Практическое изучение метода анализа иерархий

1. Теоретические сведения

Метод анализа иерархий, разработанный и опубли­ко­ванный в 1970 году аме­ри­канским ма­те­матикомСаати , относится к классу критериальных . Он по­лу­­чил очень ши­ро­кое распро­странение и в настоящее время продолжает ак­ти­в­но применяться - см., например, (задача составления оптимального про­изводственного плана нефтепереработки), (задача оценки недвижимости).

На первом этапе применения метода предусматривается структу­рирование про­­блемы в ви­де иерархии или сети . Иерархия строится с вершины (целей - с точки зрения управ­ле­ния), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является пе­речнем вариантов выбора).

Иерархия считается полной , если каждый элемент заданного уровня функци­о­нирует как критерий для всех эле­мен­тов нижестоя­щего уровня. В против­ном случае иерархия - не­полная . Нетрудно понять процесс определения ве­сов в случае не­полной иерархии, так как используются приоритеты соотве­тс­т­ву­ю­щего элемента, по отношению к которому произ­во­дится оценка, т. е. ие­рархия может быть разделена на подиерархии , имеющие общим са­мый вер­хний элемент.

Для объяснения метода анализа иерархий рассмотрим пример, ил­люстриру­ю­щий иерар­хи­ческое пре­дставление задачи. Предположим, что перед нами сто­­­ит задача выбора авто­мо­биля из со­вокупности, члены которой (модели ав­то­мобилей) обозначаются как А, Б, В и Г.

Определив на первом (высшем) уровне общую цель - «Автомобиль» - н­а вто­ром уровне на­хо­дя­т­ся пять факторов или критериев, уточ­няю­щих цель, и на третьем (нижнем) уровне нахо­дятся четыре автомобиля - кан­ди­дата, кото­рые должны быть оценены по отношению к критериям вто­рого уровня.

В качестве критериев, определяющих наш выбор, используются такие критерии:

Вместительность салона и багажника

Экономичность (расход горючего)

Ходовые качества

1. Стоимость

Следующим шагом метода после выполнения шага иерархического или сете­во­го во­спро­изведения проблемы производится установление приоритетов кри­­териев и оценка каждого вариантов альтернативы по критериям. В методе анализа иерархий элементы задачи срав­ниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на об­щую для них характе­ри­стику. Проведем парные сравнения, приводящие к мат­ричной фор­ме. Сра­в­ни­вая набор составляющих проблемы друг с другом, полу­чаем следующую ква­д­­ра­т­­ную матрицу:

Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметрич­ности, т. е.

где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Пусть А 1 , А 2 , А з , ..., А n - множество из n элементов и w 1 , w 2 w 3 , ..., w n - со­от­ветственно их веса, или интен­сив­ности. С исполь­зованием метода анализа ие­рархий вес, или интенси­в­ность, каждого элемента сравниваются с весом, или интенсивностью, любого другого эле­­мента множества по отношению к об­щему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить ква­дратной таблицей, в которой числа могут быть расположены сле­дующим образом

Если w 1 , w 2 , w 3 ..., w n неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов про­из­во­дя­тся с ис­пользованием субъективных суждений, оцениваемых чи­сле­нно по некоторой шка­ле, а вслед за чем решается проблема нахождения ком­понент w .

Для фиксации результата сравнения пары альтернатив может использоваться, в частности, шкала, предложенная автором метода:

1 - равноценность

3 - умеренное превосходство

5 - сильное превосходство

7 - очень сильное превосходство

9 - высшее (крайнее) превосходство

Значения 2,4,6,8 используются для обозначения промежуточной между пере­численными значениями степени превосходства.

Если элемент i важ­нее элемента j , то в клетку заносится положительное це­лое (от 1 до 9); в противном случае - обратное число (дробь). Относи­тель­ная важность любого элемента, сра­вниваемого с самим собой, равна 1; поэ­то­му диагональ матрицы (элементы от ле­вого верхнего угла до нижнего пра­вого) содержит только единицы. Симметричные клет­ки за­по­лняются обрат­ны­ми величинами, т. е. если элемент А воспринимается как «слегка более ва­жный» (3 на шкале) относительно элемента Б, то считаем, что элемент Б «сле­­г­ка менее важен» (1/3 на шкале) относительно элемента А.

