Управляемость и наблюдаемость системы автоматизированного управления

Рассмотрим случай, когда все переменные состояния могут быть измерены, а результаты этих действий могут быть использованы для управления системой. Однако такой случай не всегда технически реализуем. Поэтому для систем автоматического управления вводится понятие управляемости.

Рассмотрим:

где - матрицы с постоянными коэффициентами.

При этом управление полагается скалярным, т.е. управление объектом осуществляется по одной координате.

Заданы начальная и конечная точка, и. Задача состоит в том, чтобы перевести систему из заданного начального положения в некоторую точку, совпадающую с началом координат. При этом никаких ограничений на величину управляющего воздействия и время регулирования не накладывается. Если такая задача решается при любых начальных и конечных условиях, то такая система является управляемой.

Система называется управляемой, если существует такое управление, которое из любого начального состояния в любое конечное положение. При каких условиях система является управляемой. Попытаемся выяснить причины неуправляемости. Это удобно сделать с помощью геометрического представления движения системы. Как отмечалось выше решение линейного однородного уравнения имеет вид:

Если какой-нибудь из коэффициентов, а остальные отличны от нуля, то движение происходит в инвариантном подпространстве матрицы. С геометрической точки зрения все траектории лежат в плоскости S, т.е. вектор также направлен вдоль этой плоскости. Предположим, что вектор тоже лежит в плоскости. Очевидно, что добавка к вектору величины оставляет вектор в той же плоскости, хотя и деформирует траекторию движения вектора состояния. Следовательно, если начальная точка лежит в плоскости, а конечная -- нет, то попасть в точку с заданными координатами нельзя, так как не существует управления, которое переводит состояние системы с заданными параметрами из начальной точки в конечную. Такая система неуправляема по определению.

Условия управляемости в терминах исходной системы получены Калманом и имеют вид:

Для управляемости системы (1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие вида

Это условие выполняется, если матрица U вида

имеет ранг, равный N.

Рангом матрицы называется наибольший порядок ее определителя, отличный от нуля.

Рассмотрим поведение системы в пространстве состояний собственных векторов матрицы А (для простоты будем полагать, что собственные значения матрицы А -- действительные и различные). Как мы убедимся в дальнейшем, в этом пространстве условия управляемости становятся практически очевидными. Введем неособое преобразование вида

Выше отмечалось, что и существует. Поэтому вектора X и Y связаны однозначной зависимостью. Следовательно, задачи об управляемости в пространствах этих переменных эквивалентны.

В пространстве новых переменных

поведение САУ описывается уравнением

Рассмотрим произведение

Следовательно, уравнение (4) приводится к виду

Вектор столбец с компонентами.

Так как матрица Р диагональная, то

и если хотя бы одно, то координата -- неуправляема. Поэтому можно предположить, что, если все, то система управляема.

Рассмотрим n-мерное пространство состояния Х, в котором каждому состоянию системы соответствует некоторое положение изображающей точки, определяемое значениями фазовых координат.

Пусть в пространстве состояния заданы два множества и. Рассматриваемая система будет управляемой, если существует такое управление, определенное на конечном интервале времени, которое переводит изображающую точку в пространстве Х из подобласти в подобласть.

Можно сузить определение управляемости и понимать под ней возможность перевода изображающей точки из любой области пространства состояний Х в начало координат. Система будет управляемой, если каждое состояние управляемо в этом смысле.

От пространства состояний Х перейдем к другому пространству посредством неособого преобразования, причем, где -- матрица коэффициентов.

Тогда вместо уравнения вида

где j -- матрица возмущающих и задающих воздействий,

u -- матрица-столбец управляющий величин,

y -- матрица-столбец регулируемых величин,

x- матрица-столбец фазовых координат,

будем иметь

Здесь использованы преобразованные матрицы коэффициентов:

Введение новых фазовых координат посредством неособого преобразования

приводит к эквивалентным системам различной структуры. При некотором преобразовании может оказаться, что часть управляющих величин не входит в некоторые дифференциальные уравнения (7) или часть фазовых координат не участвует в формирование вектора выходного сигнала. В первом случае система не будет полностью управляемой, а во втором -- полностью наблюдаемой.

