хотим определить веса ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ n влияния этих элементов на некоторый элемент вышестоящего уровня. Основным инструментом оценки влияния является матрица чисел по шкале отношений 1, …, 9 (табл. 1), представляющих суждения о парных сравнениях. Для представления приоритетов в МАИ выбран собственный вектор, принадлежащий наибольшему собственному значению указанной матрицы А . Обозначим через число (бал), соответствующее значимости (предпочтения) элементаС i по сравнению с элементом С j данного уровня иерархии по влиянию С i , С j на фиксированный элемент вышестоящего уровня (например К1 на Рис. 2):
Матрица А с содержательной точки зрения будет согласованной по оценкам при введении условия
С математической точки зрения это условие наделяет матрицу А свойством обратносимметричной матрицы. На главой диагонали матрицы А стоят 1.
Если оценки попарных сравнений известны точно, т.е. оценки основаны на экспериментальных измерениях, то
т.е. веса влияния элементов известны.
Например, если взвешиваются два предмета: С 1 =305,2 и С 2 =244,2, тогда отношение означает, что предметС 1 в 1,25 раз тяжелее предмета С 2 .
Для случая экспериментального измерения весов ѡ 1 , ѡ 2 , …,ѡ i ,…, ѡ n сравниваемых элементов на уровне иерархии согласованность считается полной , естественно, с точностью до погрешности измерительных приборов или расчетных методик. При экспертной оценке отношений (7) согласованность суждений и соответственно матрицы А будет не полной . Значит нужно разработать некоторую числовую меру отклонения согласованности матрицы А от идеальной (см. ниже формулу отношения согласованности (9)).
Теперь рассмотрим подробнее содержательный смысл требования согласованности в МАИ.
В МАИ под согласованностью суждений подразумевается не просто традиционное требование транзитивности предпочтений : если например, для индивидуума яблоки предпочтительнее апельсинов, а апельсины предпочтительнее бананов, то яблоки должны быть предпочтительнее бананов.
Схематически это можно записать так:
– знак предпочтения элемента в отношении двух элементов; ∩ – знак пересечения множеств (совместности).
В МАИ транзитивность наделяется количественными отношениями. Например, если яблоки в 2 раза предпочтительнее апельсин (по цене), а апельсины предпочтительнее бананов в 3 раза, то яблоки должны быть в 6 раз предпочтительнее бананов. Именно это автор МАИ Саати называет числовой (кардинальной) согласованностью предпочтений. Несогласованность означает отсутствие пропорциональности, которое может нарушить транзитивность.
МАИ не только показывает наличие несогласованности отдельных сравнений, но и дает численную оценку того, как сильно нарушена согласованность для всей рассматриваемой задачи.
Замечание. В простейшей версии МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы между собой, но все они влияют на каждый элемент другого (вышестоящего) уровня. Таким образом, общая задача многокритериального выбора сводится к задаче оценки влияния уровней иерархи (снизу-вверх либо сверху-вниз).
Теперь обратимся к расчетам для нашего примера.
Зафиксируем нижний (третий) уровень иерархи Рис. 2, содержащий элементы А1, А2, А3 альтернативных площадок для строительства аэропорта. Зафиксируем также один элемент К1 – стоимость строительства на уровне 2 иерархии.
Примечание: в МАИ можно формировать матрицу парных сравнений на основе любой шкалы отношений, применяемой для измеряемых свойств сравниваемых объектов. В этом случае экспертная оценка заменяется отношением двух соответствующих измерений. Новая шкала (собственный вектор), которая выводится из матрицы парных сравнений, содержащий оценки реальных измерений, будет эквивалентна той, которую можно получить путем нормирования соответствующих измерений.
Таблица 1
Шкала относительной важности
Матрица экспертных оценок влияния элементов А1, А2, А3 на элемент К1 второго уровня иерархии показана в таблице 2 (выделено темным цветом). В таблице 2 приведены также расчетные величины для определения максимального собственного значения и главного собственного вектораполученной матрицыА (алгоритм расчета этих величин описан в этапе 3 алгоритма в таблице 6).
Аналогично получены матрицы парных сравнений элементов А1, А2, А3 относительно критерия К2 (таблица 3) и критерия К3 (таблица 4).
Таблица 2
Матрица А С.1 парных сравнений альтернатив по первому критерию
|
Стоимость производства К1 |
W1 | ||||
|
Сумма по столбцу СВ | |||||
|
λmax=3,44; ИС=0,22; ОС=0,379. |
|||||
Таблица 3
Матрица А С.2 парных сравнений альтернатив по второму критерию
|
Стоимость производства К2 |
Компоненты собственного вектора W2 |
Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов |
|||
|
Сумма по столбцу СВ | |||||
|
λmax=3,04; ИС=0,22; ОС=0,03. |
|||||
Таблица 4
Матрица А С.3 парных сравнений альтернатив по третьему критерию
|
Стоимость производства К3 |
Компоненты собственного вектора W3 |
Нормализованные компоненты собственного вектора приоритетов |
|||
|
Сумма по столбцу СВ | |||||
|
λmax=3,37; ИС=0,18; ОС=0,31. |
|||||
Аналогично строиться матрица парных сравнений для второго уровня иерархий, элементами которого являются критерии К1, К2, К3 . Эта матрица показана в таблице 5 (выделено темным цветом).