Когда проблемы представлены иерархически, матрица состав­ляется для сра­в­не­ния от­но­сительной важности кри­териев на вто­ром уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подоб­ные матрицы должны быть по­ст­ро­ены для парных сравнений каж­дого ва­рианта альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уро­вня. Ма­трица составляется, если запи­сать сравнивае­мую цель (или критерий) вверху и пере­чи­слить сравни­вае­мые эле­менты слева и сверху.

В примере потребуется построить шесть таких матриц.

Одна матрица создается для второго уровня иерархии, например,

и пять матриц - для третьего уровня, например,

Вместительность:

Экономичность:

Ходовые качества:

Дизайн:

Стоимость:

Сравниваемые попарно элементы - это воз­можные варианты выбора авто­мо­биля. Срав­ни­вается, насколько более жела­телен или хорош тот или иной ав­томобиль для удов­ле­т­во­рения каж­дого критерия второго уровня. Получаем пять мат­риц суждений размерностью 4х4, по­ско­льку имеется пять критериев на вто­ром уровне и четыре автомобиля, которые по­парно сра­вниваются по каждо­му из критериев.

Из группы матриц парных сравнений формируется набор ло­кальных при­о­ри­те­тов, ко­то­рые выражают относи­те­льное влияние множества элементов на эле­мент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, ве­ли­чину, ценность, желательность или ве­ро­ят­ность каждого отдельного объекта че­рез «решение» мат­риц, каждая из которых об­ла­дает обратно­сим­мет­рич­ны­ми свойст­вами. Для этого нужно вычислить множество собст­ве­н­ных ве­к­то­­ров для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к еди­нице, по­лу­чая тем самым вектор приоритетов. Вычисление собственных векторов за­ме­ня­ется более про­стым приближенным вычислением прио­ритетов каждого критерия в виде сред­него геомет­ри­че­с­кого. Для этого элементы в каждой стр­оке перемножаются и из каждого произве­де­ния изв­ле­­­кается корень n -й степени, где n - число элементов (вариантов альте­рна­тивы). Полу­че­н­ный та­ким образом столбец чисел нормализуется деле­нием каждого числа на сум­му всех чисел. Таким образом, можно определить не только порядок приори­те­тов каждого отдель­ного элемента, но и величину его приоритета. Для нашего примера имеем:

Для матриц третьего уровня:

Вместительность:

Экономичность:

Ходовые качества:

Дизайн:

Стоимость:

Приоритеты синтезируют­ся, начиная со второго уровня вниз. Локальные при­­­о­ритеты пе­ре­­множаются на приоритет соответствующего критерия на вы­ше­стоя­щем уровне и сум­ми­руются по каждому элементу в соответствии с кри­териями, на которые воздействует этот элемент. Это дает составной, или гло­бальный, приоритет того элемента, который затем ис­пользуется для взве­ши­вания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отно­ше­нию к нему как, к критерию и расположенных уровнем ниже. Таким образом, для вы­чи­сле­­­ния веса каждого варианта на третьем уровне необходимо найти сум­му произ­ве­дений веса каждого варианта по каждому критерию на величину приоритета данного критерия:

В условиях рассматриваемого примера имеем:

Весьма важным является так на­зываемый индекс согласованности , который дает ин­фор­ма­цию о степени нарушения численной (кардинальной, ) итран­зити­вной (поряд­ковой) согласованности. Для улучше­ния согла­сованности рекомендуется произве­сти по­иск дополнительной ин­фо­р­ма­ции и пересмотр данных, использованных при пост­ро­ении шка­лы. В дру­гих процедурах построения шкал отношения нет структурно порож­ден­ного ин­де­к­са. Вместо традиционно исполь­зуемых при построении ординальных шкал (при использовании значений 0,1,2 для выражения предпоч­те­ний), как уже было отмечено выше, в матрицах парных сравнений метода ис­поль­зуются обратные величины.

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть при­­ближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируются эле­ме­н­­ты каждого столбца суж­дений, затем сумма первого столбца умножается на ве­личину первой компоненты нор­ма­лизо­ванного ве­­ктора приоритетов, сум­ма второго столбца - на вторую компоненту и т. д. Затем по­лу­ченные чи­сла суммируются. Если обозначить эту сумму как , то для ин­дек­са со­гла­со­ва­нности (ИС) имеем:

где n - число срав­ниваемых элементов.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном вы­­боре коли­че­с­твенных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9. Средние со­гласованности для слу­чай­ных матриц (CC - случайная согласованность) имеют такие значения:

Отношение согла­сованности (ОС) получим, разделив ИС на число, соответ­с­т­­вующее случайной согла­сованности матрицы того же порядка.