В случае не полностью управляемой системы ее исходное уравнение могут быть представлены в виде

Это иллюстрирует рис. 7. Набор фазовых координат соответствует управляемой части фазовых координат, а набор -- неуправляемой части.

Рис. 1.

Калманом был доказан критерий управляемости, который гласит, что размерность управляющей части системы, то есть порядок первой группы уравнений (7) совпадает с рангом матрицы

где k -- размерность управляющего вектора.

При система полностью управляема, при -- система не полностью управляема, при -- система полностью не управляема.

Рис. 2.

На рис. 8 представлен простейший пример. Если рассматривать выходную величину при нулевых начальных условиях, то можно записать

определяются начальными условиям до приложения входного сигнала, а -- вынужденная составляющая. Система устойчива при.

Если начальные условия до приложения управляющего сигнала были нулевыми, то поведение системы может быть рассчитано по передаточной функции

В этом случае переходный процесс в системе определяется как

управляемость наблюдаемость автоматизированный калман

Как следует из последнего выражения, во втором случае система описывается дифференциальным уравнением не третьего, а второго порядка. Система будет устойчивой даже при.

Рассмотренная система будет не полностью управляемой. В ней оказывается, а.

При введении второй составляющей управления система оказывается полностью управляемой, и ей будет соответствовать матрица-строка передаточный функций по управлению

В случае не полностью наблюдаемой системы ее уравнения могут быть представлены в виде

Эти уравнения отличаются от (7) тем, что фазовые координаты группы не входят ни в выражения для и, ни в первое уравнение, куда входят фазовые координаты группы. Группа фазовых координат относится к ненаблюдаемым.

Калманом показано, что порядок первой группы уравнений совпадает с рангом матрицы V вида

При система полностью наблюдаема, при -- система не полностью наблюдаема, при -- система полностью ненаблюдаемая.

На рис. 9 изображен простейший пример. Для него легко показать, что в формировании выхода участвуют только две фазовые координаты из трех.

Рис. 3.

В общем случае система может содержать четыре группы фазовых координат:

управляемую, но ненаблюдаемую часть,

управляемую и наблюдаемую часть,

неуправляемую и ненаблюдаемую часть,

неуправляемую но наблюдаемую част.

Исходные уравнения системы (7) можно для самого общего случая записать следующим образом:

Левая часть характеристического уравнения

где Е -- единичная матрица размера, системы в этом случае содержит четыре сомножителя:

Управляемость и наблюдаемость системы в изложенном смысле не всегда совпадает с практическими представлениями. Даже если какая-либо фазовая координата и может быть вычислена по доступным для измерения выходным величинам обработка измеренных величин может быть, во-первых, сложной и, во-вторых, она может быть затруднена наличием помех. Поэтому практически наблюдаемыми координатами обычно считаются те из них, которые могут быть измерены датчиками различных типов.

Накладываемые на параметры Динамической системы условия, при выполнении которых система обладает свойствами управляемости и наблюдаемости. Эти свойства заключаются в следующем: пусть уравнения движения системы заданы в пространстве состояний след. обр.:

где - некоторые, в общем случае нелинейные ф-ции координат простр. состояний и входных (управляющих) воздействий простр. состояний выделены два мн-ва: . Система управляемой относительно если существует такое допустимое управление которое может перевести систему из любой точки мн-ва в одну из точек мн-ва Система полностью наблюдаемой, если существует преобразование (алгоритм, закон), по которому наблюдаемой на интервале траектории при известном и ставится во взаимно однозначное соответствие точка Указанное определение Н. и у. у. справедливо и для линейных, и для нелинейных систем.

Понятия управляемости и наблюдаемости можно распространить на любые управляемые системы (бесконечномерные и конечномерные, динамические, стохастические системы, автоматы конечные и др.). В случае конечного автомата эквивалентными управляемости и наблюдаемости являются свойства связанности и распознаваемости автомата. Автомат с мн-вом состояний сильносвязным, если существует входная последовательность, которая переводит автомат из любого заданного состояния в любое заданное состояние (Ту (г может равняться ). Характерные свойства сильносвязного автомата заключаются в том, что его всегда можно установить в любое заданное конечное состояние и всегда можно распознать.

