Телескоп - это уникальный оптический прибор, предназначенный для наблюдения за небесными телами. Использование приборов позволяет рассмотреть самые разные объекты, не только те, которые располагаются недалеко от нас, но и те, которые находятся за тысячи световых лет от нашей планеты. Так что такое телескоп и кто его придумал?
Первый изобретатель
Телескопические устройства появились в семнадцатом веке. Однако по сей день ведутся дебаты, кто изобрел телескоп первым - Галилей или Липперсхей. Эти споры связаны с тем, что оба ученых примерно в одно время вели разработки оптических устройств.
В 1608 году Липперсхей разработал очки для знати, позволяющие видеть удаленные объекты вблизи. В это время велись военные переговоры. Армия быстро оценила пользу разработки и предложила Липперсхею не закреплять авторские права за устройством, а доработать его так, чтобы в него можно было бы смотреть двумя глазами. Ученый согласился.
Новую разработку ученого не удалось удержать втайне: сведения о ней были опубликованы в местных печатных изданиях. Журналисты того времени назвали прибор зрительной трубой. В ней использовалось две линзы, которые позволяли увеличить предметы и объекты. С 1609 года в Париже вовсю продавали трубы с трехкратным увеличением. С этого года какая-либо информация о Липперсхее исчезает из истории, а появляются сведения о другом ученом и его новых открытиях.
Примерно в те же годы итальянец Галилео занимался шлифовкой линз. В 1609 году он представил обществу новую разработку - телескоп с трехкратным увеличением. Телескоп Галилея имел более высокое качество изображения, чем трубы Липперсхея. Именно детище итальянского ученого получило название «телескоп».
В семнадцатом веке телескопы изготавливались голландскими учеными, но они имели низкое качество изображения. И только Галилею удалось разработать такую методику шлифовки линз, которая позволила увеличить четко объекты. Он смог получить двадцатикратное увеличение, что было в те времена настоящим прорывом в науке. Исходя из этого невозможно сказать, кто изобрел телескоп: если по официальной версии, то именно Галилео представил миру устройство, которое он назвал телескопом, а если смотреть по версии разработки оптического прибора для увеличения объектов, то первым был Липперсхей.
Первые наблюдения за небом
После появления первого телескопа были сделаны уникальные открытия. Галилео применил свою разработку для отслеживания небесных тел. Он первым увидел и зарисовал лунные кратеры, пятна на Солнце, а также рассмотрел звезды Млечного Пути, спутники Юпитера. Телескоп Галилея дал возможность увидеть кольца у Сатурна. К сведению, в мире до сих пор есть телескоп, работающий по тому же принципу, что и устройство Галилея. Он находится в Йоркской обсерватории. Аппарат имеет диаметр 102 сантиметра и исправно служит ученым для отслеживания небесных тел.
Современные телескопы
На протяжении столетий ученые постоянно изменяли устройства телескопов, разрабатывали новые модели, улучшали кратность увеличения. В результате удалось создать малые и большие телескопы, имеющие разное назначение.
Малые обычно применяют для домашних наблюдений за космическими объектами, а также для наблюдения за близкими космическими телами. Большие аппараты позволяют рассмотреть и сделать снимки небесных тел, расположенных в тысячах световых лет от Земли.
Виды телескопов
Существует несколько разновидностей телескопов:
- Зеркальные.
- Линзовые.
- Катадиоптрические.
К линзовым относят рефракторы Галилея. К зеркальным относят устройства рефлекторного типа. А что такое телескоп катадиоптрический? Это уникальная современная разработка, в которой сочетается линзовый и зеркальный прибор.
Линзовые телескопы
Телескопы в астрономии играют важную роль: они позволяют видеть кометы, планеты, звезды и другие космические объекты. Одними из первых разработок были линзовые аппараты.
В каждом телескопе есть линза. Это главная деталь любого устройства. Она преломляет лучи света и собирает их в точке, под названием фокус. Именно в ней строится изображение объекта. Чтобы рассмотреть картинку, используют окуляр.
Линза размещается таким образом, чтобы окуляр и фокус совпадали. В современных моделях для удобного наблюдения в телескоп применяют подвижные окуляры. Они помогают настроить резкость изображения.