Для матрицы первого уровня данного примера имеем:

ИС=(5,29-5)/4=0,07

ОС=0,07/1,12=0,066

Для матриц третьего уровня:

Приемлемой считается величина ОС порядка 10% или менее. В некоторых слу­чаях можно допус­тить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих преде­лов, то нужно повторно ис­сле­довать задачу и проверить свои суждения.

Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.

Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).

После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:

Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:

• Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• Какой из них более вероятен?
• Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n
...	...	1	A n
A n	W n /W 1	...	1

Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:

	A 1	...	A n
A 1	1	...	W 1 /W n	X 1 =(1*(W 1 /W 2)*...*(W 1 /W n)) 1/n	BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i)
...	...	1	A n	...	...
A n	W n /W 1	...	1	X n =((W n /W 1)*...*(W n /W n-1)*1) 1/n	BEC(A n)=X n /СУММА(X i)
				СУММА(X i)

Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.

Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

ИС = (l max - n)/(n - 1)

Для наших матриц всегда l max і n.

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

СУТЬ МЕТОДА МАИ Иерархия возникает тогда, когда системы,
функционирующие на одном уровне, функционируют как
части системы более высокого уровня, становясь
подсистемами этой системы. МАИ является процедурой
для иерархического представления элементов,
определяющих суть проблемы. Метод состоит в
декомпозиции проблемы на более простые составляющие
части дальнейшей обработки последовательности
суждений лица, принимающего решения по парным
сравнениям. включая процесс синтеза многих суждении,
получения приоритетности критериев и нахождения
альтернативных решений.

ПОРЯДОК ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Построение качественной модели проблемы в виде
иерархии, включающей цель, альтернативные варианты
достижения цели и критерии для оценки качества
альтернатив.
Определение приоритетов всех элементов иерархии с
использованием метода парных сравнений.
Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем
линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
Проверка суждений на согласованность.
Принятие решения на основе полученных результатов.

ПОСТРОЕНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПРОБЛЕМЫ –ПЕРВЫЙ ШАГ МАИ

Иерархическая структура объединяет цель выбора, критерии,
альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения.
Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты
проблемы.

ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой
инструмент для качественного моделирования сложных проблем.
Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня
представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив);
элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или
факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют
специальные термины для описания иерархической структуры МАИ.
Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла,
принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из
которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов,
имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами
сравнения.

ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР (продолжение)

Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие
из различных групп сравнения, называются покрывающими
Критериями. Используя эти термины для описания
представленной выше диаграммы, можно сказать, что четыре
Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это
родительский элемент для любого из Критериев. Каждая
Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих
ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы
сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа,
включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ
будет зависеть не только от объективного характера
рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы
ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса.

РАССТАНОВКА ПРИОРИТЕТОВ

Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами
иерархии. Они представляют собой относительные веса
элементов в каждой группе. Подобно вероятностям,
приоритеты - безразмерные величины, которые могут
принимать значения от нуля до единицы. Чем больше
величина приоритета, тем более значимым является
соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов
элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего
уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по
определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример,
поясняющий методику вычисления приоритетов.

ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МАИ С ПРИОРИТЕТАМИ, ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО УМОЛЧАНИЮ (рис. 1)

.

ПОЯСНЕНИЯ К РИС.1

На рис.1 показана иерархия, в которой приоритеты всех
элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по
умолчанию приоритеты элементов считаются
одинаковыми, т.е.все четыре критерия имеют равную
важность с точки зрения цели, а приоритеты всех
альтернатив равны по всем критериями. Др.словами,
альтернативы в этом примере неразличимы. Сумма
приоритетов элементов любого уровня, равна единице.
Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели
вычисляются путем умножения локального приоритета
каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и
суммирования по всем критериям.

10. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С РАЗЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ ДЛЯ АЛЬТЕРНАТИВ

Предпочтительная альтернатива – А1

11. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ИЗМЕНИВШИМИСЯ ПРИОРИТЕТАМИ ДЛЯ КРИТЕРИЕВ

Предпочтительная Альтернатива А3

12. АЛГОРИТМ МЕТОДА МАИ

13. 1 ШАГ – ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОБЛЕМЫ

14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ

Второй этап. После иерархического представления задачи
необходимо установить приоритеты критериев и оценить
каждую из альтернатив по критериям, определив наиболее
важную их них.
В МАИ элементы сравниваются попарно по отношению к
их влиянию на общую для них характеристику.
Парные сравнения приводят к записи характеристик
сравнений в виде квадратной матрицы.
Эта матрица обратно симметричная, т.е. имеет место
свойство: aij=1/aji, где индексы i и j - номер строки и номер
столбца, на пересечении которых стоит элемент.