Задача распознавания автомата представляет собой задачу определения его состояния (в том числе и начального) при помощи измерений (наблюдений) его выходов. Важной разновидностью задачи распознавания автомата является определение (с точностью до изоморфизма) его миним. формы путем измерений на его внеш. выводах.

Для линейных динамических систем ур-ние (1) перепишется в виде:

где X - -мерный вектор состояний системы, вектор входных сигналов (управления), Y - -мерный вектор выходных координат (реакций) системы; А, В, С - матрицы размерностей соответственно, определяемые параметрами системы. Определение управляемости в этом случае сужается: система полностью управляемой, если мн-во представляет собой все простр. состояний, а мн-во стягивается в точку (начало координат). Впервые необходимые и достаточные Н. и у. у. линейных систем сформулировал амер. кибернетик Р. Калман так: ранг матрицы полной управляемости) и ранг матрицы полной наблюдаемости) должны быть равны (штрих означает транспонирование).

Управляемость систем вида (2) можно установить с помощью различных эквивалентных критериев. Напр., система (2) вполне управляема, если: а) не существует инвариантного подпространства матрицы А размерности меньше , которое одновременно содержало бы все векторы-столбцы матрицы В; или б) не существует собственных векторов V матрицы А ортогональных пространству векторов матрицы В, т. е. ни для какого V. Необходимые и достаточные условия наблюдаемости также можно сформулировать для системы (2) различными эквивалентными способами; напр., система (2) вполне наблюдаема, если не существует ни одного собственного вектора матрицы А, для которого . Известны и другие определения и критерии управляемости и наблюдаемости-, сформулированные в алгебр, и геом. форме, в терминах функционального анализа, в форме проблемы отделимости мн-в и др. Различают понятия управляемости по состоянию и по выходу системы. Существенно, что понятия управляемости и наблюдаемости являются внутр. свойствами системы и сохраняются при любых эквивалентных преобразованиях ее модели математической. В частности, управляемость системы (4) не зависит от выбора системы координат.

Важным свойством конечномерных управляемых систем является независимость их свойств управляемости - от класса допустимых управлений. В случае бесконечномерных управляемых систем аналогичное свойство не установлено, равно как и сама проблема управляемости и наблюдаемости таких систем еще далека от завершения.

Полная управляемость или наблюдаемость системы нарушается при динамич. коррекции, если при введении корректирующих звеньев происходит компенсация полюсов передаточных функций звеньев системы нулями корректирующих устр-в. Тогда может оказаться,

что координаты X состояний системы разбиваются на 2 группы, причем координаты 1-й группы зависят от управления U, а координаты 2-й группы не зависят ни от U, ни от координат 1-й группы и образуют т. н. неуправляемую часть. В другом случае, если координаты 1-й группы связаны с реакцией Y, а координаты 2-й группы не связаны ни с Y, ни с координатами 1-й группы, они образуют ненаблюдаемую часть. Это явление нельзя проанализировать при описании системы передаточными ф-циями, где вследствие компенсации полюсы и нули исключаются из рассмотрения. Анализ Н. и у. у. необходим при рассмотрении задач инвариантности, автономности, синтезе оптим. фильтров и оптим. регуляторов и анализе устойчивости таких систем. Так, Р. Калман доказал теорему: решение задачи синтеза оптим. регулятора (в смысле минимума квадратичного функционала качества) возможно тогда и только тогда, когда объект полностью управляем.

Связь Н. и у. у. определяется принципом дуальности, сформулированным Р. Калманом. Назовем сопряжённой по отношению к (1) такую систему, которую описывает сопряженная по отношению к (1) система ур-ний, где Тогда, если система (1) полностью управляема, то сопряжённая система полностью наблюдаема и наоборот. Поскольку ур-ние дискретной системы в простр. состояний можно записать в виде

то все сказанное выше остается справедливым и для дискретных систем с заменой А, В, С на соответственно.

ЛЕКЦИЯ № 20

УСЛОВИЕ УПРАВЛЯЕМОСТИ И НАБЛЮДАЕМОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.

План лекции:

1. Определение полностью управляемой системы.

2. Условие управляемости линейной импульсной системы.

3. Определение наблюдаемости и восстанавливаемости.

4. Условие восстанавливаемости линейной импульсной системы.