Все телескопы обладают аберрацией - искажением рассматриваемого объекта. Линзовые телескопы имеют несколько искажений: хроматическую (искажаются красные и синие лучи) и сферическую аберрацию.
Зеркальные модели
Зеркальные телескопы называют рефлекторами. На них устанавливается сферическое зеркало, которое собирает световой пучок и отражает его с помощью зеркала на окуляр. Для зеркальных моделей не характерна хроматическая аберрация, так как свет не преломляется. Однако у зеркальных приборов выражена сферическая аберрация, которая ограничивает поле зрения телескопа.
В графических телескопах используются сложные конструкции, зеркала со сложными поверхностями, отличающиеся от сферических.
Несмотря на сложность конструкции, зеркальные модели легче разрабатывать, чем линзовые аналоги. Поэтому данный вид более распространен. Самый большой диаметр телескопа зеркального типа составляет более семнадцати метров. На территории России самый большой аппарат имеет диаметр шесть метров. На протяжении многих лет он считался самым большим в мире.
Характеристики телескопов
Многие покупают оптические аппараты для наблюдений за космическими телами. При выборе устройства важно знать не только то, что такое телескоп, но и то, какими характеристиками он обладает.
- Увеличение. Фокусное расстояние окуляра и объекта - это кратность увеличения телескопа. Если фокусное расстояние объектива два метра, а у окуляра - пять сантиметров, то такое устройство будет обладать сорокакратным увеличением. Если окуляр заменить, то увеличение будет другим.
- Разрешение. Как известно, свету свойственны преломление и дифракция. В идеале любое изображение звезды выглядит как диск с несколькими концентрическими кольцами, называемыми дифракционными. Размеры дисков ограничены только возможностями телескопа.
Телескопы без глаз
А что такое телескоп без глаза, для чего его используют? Как известно, у каждого человека глаза воспринимают изображение по-разному. Один глаз может видеть больше, а другой - меньше. Чтобы ученые смогли рассмотреть все, что им необходимо увидеть, применяют телескопы без глаз. Эти аппараты передают картинку на экраны мониторов, через которые каждый видит изображение именно таким, какое оно есть, без искажений. Для малых телескопов с этой целью разработаны камеры, подключаемые к аппаратам и снимающие небо.
Самыми современными методами видения космоса стало использование ПЗС камер. Это особые светочувствительные микросхемы, которые собирают информацию с телескопа и передают ее на ЭВМ. Получаемые с них данные настолько четкие, что невозможно представить, какими еще устройствами можно было бы получить такие сведения. Ведь глаз людей не может различать все оттенки с такой высокой четкостью, как это делают современные камеры.
Для измерения расстояний между звездами и другими объектами пользуются специальными приборами - спектрографами. Их подключают к телескопам.
Современный астрономический телескоп - это не одно устройство, а сразу несколько. Получаемые данные с нескольких аппаратов обрабатываются и выводятся на мониторы в виде изображений. Причем после обработки ученые получают изображения очень высокой четкости. Увидеть глазами в телескоп такие же четкие изображения космоса невозможно.
Радиотелескопы
Астрономы для своих научных разработок используют огромные радиотелескопы. Чаще всего они выглядят как огромные металлические чаши с параболической формой. Антенны собирают получаемый сигнал и обрабатывают получаемую информацию в изображения. Радиотелескопы могут принимать только одну волну сигналов.
Инфракрасные модели
Ярким примером инфракрасного телескопа является аппарат имени Хаббла, хотя он может быть одновременно и оптическим. Во многом конструкция инфракрасных телескопов схожа с конструкцией оптических зеркальных моделей. Тепловые лучи отражаются обычным телескопическим объективом и фокусируются в одной точке, где находится прибор, измеряющий тепло. Полученные тепловые лучи пропускаются через тепловые фильтры. Только после этого происходит фотографирование.
Ультрафиолетовые телескопы
При фотографировании фотопленка может засвечиваться ультрафиолетовыми лучами. В некоторой части ультрафиолетового диапазона возможно принимать изображения без обработки и засвечивания. А в некоторых случаях необходимо, чтобы лучи света прошли через специальную конструкцию - фильтр. Их использование помогает выделить излучение определенных участков.