15. ШКАЛА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ

Интенсивность относительной
важности
Определение
1
Равная важность
3
Умеренное превосходство
одного над другим
5
Существенное или сильное
превосходство
7
Значительное превосходство
9
Очень сильное превосходство
2,4,6,8
Промежуточное решение между
двумя соседними суждениями

16. РАСЧЕТ ВЕКТОРА ПРИОРИТЕТОВ

Для определения относительной ценности каждого элемента необходимо
найти геометрическое среднее. С этой целью нужно перемножить n
элементов каждой строки и из полученного результата извлечь корни n-й
степени. Полученные числа ωi i=1÷n необходимо нормировать. Для этого
определяем нормирующий множитель
r =ω 1 +ω2 +ω3 + ………+ ωn. и
каждое из чисел ωi делим на r
q2i = ωi/r, (i = 1,2,3, . . . . . . n).
В результате получаем вектор приоритетов:
q2 = (q21, q22, q23, …..q2n), где индекс 2 означает, что вектор приоритетов
относится ко второму уровню иерархии.
Подобную процедуру проделываем для всех матриц парных сравнений.

17. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ

Любая матрица суждений в общем случае не согласована, так
как суждения отражают субъективные мнения ЛПР, а
сравнение элементов, которые имеют количественные
эквиваленты, может быть несогласованным из-за присутствия
погрешности при проведении измерений. Нужен способ
оценки степени согласованности при решении конкретной
задачи.
Метод анализа иерархий дает возможность провести такую
оценку.
.

18. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ (продолжение)

Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру
оценки степени отклонения от согласованности. Когда
такие отклонения превышают установленные пределы
тем, кто проводит решение задачи, необходимо их
пересмотреть.
С этой целью необходимо определить индекс
согласованности и отношение согласованности. Действия
для определения ИС
Определяется сумма каждого j-го столбца матрицы
суждений
sj = а1j + а2j+ а3j + ……… + аn j, j=1,2,3, …. ,n

19. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ (продолжение)

Затем полученный результат умножается на j-ю компоненту
нормализованного вектора приоритетов q 2, т.е. сумму суждений
первого столбца на первую компоненту, сумму суждений второго
столбца - на вторую и т.д.
рj= sj·q2j, j=1,2,3, ……, n.
Сумма чисел рj отражает пропорциональность предпочтений, чем
ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице
парных сравнений), тем более согласованы суждения. Вычисляется
Зmax = р1+р2+р3+ ……+рn.
Отклонение от согласованности выражается индексом
согласованности

20. ФОРМУЛА ДЛЯ РАСЧЕТА ИС

21. ОТНОШЕНИЕ СОГЛАСОВАННОСТИ ОС

Для определения того, насколько точно индекс
согласованности ИС отражает согласованность суждений его
необходимо сравнить со случайным индексом (СИ)
согласованности, который соответствует матрице со
случайными суждениями, выбранными из шкалы
1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
при условии равной вероятности выбора любого из
приведённых чисел. Отношение индекса согласованности ИС
к среднему значению случайного индекса согласованности
СИ называется отношением согласованности ОС. Значение
ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым.

22. РАСЧЕТ ОС

23. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ СОГЛАСОВАННОСТИ

Размер
матрицы
Среднее
Размер матрицы
значение
случайной
согласованности
Среднее
значение
случайной
согласованности
1
0
8
1,41
2
0
9
1,45
3
0,58
10
1,49
4
0,90
11
1,51
5
1,12
12
1,48
6
1,24
13
1,56
7
1,32
14
1,57
15
1,59

24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ АЛЬТЕРНАТИВ

Для определения приоритетов альтернатив необходимо локальные
приоритеты умножить на приоритет соответствующего критерия на
высшем уровне и найти суммы по каждому элементу в соответствии с
критериями, на которые воздействует этот элемент.
Обозначим через
q3k - вектор приоритетов k-й матрицы, расположенной на третьем
уровне;
q3ki - i-й элемент вектор приоритетов k-й матрицы суждений,
расположенной на третьем уровне;
q2k- k-й элемент вектор приоритетов матрицы суждений,
расположенной на втором уровне;
qj - приоритет j-го элемента третьего уровня.