Управляемость системы определяет возможность управления со стороны входа всеми компонентами вектора состояния дискретной системы.

Система, процесс или объект называются полностью управляемыми , если они могут быть переведены из состояния x=0 в произвольное состояние x[n] с помощью управления за конечное число шагов.

Рассмотрим систему разностных уравнений:

x [ k +1]=Ф x [ k ]+ Hu [ k ]

y [ k ]= cx [ k ]+ Du [ k ] (20.1),

где x=(x 1 ,...x n)- вектор состояния;

y =(y 1 ,... y n )- вектор входных переменных;

u =(u 1 ,... u n )- вектор управления.

Предположим, что последовательность управлений имеет вид:

u , u ,... u [ n -1] . (20.2)

Тогда в соответствии с (5.44) при x =0 , получим:

x = Hu ;

x =Ф Hu + Hu ;

x = Ф 2 Hu + Ф Hu ;

. (20.3)

Найдем последовательность управлений (20.2), переводящую точку x =0 в точку x [ u ]= x . Последнее уравнение системы (20.3) также можно представить в виде:

. (20.4)

Это выражение можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относительно компонентов векторов

u [ n -1], u [ n -2] ,..., u .

Каждый вектор u имеет m скалярных компонент, так что число неизвестных равно m x n . Основная матрица системы

-

Имеет размерность (n x mn ), а расширенная матрица

Размерность (п хтп +1).

Рассмотрим условие управляемости, то есть условие существования решения (20.4).

Для существования решения системы (20.4), как известно, необходимо и достаточно, чтобы совпадали ранги основной и расширенной матриц.

Легко видеть, что так как , то . Если ранг основной матрицы меньше порядка системы п , то всегда можно так подобрать вектор Х , что ранг расширенной матрицы станет больше ранга основной матрицы.

Таким образом, чтобы система уравнений (20.4) имела решение при произвольном Х необходимо и достаточно, чтобы .Это условие полной управляемости линейной дискретной системы.

Рассмотрим случай скалярного управления и перейдем в исходной системе (5.44) с помощью преобразования

к каноническим переменным:

Окончательно получим:

,

Существуют специальные алгоритмы приведения исходной матрицы Ф к каноническому виду (диагональной форме).

Структурная схема системы приведена на рис.20.1 (при условии скалярного выхода y ).

Легко видеть, что по свойствам полной управляемости системы соответствует отсутствие нулей у вектора , то есть условия .

Наиболее распространенным алгоритмом управления систем, синтезируемых с помощью МПС, является алгоритм

.

Однако, во многих случаях состояние системы

не измеряется, и, следовательно, управление согласно вышеприведенному соотношению не может быть непосредственно реализовано.

Таким образом, возникает вопрос, можно ли определить вектор состояния по измеряемому выходу или по измеряемым выходам объекта со многими входами и многими выходами.

В этой связи в теории управления различают наблюдаемость состояния и восстанавливаемость состояния.

Состояние х (t o ) системы наблюдаемо, если оно может быть определено по будущим значениям выходной переменной y (t ), t >t 0 и если интервал t -t 0 конечен.

Состояние х (t o ) системы восстанавливаемо, если оно может быть определено по прошлым значениям выходной переменной y (t ), t >t 0 и если интервал t -t 0 конечен.

Условие наблюдаемости и восстанавливаемости можно получить из уравнения выхода системы:

и уравнения состояния:

Вычисляя последовательно значения выходной переменной для моментов времени k , k + 1,... k + n - 1, получим:

(20.5)

или в векторно-матричной форме:

или в компактной форме:

Y n [ k ]= Q p x [ k ]+ P p u [ k ].

Если матрица Q p невырожденная, то существует ее обратная матрица Q -1 P , в этом случае detQ p и строки матрицы Q p линейно независимы.

Тогда из предыдущего матричного уравнения следует:

x [k ]=Q -1 p y n [k ]- Q -1 p P p u [k ] (20.6)

Таким образом, мы можем сформулировать следующее условие наблюдаемости: линейная система, описываемая КРУ, наблюдаема, если и только если ранг матрицы Q p равен размерности n пространства состояний.