Существуют и другие виды телескопов, каждый из которых имеет свое назначение и особые характеристики. Это такие модели, как рентгеновские, гамма-телескопы. По своему назначению все существующие модели можно разделить на любительские и профессиональные. И это далеко не вся классификация аппаратов для отслеживания небесных тел.
Для решения задач подобного рода в аналитическом планировании широко применяется метод анализа иерархий (далее МАИ), разработанный Т.Саати. Сегодня его используют уже повсеместно от риэлтеров, при оценке недвижимости, до кадровиков, при замещении вакантных должностей. Воспользуемся этим методом и мы для выбора хостинг-провайдера.
Первым этапом применения МАИ является структурирование проблемы выбора в виде иерархии или сети. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (цели), через промежуточные уровни-критерии (технико-экономические параметры) к самому нижнему уровню, который в общем случае является набором альтернатив (хостинг-провайдеров в нашем случае).
После иерархического воспроизведения проблемы устанавливаются приоритеты критериев и оценивается каждая из альтернатив по критериям. В МАИ элементы задачи сравниваются попарно по отношению к их воздействию на общую для них характеристику. Система парных сведений приводит к результату, который может быть представлен в виде обратно симметричной матрицы. Элементом матрицы a(i,j) является интенсивность проявления элемента иерархии i относительно элемента иерархии j, оцениваемая по шкале интенсивности от 1 до 9, предложенной автором метода, где оценки имеют следующих смысл:
Если при сравнении одного фактора i с другим j получено a(i,j) = b , то при сравнении второго фактора с первым получаем a(j,i) = 1/b.
Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов А и Б:
- Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
- Какой из них более вероятен?
- Какой из них предпочтительнее?
Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.
Пусть:
A 1 ...A n - множество из n элементов;
W 1 ...W n - соотносятся следующим образом:
A 1 | ... | A n |
|
| A 1 | 1 | ... | W 1 /W n |
| ... | ... | 1 | A n |
| A n | W n /W 1 | ... | 1 |
Оценка компонент вектора приоритетов производится по схеме:
A 1 | ... | A n | |||
| A 1 | 1 | ... | W 1 /W n | X 1 =(1*(W 1 /W 2)*...*(W 1 /W n)) 1/n | BEC(A 1)=X 1 /СУММА(X i) |
| ... | ... | 1 | A n | ... | ... |
| A n | W n /W 1 | ... | 1 | X n =((W n /W 1)*...*(W n /W n-1)*1) 1/n | BEC(A n)=X n /СУММА(X i) |
| СУММА(X i) | |||||
Приоритеты синтезируются начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует элемент.
Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения согласованности. Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Если такие отклонения превышают установленные пределы, то тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.
ИС = (l max - n)/(n - 1)
Для наших матриц всегда l max і n.
Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.
Метод анализа иерархий (Analytic Hierarchy Process - AHP), или подход аналитической иерархии предполагает декомпозицию проблемы на простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решения (ЛПР). В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.Назначение . С помощью онлайн-калькулятора производятся вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня - индексы однородности и отношения однородности .
Инструкция . Укажите количество уровней иерархии. Затем введите число критериев на каждом уровне. Нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word .
Постановка задачи, решаемой с помощью метода анализа иерархий, заключается обычно в следующем.
Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. Требуется: выбрать наилучшую альтернативу.
Подход AHP состоит из совокупности этапов:
1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы.
2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер.
3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР.
Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы.
Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений. Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа (таблица 2).
Таблица 2. Шкала отношений
| Степень значимости | Определение | Объяснение |
| 1 | Одинаковая значимость | Два действия вносят одинаковый вклад в достижение цели |
| 3 | Некоторое преобладание значимости одного действия над другим | Существуют соображения в пользу предпочтения одного из действий, однако эти соображения недостаточно убедительны |
| 5 | Существенная или сильная значимость | Имеются надежные данные или логические суждения для того, чтобы показать предпочтительность одного из действий |
| 7 | Очевидная или очень сильная значимость | Убедительное свидетельство в пользу одного действия перед другим |
| 9 | Абсолютная значимость | Свидетельства в пользу предпочтения одного действия перед другим в высшей степени убедительны |
| 2, 4, 6, 8 | Промежуточные значения между двумя соседними суждениями | Ситуация, когда необходимо компромиссное решение |
| Обратные величины приведенных выше величин | Если действию i при сравнением с действием j приписывается одно из определенных выше чисел, то действию j при сравнении с действием i приписывается обратное значение | Если согласованность была постулирована при получении N числовых значений для образования матрицы |
При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить число в интервале от 1 до 9 или обратное значение.
Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы – родители и элементы – потомки. Элементы – потомки воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами – родителями. Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов – потомков, относящихся к определенному родителю. Парные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим в соответствии со шкалой отношений.
Если элемент Е 1 доминирует над элементом Е 2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е 1 и столбцу Е 2 , заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке Е 2 и столбцу Е 1 , заполняется обратным к нему числом.
При проведении парных сравнений следует отвечать на вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.
При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию – какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.
Теорема 1 . В положительной обратносимметрической квадратной матрице λ max ≥n.
Теорема 2 . Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда λ max =n.
Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения λ max от порядка матрицы n.
Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:
M(ио) - среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).
Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
M(ио) | 0 | 0 | 0,58 | 0,90 | 1,12 | 1,24 | 1,32 | 1,41 | 1,45 | 1,49 | 1,51 |
Пример
. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:
Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:
Нормализуя вектор W s делением каждой координаты на величину S, получаем приближенное значение главного собственного вектора:
Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле λ max =e T AW, рассмотренной выше:
При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.
Пример.
Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.
При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше 0.01 .
Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.
Пример
(из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.
На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.
В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.
Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.
Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.
Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.
Рисунок 1 - Иерархическая схема общего благополучия индивидуума
Осуществим иерархический синтез:
Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.
В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.
После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.
Метод анализа иерархий Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией.
Метод Анализа Иерархий (МАИ) - математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение (ЛПР), какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант (альтернативу), который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP (англ. International Symposium on Analytic Hierarchy Process ). МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе , промышленности , здравоохранении и образовании . Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез (линейная свертка) приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.
Пример задачи многокритериального выбора с простейшей иерархией
В данной задаче необходимо выбрать из трех кандидатов одного на должность руководителя. Кандидаты оцениваются по критериям: возраст, опыт, образование и личные качества. На рисунке показана иерархия для этой задачи. Простейшая иерархия содержит три уровня: цель, критерии и альтернативы. Числа на рисунке показывают приоритеты элементов иерархии с точки зрения цели, которые вычисляются в МАИ на основе парных сравнений элементов каждого уровня относительно связанных с ними элементами вышерасположенного уровня. Приоритеты альтернатив относительно цели (глобальные приоритеты) вычисляются на заключительном этапе метода путем линейной свертки локальных приоритетов всех элементов. В данном примере лучшим кандидатом является Дик, так как имеет максимальное значение глобального приоритета.
Сфера образования и научных исследований
Хотя для практического применения МАИ отсутствует необходимость специальной подготовки, основы метода преподают во многих учебных заведениях . Кроме того, этот метод широко применяется в сфере управления качеством и читается в рамках многих специализированных программ, таких как Six Sigma, Lean Six Sigma, и QFD . Около ста китайских университетов предлагают курсы по основам МАИ, и многие соискатели научных степеней выбирают МАИ в качестве объекта научных и диссертационных исследований. Опубликовано более 900 научных статей по данной тематике. Существует китайский научный журнал, специализирующийся в области МАИ . Раз в два года проводится Международный симпозиум, посвященный МАИ (International Symposium on Analytic Hierarchy Process, ISAHP), на котором встречаются как ученые, так и практики, работающие с МАИ. В 2007 году симпозиум проходил в Вальпараисо, Чили, где было представлено более 90 докладов ученых из 19 стран, включая США, Германию, Японию, Чили, Малайзию, и Непал .
Устройство для удаленного ввода и обработки оценок
Методика применения МАИ
Метод анализа иерархий содержит процедуру синтеза приоритетов, вычисляемых на основе субъективных суждений экспертов. Число суждений может измеряться дюжинами или даже сотнями. Математические вычисления для задач небольшой размерности можно выполнить вручную или с помощью калькулятора, однако гораздо удобнее использовать программное обеспечение (ПО) для ввода и обработки суждений. Самый простой способ компьютерной поддержки - электронные таблицы, самое развитое ПО предусматривает применение специальных устройств для ввода суждений участниками процесса коллективного выбора. Порядок применения Метода Анализа Иерархий:
Рассмотрим эти шаги подробнее.