25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ АЛЬТЕРНАТИВ (продолжение)

Тогда приоритет j-го элемента третьего уровня
определяется как
q1 = q311·q21 + q321 ·q22 + q331·q23 + . . . + q3n1·q2n
q2 = q312·q21 + q322 ·q22 + q332·q23 + . . . + q3n2·q2n
q3 = q313·q21 + q323· q22 + q333·q23 + . . . + q3n3·q2n
........................................
qn = q31n·q21 + q32n·q22 + q33n·q23 + . . . + q3nn·q2n

26. ПРИМЕР МЕТОДА МАИ

27. УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ

Цель – выбрать лучшую альтернативу из заданных трех
А1,А2, А3.
Каждая альтернатива оценивается по трем критериям
К1,К2, К3.

28. ИЕРАРХИЯ ПРОБЛЕМЫ

.
Цель
К1
К2
К3
А1
А2
А3

29. МАТРИЦА ПОПАРНОГО СРАВНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ

Цель
К1
К2
К3
К1
1
3
7
К2
1/3
1
3
К3
1/7
1/3
1

30. ПРИОРИТЕТЫ КРИТЕРИЕВ

Находим произведения элементов, находящихся в каждой строке:
1-я строка ω1 = √1·3·7 = 2,759; берутся корни 3-й степени (3- матрицы
2-я строка ω2 = √1/3 ·1·3 = 1,0;
размерность матрицы)
3-я строка ω3 = √1/7·1/3·1 = 0,362.
Проводим нормализацию полученных чисел.
Для этого определяем нормирующий множитель r
r = 2,759 + 1,0 + 0,362 = 4,121.
Вектор приоритетов
q21 = ω1/r = 2,759/4,121 = 0,6697;
q22 = ω2/r = 1,000/4,121 = 0,243;
q23 = ω3/r = 0,362/4,121 = 0,088.
Числа q21, q22 и q23 являются компонентами вектора приоритетов критериев
К1, К2 и К3 соответственно
q2 = (0.,67; 0,243; 0,088).

31. ПРОВЕРКА СОГЛАСОВАННОСТИ

Вычисляем:
s1 = 1+ 1/3 + 1/7 = 31/21; p1 = s1·q21 = 31/21·0,669 = 0,988;
s2 = 3 +1 + 1/3 = 13/3; p2 = s2·q22 = 13/3·0,243 = 1,051;
s3 = 7 + 3 + 1 = 11; p3 = s3·q23 = 11·0,088 = 0,967.
Зmax = р1+р2+р3 = 0,988 + 1,051 + 0,967 = 3,006;
ИС = (Зmax - n)/(n - 1) = (3,006 - 3)/(3 -1) = 0,003;
ОС = ИС/СИ = 0,003/0,58 = 0,005 <0, 1
Суждения экспертов согласованы.

32. МАТРИЦА ПОПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ И ПРИОРИТЕТЫ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К1

К1
А1
А2
А3
Приоритет
А1
1
1/3
7
0,3
А2
3
1
7
0,65
А3
1/7
1/7
1
0,06
ОС=0,120

37. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Нужно произвести выбор секретаря из девушек, подавших резюме.
Отбор девушек происходит по пяти критериям:
1. Знание делопроизводства.
2. Внешний вид.
3. Знание английского языка.
4. Знание компьютера.
5. Умение разговаривать по телефону.
Собеседование прошли четыре девушки.
1. 1. Ольга. 2. Елена. 3. Светлана. 4. Жанна
После собеседования получились следующее описание девушек:

38. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ (продолжение)

1. Ольга. Приятная внешность. Отличное знание английского языка.
Хорошее знание делопроизводства. Нет навыков работы на
компьютере, посредственное общение по телефону.
2. Елена. Красивая, приятная внешность, хорошее умение общаться
по телефону. Незнание английского языка, нет навыков работы на
компьютере, делопроизводство знает весьма плохо.
3. Светлана. Очень хорошее знание делопроизводства, хорошие
навыки работы на компьютере, достаточно хорошо общается по
телефону. Не очень приятная внешность, посредственное знание
английского языка.
4. Жанна. Приятная внешность, неплохие навыки работы на
компьютере, достаточно хорошее знание английского языка. По
телефону общается плохо, не знает делопроизводство.