Получим условие восстанавливаемости:

Учитывая, что x [k + n ]=Ф n x [k ], то последнее матричное уравнение может быть преобразовано к виду:

Где .

Условия восстанавливаемости формулируются аналогично условиям наблюдаемости: линейная система, описываемая системой КРУ, восстанавливаема, если и только если ранг матрицы Q p равен размерности n пространства состояний.

Понятие управляемости, наблюдаемости и восстанавливаемости позволяет лучше представлять особенности динамики исследуемой системы, ее возможности. Отметим, что матрица Ф зависит от величины интервала квантования Т , поэтому свойства управляемости и наблюдаемости могут изменяться при переходе от непрерывных систем к цифровым (вспомним, например, о возможности возникновения скрытых колебаний в дискретных системах).

Таким образом, мы завершаем рассмотрение вопросов анализа динамики дискретных систем в рамках методов ПС. В настоящее время этот метод широко применяется в инженерной практике. Его развитию будет способствовать все более широкое использование ЭВМ в проектировании рассматриваемых систем, так как именно он позволяет в наибольшей степени соединить полноту и строгость теоретического исследования с возможностями современной вычислительной техники.

Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования относится к основным понятиям теории автоматического регулирования, с помощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исключения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления сформированный в задатчике, представляет собой некоторую совокупность его составляющих превышает число степеней свободы системы, описанной уравнением то система является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования нельзя перевести из начального состояния в любое конечное состояние под действием некоторого входного сигнала При системы автоматического регулирования именуют вполне управляемыми.

Линейную стационарную систему автоматического регулирования называют полностью управляемой, если из любого начального состояния ее можно перевести в конечное состояние при помощи входного сигнала в течение конечного интервала времени. Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной стационарной системы, описываемой уравнением

таково: матрица

размера первые столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие столбцов - из элементов матрицы и т. д., должна иметь ранг .

С понятием управляемости связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость позволяет установить начальное состояние системы автоматического регулирования по результатам измерений одного выходного сигнала.

Линейная стационарная система автоматического регулирования, описываемая уравнениями

полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние системы по следующий данным;

а) матрица А и С;

б) выходному сигналу от начальных условий при заданному на конечном интервале времени

Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной стационарной системы заключается в том, что сопряженная матрица 1

типа должна иметь ранг

Рассмотрим два типа систем автоматического регулирования.

Первый тип - система имеет лишь один выходной сигнал

Для этой системы необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является отличие от нуля всех коэффициентов.

Второй тип - система имеет несколько выходных сигналов:

Тогда необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является то, что для каждого один из коэффициентов Он, не должен равняться нулю.

Пример IX. 15. Определить, является ли линейная стационарная система автоматического регулирования (рис. IX. 19, а) полностью неуправляемой и наблюдаемой. Составим уравнение состояния для этой системы в виде

Из уравнения (IX.253) следует, что матрица А имеет размерность

В этом случае формула (IX.251), по которой определяется управляемость, примет вид

Определитель матрицы (IX.255) будет что соответствует рангу матрицы К, меньщему 2. Для полной управляемости системы регулирования ранг матрицы К должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система является неуправляемой.

Определим наблюдаемость системы регулирования. Для этого воспользуемся формулой (IX.252). В нашем случае

Рис. IX.19. Структурные схемы системы автоматического регулировании для примера IX.15

Подставив соответствующие сопряженные значения матриц в формулу (IX.256), получим

Определитель матрицы (IX.252) что соответствует рангу, меньшему 2. Для получения полной наблюдаемости системы регулирования ранг матрицы должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система регулирования является ненаблюдаемой.

Этот результат становится очевидным из анализа передаточной функции замкнутой системы

Если сократить нуль в прямой цепи, когда полюс находится в цепи обратной связи, то получим

Из выражения (IX.259) можио найтн характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

что указывает на неустойчивость системы регулирования.

Управляемость и наблюдаемость.

Рассмотрим два фундаментальных свойства систем управления, которые имеют такое же большое значение, как и свойство устойчивости. Первое из них связано с возможностью перевода системы из любого начального состояния в любое другое заданное состояние, а второе – с возможностью определить состояние системы по управляемой величине и управляющему воздействию.

1. Управляемость.