Моделирование проблемы в виде иерархии
Первый шаг МАИ - построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи.
Определение иерархической структуры
Иерархическая структура - это графическое представление проблемы в виде перевернутого дерева, где каждый элемент, за исключением самого верхнего, зависит от одного или более выше расположенных элементов. Часто в различных организациях распределение полномочий, руководство и эффективные коммуникации между сотрудниками организованы в иерархической форме.
Иерархические структуры используются для лучшего понимания сложной реальности: мы раскладываем исследуемую проблему на составные части; затем разбиваем на составные части получившиеся элементы и т. д. На каждом шаге важно фокусировать внимание на понимании текущего элемента, временно абстрагируясь от всех прочих компонентов. При проведении подобного анализа приходит понимание всей сложности и многогранности исследуемого предмета.
В качестве примера можно привести иерархическую структуру, которая используется при обучении в медицинских вузах . В рамках изучения анатомии отдельно рассматривается костно-мышечная система (которая включает такие элементы, как руки и их составляющие: мышцы и кости), сердечнососудистая система (и ее множественные уровни), нервная система (и ее компоненты и подсистемы) и т. д. Степень детализации доходит до клеточного и молекулярного уровня. В конце изучения приходит понимание системы организма в целом, а также осознание того, какую роль играет в нем занимает каждая часть. С помощью подобного иерархического структурирования студенты приобретают всесторонние знания об анатомии.
Аналогичным образом, когда мы решаем сложную проблему, мы можем использовать иерархию как инструмент для обработки и восприятия больших объемов информации. По мере проектирования этой структуры у нас формируется все более полное понимание проблемы .
Простейшая иерархия МАИ. Чтобы избежать беспорядка в диаграммах МАИ, связи, соединяющие Альтернативы и их покрывающие Критерии, часто опускаются, или их количество искусственно уменьшается. Несмотря на такие упрощения в диаграмме, в самой иерархии каждая Альтернатива связана с каждым из покрывающих ее Критериев.Объяснение иерархических структур, используемых в МАИ
Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собой инструмент для качественного моделирования сложных проблем. Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив); элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют специальные термины для описания иерархической структуры МАИ. Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла, принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов, имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами сравнения. Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящие из различных групп сравнения, называются покрывающими Критериями. Используя эти термины для описания представленной ниже диаграммы, можно сказать, что четыре Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это родительский элемент для любого из Критериев. Каждая Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа, включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ будет зависеть не только от объективного характера рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса. Опубликованные описания применений МАИ часто включают в себя различные схемы и объяснения представленных иерархий . Последовательное выполнение всех шагов МАИ предусматривает возможность изменения структуры иерархии, с целью включения в неё вновь появившихся, или ранее не считавшихся важными, Критериев и Альтернатив .
Расстановка приоритетов
После построения иерархии участники процесса используют МАИ для определения приоритетов всех узлов структуры. Информация для расстановки приоритетов собирается со всех участников и математически обрабатывается. В данном разделе приведена информация, на простом примере поясняющая процесс вычисления приоритетов.
Определение приоритетов и пояснения
Приоритеты - это числа, которые связаны с узлами иерархии. Они представляют собой относительные веса элементов в каждой группе. Подобно вероятностям, приоритеты - безразмерные величины, которые могут принимать значения от нуля до единицы. Чем больше величина приоритета, тем более значимым является соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример, поясняющий методику вычисления приоритетов.
Простейшая иерархическая структура МАИ с приоритетами, определенными по умолчанию.На рисунке показана иерархия, в которой приоритеты всех элементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по умолчанию приоритеты элементов считаются одинаковыми, то есть все четыре критерия имеют равную важность с точки зрения цели, а приоритеты всех альтернатив равны по всем критериями. Другими словами, альтернативы в этом примере неразличимы. Заметим, что сумма приоритетов элементов любого уровня, равна единице. Если бы альтернатив было две, то их приоритеты были бы равны 0.500, если бы критериев было 5, то приоритет каждого был бы равен 0.200. В этом простом примере приоритеты альтернатив по разным критериям могут не совпадать, что обычно и бывает на практике. Приведем пример, в котором локальные приоритеты альтернатив по разным критериям не совпадают. Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели вычисляются путем умножения локального приоритета каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и суммирования по всем критериям.