39. МАТРИЦА ПОПАРНОГО СРАВНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ

Критерии
К1
К2
К3
Внешность (К1)
1
Язык (К2)
5
1
Делопроизводств 5
о (К3)
3
1
Компьютер (К4)
6
3
2
Телефон (К5)
6
3
К4
К5
2
1
2
1

40. ПОПАРНЫЕ СРАВНЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К1

К1
А1
Ольга (А1)
1
Елена (А2)
4
А2
А3
А4
5
1
6
Светлана
(А3)
1
Жанна (А4) 4
5
2
1

41. ПОПАРНЫЕ СРАВНЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К2

К2
А1
А2
А3
А4
А1
1
9
7
3
1
3
7
1
5
1
А2
А3
А4

42. ПОПАРНЫЕ СРАВНЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К3

К3
А1
А2
А1
1
5
7
3
1
7
4
9
1
А2
А3
А4
А3
1
А4

43. ПОПАРНЫЕ СРАВНЕНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К4

К4
А1
А1
1
А2
А3
А4
3
9
8
А2
А3
А4
1
7
5
1
4
1

Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.

Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией

В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.

Сфера образования и научных исследований

Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .

Устройство для удаленного ввода и обработки оценок

Методика применения МАИ

Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

Рассмотрим эти шаги подробнее.

Моделирование проблемы в виде иерархии

Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.

Определение иерархической структуры

Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.

Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.

В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.

Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .

Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.

Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ

Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .

Расстановка приоритетов

После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.

Определение приоритетов и пояснения

Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.

Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.

На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.

Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.

Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.

Введение

Метод анализа иерархий является замкнутой логической конструкцией, которая обеспечивает с помощью простых и хорошо обоснованных правил, решение многокритериальных задач, включающих как качественные, так и количественные факторы, причем количественные факторы могут иметь разную размерность. Метод основан на декомпозиции задачи и представлении ее в виде иерархической структуры, что позволяет включить в иерархию все имеющиеся у лица, принимающего решение знания по решаемой проблеме и последующей обработке суждений лиц, принимающих решения. В результате может быть выявлена относительная степень взаимодействия элементов в иерархии, которые затем выражаются численно. Метод анализа иерархий включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Весь процесс решения подвергается проверке и переосмыслению на каждом этапе, что позволяет проводить оценку качества полученного решения.

Метод анализа иерархий представляет собой систематическую процедуру для иерархического представления элементов, которые определяют суть задачи принятия решений.

Актуальность данной темы обусловлена широким применением метода анализа иерархий, на основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений возрастанием закона единства анализа и синтеза. В научной литературе подробно рассматривается метод анализа иерархий и его применение в различных областях.

Цель исследования - изучение закона единства анализа и синтеза, как в природе, так и в конкретной организации.

Объект исследования - компания, занимающаяся разработкой и продвижением программно-технологических решений для комплексной автоматизации управления предприятиями.

Предмет исследования - метод анализа иерархий.

Задачи исследования:

1) понятие и применение метода анализа иерархий;

2) исследование особенности метода анализа иерархий;

3) определение достоинств и недостатков метода анализа иерархий.

Данная работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя по три части, заключения и списка использованной литературы.

Особенности применения метода анализа иерархий, его преимущества и недостатки

Понятие и характеристика метода анализа иерархий

В настоящее время существует множество информационных технологий, позволяющих предельно облегчить жизнь и помочь в решении проблем, связанных с процессами принятия решений в различных предметных областях. В частности, очень распространены сейчас системы поддержки принятия решений на основе Метода Анализа Иерархий (МАИ). Оценка вариантов решений с использованием МАИ осуществляется как на основе объективной, так и субъективной исходной информации.

В начале 1970 года американский математик Томас Саати разработал процедуру поддержки принятия решений, которую назвал "Analityc hierarchy process" (AHP). Авторы русского издания перевели это название как "Метод анализа иерархий" - (Книга "Принятие решений. Метод анализа иерархий".

Этот метод относится к классу критериальных и занимает особое место, благодаря тому, что он получил исключительно широкое распространение и активно применяется по сей день, особенно в США. Не следует думать, что его выдающаяся популярность объясняется какими-либо важными преимуществами этого метода, по сравнению с другими. Здесь можно столкнуться с известным психологическим феноменом: продукт, появившийся первым и удачно удовлетворяющий определенную потребность, захватывает рынок. Более поздние продукты, зачастую более совершенные, часто оказываются неспособны вытеснить удачливого первенца.

На основе этого метода разработаны достаточно серьезные системы поддержки принятия решений, например "Expert choice".