Определение управляемости. Система (управляемая система или объект) с уравнением состояния

является полностью управляемой , если существует управляющий сигнал f , который переводит систему из нулевого начального состояния х (0)= 0 в момент t 0 = 0в любое другое состояние х (t f )за конечное время t f .

Состояние системы в текущий момент времени t можно изобразить с помощью точки М в пространстве состояния. Под пространством состояния понимаем пространство, осями которого являются переменные состояния.

Здесь точка М – изображающая точка.

Изменение положения изображающей точки – это переход системы из одного состояния в другое.

Нетрудно показать, что если система полностью управляемая, то ее при некоторых допущениях можно перевести из любого начального состояния в любое другое состояние. Это свойство системы называют достижимостью .

Управляемость – частный случай достижимости.

На рисунке выше дана геометрическая интерпретация свойств управляемости и достижимости.

Теорема Калмана. (О полной управляемости).

Для полной управляемости системы, описываемой уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости (блочная матрица)

(2)

имела ранг, равный n , где n – порядок системы: . Матрица U имеет размерность (), так как каждый блок имеет размерность , а всего n блоков ( столбцов).

Если существует хотя бы один минор n -го порядка матрицы U , то . Минор n -го порядка – определитель матрицы U , составленный из n произвольных столбцов матрицы U .

Для системы с одним входом, т.е. если , то U – квадратная матрица и имеет единственный минор n -го порядка, который совпадает с определителем матрицы . При этом условие полной управляемости для r =1:

то есть матрица управляемости должна быть невырожденной.

Пример. Для двойного интегратора

,

где k – коэффициент усиления двойного интегратора.

Является лидвойной интегратор полностью управляемым, и при каких условиях?

В данном случае n= 2, . Следовательно, в соответствии с (2) матрица управляемости двойного интегратора

,

.,

Следовательно, , если . Это и есть условие полной управляемости двойного интегратора.

Команды Matlab: U=ctrb (A,B ); r=rank (U ).

Замечание 1. Физический смысл свойства полной управляемости заключается в том, что управление оказывает влияние на каждую из переменных состояния , . При этом можно изменять положение изображающей точки произвольно с помощью соответствующего управления.

Замечание 2. Является ли система полностью управляемой можно определить с помощью операционной структурной схемы. Если на операционной структурной схеме имеются пути, ведущие от управления к каждой переменной состояния, то система является полностью управляемой.

Пример . Рассмотрим операционную структурную схему системы, представленную на рисунке ниже. Здесь , n= 2.

Как видим, управление u будет оказывать влияние лишь на переменную х 1 . Левая часть структурной схемы ведет себя автономно от управления u . Следовательно, система не является полностью управляемой. Если система не является полностью управляемой, то ее можно разложить на управляемую и неуправляемую части (подсистемы).

Аналитически покажем, что рассматриваемая система не является полностью управляемой. Для этого по структурной схеме найдем уравнения в переменных состояния

из которых видно, что управление u не влияет на х 2 .

Найдем A и B :

, .

Отсюда матрица управляемости

.

Как видим, , то есть система не удовлетворяет условию полной управляемости.

Замечание 3. Если система с одним входом, другими словами, при r= 1, не является полностью управляемой, то ее ПФ вырождается, другими словами, ее ПФ является вырожденной ПФ, то есть порядок знаменателя ПФ будет меньше порядка системы (порядка характеристического уравнения системы).

Отсюда система с одним входом является полностью управляемой, если ее передаточная функция не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе (сокращаемых сомножителей).

Для примера, рассмотренного в замечании 2:

, , l= 1.

При этом ПФ системы

,

где характеристический многочлен

Следовательно, корни характеристического уравнения =0, другими словами, полюсы системы равны: .

Найдем числитель , представляющий собой скалярный многочлен

.

Порядок системы n= 2, а порядок знаменателя ПФ равен 1, то есть передаточная функция системы вырождена. Эта система устойчива по начальным условиям, если (левые корни). Если , ( есть правый корень), то система устойчива по входу и неустойчива по начальным условиям. Другими словами, компенсация правых (неминимальнофазовых) нулей системы за счет полюсов последовательно включенной еще одной системы делает последовательное соединение не стабилизируемым.