Более сложная иерархическая структура, содержащая глобальные и локальные значения приоритетов по умолчанию.Если приоритеты критериев изменятся, то изменятся значения глобальных приоритетов альтернатив, следовательно, может измениться их порядок. На рисунке показано решение данной задачи с изменившимися значениями приоритетов критериев, при этом наиболее предпочтительной альтернативой становится A3.
СУТЬ МЕТОДА МАИ Иерархия возникает тогда, когда системы,
функционирующие на одном уровне, функционируют как
части системы более высокого уровня, становясь
подсистемами этой системы. МАИ является процедурой
для иерархического представления элементов,
определяющих суть проблемы. Метод состоит в
декомпозиции проблемы на более простые составляющие
части дальнейшей обработки последовательности
суждений лица, принимающего решения по парным
сравнениям. включая процесс синтеза многих суждении,
получения приоритетности критериев и нахождения
альтернативных решений.
ПОРЯДОК ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ
Построение качественной модели проблемы в видеиерархии, включающей цель, альтернативные варианты
достижения цели и критерии для оценки качества
альтернатив.
Определение приоритетов всех элементов иерархии с
использованием метода парных сравнений.
Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем
линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
Проверка суждений на согласованность.
Принятие решения на основе полученных результатов.
ПОСТРОЕНИЕ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ ПРОБЛЕМЫ –ПЕРВЫЙ ШАГ МАИ
Иерархическая структура объединяет цель выбора, критерии,альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения.
Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты
проблемы.
ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР
Иерархические структуры, используемые в МАИ, представляет собойинструмент для качественного моделирования сложных проблем.
Вершиной иерархии является главная цель; элементы нижнего уровня
представляют множество вариантов достижения цели (альтернатив);
элементы промежуточных уровней соответствуют критериям или
факторам, которые связывают цель с альтернативами. Существуют
специальные термины для описания иерархической структуры МАИ.
Каждый уровень состоит из узлов. Элементы, исходящие из узла,
принято называть его детьми (дочерними элементами). Элементы, из
которых исходит узел, называются родительскими. Группы элементов,
имеющие один и тот же родительский элемент, называются группами
сравнения.
ТЕРМИНЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СТРУКТУР (продолжение)
Родительские элементы Альтернатив, как правило, исходящиеиз различных групп сравнения, называются покрывающими
Критериями. Используя эти термины для описания
представленной выше диаграммы, можно сказать, что четыре
Критерия - это дети Цели; в свою очередь, Цель - это
родительский элемент для любого из Критериев. Каждая
Альтернатива - это дочерний элемент каждого из включающих
ее Критериев. Всего на диаграмме присутствует две группы
сравнения: группа, состоящая из четырех Критериев и группа,
включающая три Альтернативы. Вид любой иерархии МАИ
будет зависеть не только от объективного характера
рассматриваемой проблемы, но и от знаний, суждений, системы
ценностей, мнений, желаний и т. п. участников процесса.
РАССТАНОВКА ПРИОРИТЕТОВ
Приоритеты - это числа, которые связаны с узламииерархии. Они представляют собой относительные веса
элементов в каждой группе. Подобно вероятностям,
приоритеты - безразмерные величины, которые могут
принимать значения от нуля до единицы. Чем больше
величина приоритета, тем более значимым является
соответствующий ему элемент. Сумма приоритетов
элементов, подчиненных одному элементу выше лежащего
уровня иерархии, равна единице. Приоритет цели по
определению равен 1.0. Рассмотрим простой пример,
поясняющий методику вычисления приоритетов.
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА МАИ С ПРИОРИТЕТАМИ, ОПРЕДЕЛЕННЫМИ ПО УМОЛЧАНИЮ (рис. 1)
.ПОЯСНЕНИЯ К РИС.1
На рис.1 показана иерархия, в которой приоритеты всехэлементов не устанавливались ЛПР. В таком случае по
умолчанию приоритеты элементов считаются
одинаковыми, т.е.все четыре критерия имеют равную
важность с точки зрения цели, а приоритеты всех
альтернатив равны по всем критериями. Др.словами,
альтернативы в этом примере неразличимы. Сумма
приоритетов элементов любого уровня, равна единице.