Структура модели принятия решения в методе анализа иерархий представляет собой схему (граф), которая включает:

1) набор альтернативных решений;

3) набор групп однотипных факторов, влияющих на рейтинг;

4) множество направленных связей, указывающих на влияния решений, критерия и факторов друг на друга.

Структура модели отражает результат анализа ситуации принятия решения.

Первая группа понятий связана с описанием возможных структур моделей принятия решения.

Для вычисления приоритетов альтернативных решений к структуре необходимо добавить информацию о силе влияний решений, критерия и факторов друг на друга.

Вторая группа понятий связана с описанием данных для моделей принятия решения.

После того как сформирована структура и собраны все данные, модель принятия решения готова, т.е. в ней могут быть получены рейтинги приоритетов решений и факторов. Знание приоритетов используется для поддержки принятия решения.

Третья группа понятий связана с описанием результатов, получаемых в моделях принятия решения.

Четвертая группа понятий связана с пояснением того, как организованы вычисления. Знание этих понятий необходимо лишь для понимания математических обоснований метода. Для применения метода знание этих понятий необязательно.

Метод анализа иерархий представляет собой междисциплинарную область науки.

Обоснование вычислительных процедур метода проводится с помощью теории неотрицательных матриц.

Основным инструментом для сбора данных, благодаря которому метод практически не имеет аналогов при работе с качественной информацией, является процедура парных сравнений. Психологические обоснования шкал сравнений основаны на результатах исследований стимулов и реакций.

Анализ структуры модели, которой оперирует метод анализа иерархий, проводится с помощью процедур, разработанных в теории графов.

При проведении процедуры согласования и при решении обратной задачи используются методы оптимизации (нелинейного программирования).

Метод анализа иерархий представляется более обоснованным путем решения многокритериальных задач в сложной обстановке с иерархическими структурами, включающими как осязаемые, так и неосязаемые факторы, чем подход, основанный на линейной логике. Применяя дедуктивную логику, исследователи проходят трудный путь построения тщательно осмысленных логических цепей только для того, чтобы в итоге, полагаясь на одну лишь интуицию, объединить различные умозаключения, полученные из этих дедуктивных посылок. Кроме того, подход, основанный на логических цепях, может не привести к наилучшему решению, так как в данном случае может быть потеряна возможность принятия компромиссов между факторами, лежащими в разных цепях логического мышления.

Иерархия является основным способом, с помощью которого исследователь может подразделить всю совокупность исследуемых данных на кластеры и подкластеры. Основной задачей МАИ является оценка высших уровней иерархии, исходя из взаимодействия различных уровней, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях. Применение МАИ для определения влияния инновационных управляющих воздействий (автоматизированная обучающая среда; интерактивное сетевое взаимодействие; направляемая самостоятельная познавательная деятельность; выездная сессия; автоматизированный документооборот) на результат учебной деятельности и вклад влияния каждого управляющего воздействия на итоговый результат, позволит повысить качество подготовки специалистов. Основной задачей является оценка значимости рассматриваемых управляющих воздействий.

Процессы принятия решений в различных сферах деятельности во многом аналогичны. Поэтому необходим универсальный метод поддержки принятия решений, соответствующий естественному ходу человеческого мышления.

Часто экономические, медицинские, политические, социальные, управленческие проблемы имеют несколько вариантов решений. Зачастую, выбирая одно решение из множества возможных, лицо, принимающее решение, руководствуется только интуитивными представлениями. Вследствие этого принятие решения имеет неопределенный характер, что сказывается на качестве принимаемых решений.

С целью придания ясности процесс подготовки принятия решения на всех этапах сопровождается количественным выражением таких категорий как "предпочтительность", "важность", "желательность" и т.п.

Требуется каждой альтернативе поставить в соответствие приоритет (число) - получить рейтинг альтернатив. Причем чем более предпочтительна альтернатива по избранному критерию, тем больше ее приоритет.

Принятие решений основывается на величинах приоритетов.

Метод анализа иерархий - методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования.

Метод анализа иерархий вырос в настоящее время в обширный междисциплинарный раздел науки, имеющий строгие математические и психологические обоснования и многочисленные приложения.

Основное применение метода - поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, перечислим возможности метода.

1) Метод позволяет провести анализ проблемы. При этом проблема принятия решения представляется в виде иерархически упорядоченных:

б) нескольких групп (уровней) однотипных факторов, так или иначе влияющих на рейтинг;

в) группы возможных решений;

г) системы связей, указывающих на взаимное влияние факторов и решений. иерархия синтез операционный

Предполагается, так же, что для всех перечисленных "узлов" проблемы указаны их взаимные влияния друг на друга (связи друг с другом).