Таблица 5
Матрица А С.4 парных сравнений критериев
|
Компоненты собственного вектора W 4 |
Компоненты нормализованного собственного вектора приоритетов элементов второго уровня (критериев) |
||||
|
λmax=3,297; ИС=0,15; ОС=0,26. |
|||||
Этап 3 . Определение вектора приоритетов.
В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии принят нормализованный главный собственный вектор матрицы попарных сравнений. Для расчета этих векторов используется приближенный метод 4 из оценки через средние геометрические.
Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов. Чем больше i -я компонента СВ, тем больше влияние i -го элемента в комплексе всех элементов анализируемого уровня иерархии на выделенный элемент С вышестоящего уровня.
Для нижнего уровня альтернатив (площадок для строительства А1, А2, А3 ) алгоритм расчета собственного вектора, относящийся к матрице парных сравнений из таблицы 2, показан в таблице 6. В таблице 2 показан также результат расчета – нормализованный собственный вектор .
Аналогично рассчитывается нормализованные собственные векторы для матриц парных сравнений А с.2 и А с.3 из таблиц 3 и 4.
Получены оценки: ;, которые отражены в таблицах 3 и 4.
Для второго уровня иерархии, включающего критерии К1, К2 и К3 , оценка нормализованного собственного вектора, характеризующие его приоритеты этого уровня по влиянию на единственный элемент верхнего (первого) уровня, т.е. цель выбора, производится по описанному выше алгоритму. Для матрицы парных сравнений А с.4 из таблицы 5, получены данные расчета: .
Таким образом, все векторы приоритетов для второго и третьего уровней иерархии получены.
Этап 4. Определение максимальных собственных значений и степени согласованности матриц парных сравнений.
Прежде чем перейти к синтезу оптимальной альтернативы с учетом всех элементов второго и третьего уровней иерархии, нужно убедиться в достаточном уровне согласованности всех матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.2 , А с.4 . Для этого нужно вычислить максимальные собственные значения этих матриц. В теории МАИ приводится следующий алгоритм расчета. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются:
где k – номер матрицы парных сравнений (суждений); – вектор-строка столбцовых сумм матрицы суждений с номеромk ; – нормализованный собственный главный вектор матрицы сужденийА с. k , принадлежащий наибольшему собственному значению .
Таблица 6
Матрица парных сравнений альтернатив по первому критерию К1
|
К1 |
А1 |
А2 |
А3 |
Компоненты собственного вектора |
Компоненты нормализованного вектора приоритетов |
|
А1 | |||||
|
А2 | |||||
|
А3 | |||||
|
Сумма по столбцам | |||||
В (8) умножение производится по правилу скалярного произведения векторов.
Например, для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2 получим:
Максимальные собственные значения всех матриц суждения ,,,приведены соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.
Этап 5 . Определение индексов согласованности и отношений согласованности для матриц суждений.
В общем случае под согласованностью понимается то, что при наличии основного (базового) массива необработанных данных все другие данные логически могут быть получены из них. Или другими словами, отношения элементов всей матрицы А не должны быть противоречивыми.
Из теории МАИ известно, что идеальная согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию
Заметим, что всегда верно, поэтому
Тогда степень согласованности матрицы суждений можно оценить мерой, называемой индексом согласованности (ИС)
Знаменатель – это число всех возможных парных сравнений данного элементав фиксированной строкеi для квадратной матрицы n -го порядка.
Следовательно, ИС имеет смысл отклонения от абсолютной согласованности, приходящегося на одно парное сравнение.
Вводится критерий, называемый отношением согласованности (ОС):
где СС – индекс случайной согласованности (СС).
СС определяется путем задания оценок по шкале отношений для случайно выбранных суждений при парных сравнениях и соответствующих им обратных величин для матрицыА. Значения СС в теории МАИ заранее вычислены и представлены в таблице 7.
Таблица 7
Случайная согласованность для случайных матриц
Приемлемая величина ОС – порядка 10% или менее. Если ОС выходит из этих пределов, то ЛПР должно провести более глубокие исследования задачи и проверить свои суждения, т.е. назначение величин в матрице парных сравнений.
В качестве примера приведем оценки для матрицы суждений А с.1 из таблицы 2:
Величины значения индекса согласованности и отношений согласованности для матриц суждений А с.1 , А с.2 , А с.3 , А с.4 показаны соответственно в таблицах 2, 3, 4 и 5.
Замечание. Формально отношения согласованности ОС 1 =0,378 для матрицы А с.1 , ОС 3 =0,31 для матрицы А с.3 и ОС 4 =0,26 для матрицы А с.4 являются неприемлемыми, т.е. уровень их согласованности очень мал. Требуется, чтобы ОС было меньше 0,1. Однако исправление указанных матриц суждения, а значит и всей задачи мы делать не будем, поскольку рассматриваемая задача носит учебный характер.