Глобальные приоритеты альтернатив относительно цели
вычисляются путем умножения локального приоритета
каждой альтернативы на приоритет каждого критерия и
суммирования по всем критериям.
10. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С РАЗЫМИ ПРИОРИТЕТАМИ ДЛЯ АЛЬТЕРНАТИВ
Предпочтительная альтернатива – А111. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ИЗМЕНИВШИМИСЯ ПРИОРИТЕТАМИ ДЛЯ КРИТЕРИЕВ
Предпочтительная Альтернатива А312. АЛГОРИТМ МЕТОДА МАИ
13. 1 ШАГ – ИЕРАРХИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ПРОБЛЕМЫ
14. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ
Второй этап. После иерархического представления задачинеобходимо установить приоритеты критериев и оценить
каждую из альтернатив по критериям, определив наиболее
важную их них.
В МАИ элементы сравниваются попарно по отношению к
их влиянию на общую для них характеристику.
Парные сравнения приводят к записи характеристик
сравнений в виде квадратной матрицы.
Эта матрица обратно симметричная, т.е. имеет место
свойство: aij=1/aji, где индексы i и j - номер строки и номер
столбца, на пересечении которых стоит элемент.
15. ШКАЛА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ
Интенсивность относительнойважности
Определение
1
Равная важность
3
Умеренное превосходство
одного над другим
5
Существенное или сильное
превосходство
7
Значительное превосходство
9
Очень сильное превосходство
2,4,6,8
Промежуточное решение между
двумя соседними суждениями
16. РАСЧЕТ ВЕКТОРА ПРИОРИТЕТОВ
Для определения относительной ценности каждого элемента необходимонайти геометрическое среднее. С этой целью нужно перемножить n
элементов каждой строки и из полученного результата извлечь корни n-й
степени. Полученные числа ωi i=1÷n необходимо нормировать. Для этого
определяем нормирующий множитель
r =ω 1 +ω2 +ω3 + ………+ ωn. и
каждое из чисел ωi делим на r
q2i = ωi/r, (i = 1,2,3, . . . . . . n).
В результате получаем вектор приоритетов:
q2 = (q21, q22, q23, …..q2n), где индекс 2 означает, что вектор приоритетов
относится ко второму уровню иерархии.
Подобную процедуру проделываем для всех матриц парных сравнений.
17. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ
Любая матрица суждений в общем случае не согласована, таккак суждения отражают субъективные мнения ЛПР, а
сравнение элементов, которые имеют количественные
эквиваленты, может быть несогласованным из-за присутствия
погрешности при проведении измерений. Нужен способ
оценки степени согласованности при решении конкретной
задачи.
Метод анализа иерархий дает возможность провести такую
оценку.
.
18. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ (продолжение)
Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меруоценки степени отклонения от согласованности. Когда
такие отклонения превышают установленные пределы
тем, кто проводит решение задачи, необходимо их
пересмотреть.
С этой целью необходимо определить индекс
согласованности и отношение согласованности. Действия
для определения ИС
Определяется сумма каждого j-го столбца матрицы
суждений
sj = а1j + а2j+ а3j + ……… + аn j, j=1,2,3, …. ,n
19. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ (продолжение)
Затем полученный результат умножается на j-ю компонентунормализованного вектора приоритетов q 2, т.е. сумму суждений
первого столбца на первую компоненту, сумму суждений второго
столбца - на вторую и т.д.
рj= sj·q2j, j=1,2,3, ……, n.
Сумма чисел рj отражает пропорциональность предпочтений, чем
ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице
парных сравнений), тем более согласованы суждения. Вычисляется
Зmax = р1+р2+р3+ ……+рn.
Отклонение от согласованности выражается индексом
согласованности
20. ФОРМУЛА ДЛЯ РАСЧЕТА ИС
21. ОТНОШЕНИЕ СОГЛАСОВАННОСТИ ОС
Для определения того, насколько точно индекссогласованности ИС отражает согласованность суждений его
необходимо сравнить со случайным индексом (СИ)
согласованности, который соответствует матрице со
случайными суждениями, выбранными из шкалы
1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
при условии равной вероятности выбора любого из
приведённых чисел. Отношение индекса согласованности ИС
к среднему значению случайного индекса согласованности
СИ называется отношением согласованности ОС. Значение
ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым.