2) Метод позволяет провести сбор данных по проблеме.

В соответствие с результатами иерархической декомпозиции модель ситуации принятия решения имеет кластерную структуру. Набор возможных решений и все факторы, влияющие на приоритеты решений, разбиваются на относительно небольшие группы - кластеры. Разработанная в методе анализа иерархий процедура парных сравнений позволяет определить приоритеты объектов, входящих в каждый кластер. Для этого используется метод собственного вектора. Итак, сложная проблема сбора данных разбивается на ряд более простых, решающихся для кластеров.

3) Метод позволяет оценить противоречивость данных и минимизировать ее.

С этой целью в методе анализа иерархий разработаны процедуры согласования. В частности, имеется возможность определять наиболее противоречивые данные, что позволяет выявить наименее ясные участки проблемы и организовать более тщательное выборочное обдумывание проблемы.

4) Метод позволяет провести синтез проблемы принятия решения.

После того, как проведен анализ проблемы и собраны данные по всем кластерам, по специальному алгоритму рассчитывается итоговый рейтинг - набор приоритетов альтернативных решений. Свойства этого рейтинга позволяют осуществлять поддержку принятия решений. Например, принимается решение с наибольшим приоритетом. Кроме того, метод позволяет построить рейтинги для групп факторов, что позволяет оценивать важность каждого фактора.

5) Метод позволяет организовать обсуждение проблемы, способствует достижению консенсуса.

Мнения, возникающие при обсуждении проблемы принятия решения, сами могут в данной ситуации рассматриваться в качестве возможных решений. Поэтому метод анализа иерархии можно применить для определения важности учета мнения каждого участника обсуждения.

6) Метод позволяет оценить важность учета каждого решения и важность учета каждого фактора, влияющего на приоритеты решений.

В соответствии с формулировкой задачи принятия решения величина приоритета напрямую связана с оптимальностью решения. Поэтому решения с низкими приоритетами отвергаются как несущественные. Как отмечено выше, метод позволяет оценивать приоритеты факторов. Поэтому, если при исключении некоторого фактора приоритеты решений изменяются незначительно, такой фактор можно считать несущественным для рассматриваемой задачи.

7) Метод позволяет оценить устойчивость принимаемого решения.

Метод анализа иерархий имеет аналогии с различными теориями.

1. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией вероятностей.

Приоритеты альтернатив (это положительные числа, их сумма равна единице) можно отождествить с вероятностями выбора альтернатив. Приоритеты факторов, влияющих на рейтинг альтернатив, можно считать вероятностями гипотез. При таком подходе способ вычисления приоритетов альтернатив аналогичен применению формулы полной вероятности.

При работе с моделями, учитывающими наличие обратных связей, можно установить многочисленные терминологические и идеологические соответствия между методом анализа иерархий и марковскими случайными процессами с дискретным набором состояний и дискретным временем (марковскими цепями).

2. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией графов.

Структура ситуации принятия решения представляется в методе анализа иерархий в виде направленного графа. Узлами графа служат: альтернативы, главный критерий рейтингования альтернатив, факторы, влияющие на рейтинг альтернатив. Направленными дугами графа являются связи, указывающие на влияния одних узлов, на приоритеты других узлов.

3. Метод анализа иерархий имеет аналогии с теорией неотрицательных матриц.

4. Метод анализа иерархий имеет аналогии с экспертными системами.

Технологии принятия решения с помощью экспертных систем, основанных на байесовском способе логического вывода, являются частным случаем применения метода анализа иерархий.

5. Метод анализа иерархий имеет аналогии с идеологией искусственных нейронных сетей.

В частности, обратная задача в методе анализа иерархий по способу решения и проведение процедуры согласования аналогичны обучению нейронной сети.

6. Метод анализа иерархий имеет аналогии с синергетикой.

Модели, строящиеся в методе анализа иерархий, имеют кластерную структуру. Кластеры, по сути, являются элементарными иерархическими структурами. В пределах кластеров метод оперирует понятием вектора приоритетов. При соединении кластеров в систему рейтинг альтернатив конструируется на основе векторов приоритетов в отдельных кластерах. Сложные модели часто демонстрируют "голографический" эффект. Даже при удалении части структуры итоговый рейтинг в целом сохраняется.