Этап 6. Синтез приоритетов уровней.
В математической теории иерархий разработан метод оценки воздействия уровня на соседний вышестоящий уровень путем композиции соответствующего вклада (приоритетов) элементов данного уровня по отношении к каждому элементу соседнего верхнего уровня. Композиция распространяется снизу-вверх. В принципе, можно рассматривать также распространение композиции сверху-вниз.
Математически «композиция» отображается оператором умножения. Как известно , в математической логике операция умножения отображает совместное действие сомножителей.
Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты (приоритеты альтернатив А 1 , А 2 , А 3 по каждому критерию) перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии критериями на которые воздействует этот элемент. Процедура продолжается до самого нижнего уровня. В формализованном виде процедура синтеза приоритетов имеет следующий вид.
Общий вектор приоритетов взаимного влияния уровня 3 альтернатив (А 1 , А 2 , А 3) и уровня 2 критериев (К1, К2, К3) на общую цель (уровень 1) равен:
где В – матрица компонент нормированных векторов приоритетов альтернатив первого снизу уровня (см. таблицы 2, 3 и 4); – нормированный вектор приоритета критериев второго уровня (таблица 5).
В (11) умножение производится по правилам умножения матрицы на вектор:
Для нашего примера:
Этап 7 . Выбор оптимально альтернативы.
Алгоритм оптимального выбора прост:
Таким образом, алгоритм оптимального многокритериального выбора приводит к выбору площадки А 1 для строительства аэропорта, так как ей соответствует наибольшее значение компоненты вектора общего приоритета
Достоинством метода анализа иерархий является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применятся в тех случаях, когда эксперты не могут дать абсолютной оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.
Порядок расчета показателей важности по методике анализа иерархий Т. Саати
При утверждении управленческих решений и прогнозировании вероятных итогов лицо, принимающее решение, как правило, сталкивается со сложной организацией взаимозависимых элементов, которую нужно разобрать. На сегодняшний день есть масса технологий, позволяющих максимально облегчить существование и помочь в решении проблем, сплоченных с процессами принятия решений. «Метод анализа иерархий, разработан Т. Саати. Сегодня его используют повсеместно: от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей». Данный метод разрешает группе людей, взаимодействовать по интересующей их задаче, видоизменять свои мнения и в итоге соединить групповые мнения в соответствии с главным критерием: при проведении попарных сопоставлений объектов по касательству к некоторой характеристике, или характеристик по отношению к высшей цели, полярные отношения обеспечивают ключ к объединению групповых суждений целесообразным образом.
Метод анализа иерархий Т. Саати проводится по следующей схеме:
1) структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети;
2) установка приоритетов критериев и оценка каждой из альтернатив по критериям;
3) вычисляются коэффициенты важности для элементов каждого уровня. При этом проверяется согласованность суждений;
4) подсчитывается комбинированный весовой коэффициент и определяется наилучшая альтернатива.
Ключевой задачей в методе анализа иерархий Т. Саати является оценка высших уровней исходя из взаимодействия разных уровней иерархии, а не из прямой зависимости от элементов на этих уровнях. Точные технологии построения систем в виде иерархий понемногу появляются в естественных и общественных науках, и в особенности в задачах общей теории систем, объединенных с планированием и построением социальных систем. Концептуально, наиболее примитивная иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к последующему.
Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, подчиняющийся уровню мастеров, который в свою очередь подчиняется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в подчиняющем, так и в подчиненном положении. В математической теории иерархий разрабатывается технология оценки влияния уровня на соседний уровень посредством композиции надлежащего вклада компонентов нижнего уровня по отношению к компоненту верхнего уровня. Эта система может распространяться вверх по иерархии.
В наиболее примитивном виде иерархия основывается с вершины, через промежуточные критерии к самому нижнему уровню – комплекту альтернатив.
После иерархического отображения вопроса учреждаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по заданным параметрам.
Каждый предмет можно оценивать по многим показателям качества.
Эксперт может сопоставить два предмета и дать им оценки, например, упорядочить несколько предметов по привлекательности. Ответы эксперта обычно измерены в порядковой шкале, являются ранжировками, итогами парных сравнений.
Метод анализа иерархий Т. Саати предполагает следующие этапы:
2. построение иерархии - разложение проблемы на элементарные составляющие: от проблемы через промежуточные составляющие к самому нижнему - перечню простых .
В качестве количественной характеристики может быть избрано стандартное отклонение. В данном случае авторитет подхода обусловливается, по аналогии с неравноточными измерениями, величиной обратно пропорциональной значимости квадрата стандартного отклонения.
Для проведения субъективных парных сравнений Т. Саати была разработана шкала относительной важности.
Метод анализа иерархий - действенный, элементарный и доступный метод. Он употреблялся при решении многих задач, среди которых:
Репетиторство
Нужна помощь по изучению какой-либы темы?
Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку
с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.