22. РАСЧЕТ ОС
23. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ СОГЛАСОВАННОСТИ
Размерматрицы
Среднее
Размер матрицы
значение
случайной
согласованности
Среднее
значение
случайной
согласованности
1
0
8
1,41
2
0
9
1,45
3
0,58
10
1,49
4
0,90
11
1,51
5
1,12
12
1,48
6
1,24
13
1,56
7
1,32
14
1,57
15
1,59
24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ АЛЬТЕРНАТИВ
Для определения приоритетов альтернатив необходимо локальныеприоритеты умножить на приоритет соответствующего критерия на
высшем уровне и найти суммы по каждому элементу в соответствии с
критериями, на которые воздействует этот элемент.
Обозначим через
q3k - вектор приоритетов k-й матрицы, расположенной на третьем
уровне;
q3ki - i-й элемент вектор приоритетов k-й матрицы суждений,
расположенной на третьем уровне;
q2k- k-й элемент вектор приоритетов матрицы суждений,
расположенной на втором уровне;
qj - приоритет j-го элемента третьего уровня.
25. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИОРИТЕТОВ АЛЬТЕРНАТИВ (продолжение)
Тогда приоритет j-го элемента третьего уровняопределяется как
q1 = q311·q21 + q321 ·q22 + q331·q23 + . . . + q3n1·q2n
q2 = q312·q21 + q322 ·q22 + q332·q23 + . . . + q3n2·q2n
q3 = q313·q21 + q323· q22 + q333·q23 + . . . + q3n3·q2n
........................................
qn = q31n·q21 + q32n·q22 + q33n·q23 + . . . + q3nn·q2n
26. ПРИМЕР МЕТОДА МАИ
27. УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ
Цель – выбрать лучшую альтернативу из заданных трехА1,А2, А3.
Каждая альтернатива оценивается по трем критериям
К1,К2, К3.
28. ИЕРАРХИЯ ПРОБЛЕМЫ
.Цель
К1
К2
К3
А1
А2
А3
29. МАТРИЦА ПОПАРНОГО СРАВНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ
ЦельК1
К2
К3
К1
1
3
7
К2
1/3
1
3
К3
1/7
1/3
1
30. ПРИОРИТЕТЫ КРИТЕРИЕВ
Находим произведения элементов, находящихся в каждой строке:1-я строка ω1 = √1·3·7 = 2,759; берутся корни 3-й степени (3- матрицы
2-я строка ω2 = √1/3 ·1·3 = 1,0;
размерность матрицы)
3-я строка ω3 = √1/7·1/3·1 = 0,362.
Проводим нормализацию полученных чисел.
Для этого определяем нормирующий множитель r
r = 2,759 + 1,0 + 0,362 = 4,121.
Вектор приоритетов
q21 = ω1/r = 2,759/4,121 = 0,6697;
q22 = ω2/r = 1,000/4,121 = 0,243;
q23 = ω3/r = 0,362/4,121 = 0,088.
Числа q21, q22 и q23 являются компонентами вектора приоритетов критериев
К1, К2 и К3 соответственно
q2 = (0.,67; 0,243; 0,088).
31. ПРОВЕРКА СОГЛАСОВАННОСТИ
Вычисляем:s1 = 1+ 1/3 + 1/7 = 31/21; p1 = s1·q21 = 31/21·0,669 = 0,988;
s2 = 3 +1 + 1/3 = 13/3; p2 = s2·q22 = 13/3·0,243 = 1,051;
s3 = 7 + 3 + 1 = 11; p3 = s3·q23 = 11·0,088 = 0,967.
Зmax = р1+р2+р3 = 0,988 + 1,051 + 0,967 = 3,006;
ИС = (Зmax - n)/(n - 1) = (3,006 - 3)/(3 -1) = 0,003;
ОС = ИС/СИ = 0,003/0,58 = 0,005 <0, 1
Суждения экспертов согласованы.
32. МАТРИЦА ПОПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ И ПРИОРИТЕТЫ АЛЬТЕРНАТИВ ПО КРИТЕРИЮ К1
К1А1
А2
А3
Приоритет
А1
1
1/3
7
0,3
А2
3
1
7
0,65
А3
1/7
1/7
1
0,06
ОС=0,120