Постановка и решение задачи оптимального управления для конкретного объекта имеет смысл только в том случае, если существует принципиальная возможность перевода его из заданного начального состояния в требуемое конечное состояние за ограниченное время с использованием допустимого управления. Определение возможности такого перевода составляет содержание понятия управляемости, которое впервые было введено Р. Калманом.

Рассмотрим линейную стационарную систему, описываемую уравнением

- n - мерный вектор системы

- m - мерный вектор управления

A и B - постоянные матрицы порядка и соответственно.

Стационарная система, описываемая уравнением (1), называется управляемой, если для любых состояний и существует ограниченное измеримое управление U(t), заданное на конечном интервале , такое, что соответствующая траектория X(t) удовлетворяет условиям и .

Критерий полной управляемости системы (1), предложенный Р. Калманом, имеет простую и компактную форму. Пусть заданы матрицы A и B системы. Составим матрицу размером , в которой первые m столбцов совпадают со столбцами матрицы B, вторые m столбцов совпадают со столбцами матрицы AB и т. д., а последние m столбцов есть столбцы матрицы . Матрицу записывают так:

Управляемость линейной стационарной системы связывается со свойствами матрицы в виде следующего утверждения.

Для того, чтобы линейная стационарная система (1) была полностью управляемой, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы управляемости был равен n, т.е.

Если вместо матрицы B в правой части уравнения (1) стоит матрица-столбец , т.е. m=1 и управление является скалярной функцией времени, то для полной управляемости системы необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

(4) ,

имеющей размерность , был равен n, т.е. . Для полной управляемости системы в этом случае требуется, чтобы определитель матрицы не равнялся нулю, т.е. .

Если матрица A диагональна и все диагональные элементы ее различные, то система полностью управляема при условии, что матрица B не содержит нулевых строк.

Таким образом, свойство управляемости системы полностью определяется алгебраическими свойствами пары матриц {A,B}. Поэтому понятие управляемости часто относят к эти матрицам и говорят, что пара {A,B}вполне управляема или неуправляема.

Заметим, что критерий полной управляемости системы (1) никоим образом не связан с устойчивостью системы. Неустойчивая система может быть полностью управляемой и, наоборот, устойчивая система - неуправляемой. Полня управляемость означает возможность стабилизации системы, т.е. возможность построения устойчивой замкнутой системы путем присоединения соответствующего регулятора.

В случае нелинейных систем и при наличии ограничений на управление U(t) свойство управляемости может выполнятся не во всем фазовом пространстве, а критерии управляемости включают некоторые дополнительные условия. В частности доказано, что система (1), в которой на управление наложены ограничения вида

вполне управляема относительно начала координат во всем фазовом пространстве, если она при отсутствии ограничений вполне управляема и матрица A устойчива, т.е. корни уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Рассмотрим далее понятие наблюдаемости. Чтобы управлять объектом, необходимо иметь информацию о его текущем состоянии, т.е. знать значение переменных состояния в каждый момент времени. Однако некоторые из переменных , являясь абстрактными переменными, которые вводятся для удобства и полноты описания объекта, не имеют физического аналога в реальном объекте и поэтому не могут быть измерены. Не могут быть измерены и производные высокого порядка, используемые в качестве координат состояния. Измеряются в реальном объекте некоторые переменные , которые образуют вектор Y выходных координат. Вектор Y связан определенной зависимостью с вектором состояния X. Следовательно, возникает задача восстановления текущих значений переменных состояния по результатам наблюдения за выходными переменными системы на конечном интервале времени, а также задача определения условий, при которых такое восстановление возможно. Решение этих задач и составляет содержание проблемы наблюдаемости.

Рассмотрим линейную стационарную систему

(5)

X - n - мерный вектор состояния;

U - m - мерный вектор управления;

Y - r - мерный вектор выхода, компоненты которого представляют собой реальные выходные координаты объекта;

C,D - постоянные матрицы размерностью и соответственно.

Состояние системы (5) называется полностью наблюдаемым, если можно однозначно определить по данным измерений Y(t) и U(t) на конечном интервале времени . Система (5) называется полностью наблюдаемой, если наблюдаемы все ее состояния в любые моменты времени.

Условия наблюдаемости линейной стационарной системы (5) формулируются на основе алгебраических свойств пары матриц {A,C}.

Для того, чтобы линейная стационарная система (5) была полностью наблюдаема, необходимо и достаточно, чтобы матрица

имела ранг, равный n. Если это условие не выполняется (ранг ), то система не вполне наблюдаема. Если матрица A диагональная и все диагональные элементы ее различны, то система полностью наблюдаема при условии, что матрица C не содержит нулевых столбцов.

Наиболее легко судить об управляемости и наблюдаемости объекта, если его математическая модель представлена в канонической форме.

Для примера рассмотрим математическую модель одномерного объекта в виде канонических уравнений состояния:

В скалярной форме

В векторной форме

Из этих уравнений видно, что выход объекта U(t) не оказывает влияния на переменные и . Поэтому переменные и не управляемы.

Управляемыми являются только переменные состояния и .

Переменные и не участвуют в формировании выхода Y(t). Косвенно, через переменные и , они также не влияют на выход Y(t). Поэтому переменные и не наблюдаемы на выходе, а наблюдаемыми являются только переменные состояния и .

Очевидно, что и управляемой и наблюдаемой переменной состояния является :

Этот пример показывает, что в общем случае математическая модель объекта может иметь четыре части:

1) управляемую, но не наблюдаемую часть; 2) полностью управляемую и наблюдаемую часть; 3) неуправляемую и ненаблюдаемую часть; 4) неуправляемую, но наблюдаемую часть.

Рассмотрим два случая:

а) случай неполной управляемости, но полной наблюдаемости.

На приведенной ниже схеме видно, что на часть координат не влияют входные воздействия , ни другие переменные . В данном случае часть 2 системы является неуправляемой, но наблюдаемой.

б) случай неполной наблюдаемости системы, но полной управляемости

Как видно, здесь можно найти такую систему координат, что часть из них X(2) не влияет на выходные переменные ни непосредственно, ни через другие переменные состояния X(1). В данной схеме часть 2 системы является управляемой, но не наблюдаемой.

Для определения управляемости и наблюдаемости линейных систем с обратной связью, разделяющихся на две линейные подсистемы (неизменяемая часть - объект и регулятор ),очень удобна теорема Гилберта.

Пусть линейные подсистемы и образуют систему с обратной связью согласно приведенной структурной схемы. Пусть последовательное соединение представляет собой полностью управляемую и наблюдаемую систему, а последовательное соединение неуправляемую, но полностью наблюдаемую систему. Тогда:

1) порядок системы n равен сумме порядков и , т.е. ; 2) необходимым и достаточным условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость (наблюдаемость) ; 3) необходимым, но недостаточным условием управляемости (наблюдаемости) системы с обратной связью является управляемость (наблюдаемость) и и ; 4) если и управляемы (наблюдаемы), то любые из неуправляемых (ненаблюдаемых) координат системы с обратной связью являются неуправляемыми (ненаблюдаемыми) координатами и порождаются .

Важность данной теоремы состоит в том, что управляемость и наблюдаемость могут устанавливаться на основе исследования отдельных разомкнутых подсистем.

В случае линейных систем свойство управляемости не зависит от конкретной области в пространстве состояний.

В случае нелинейных систем и при наличии ограничений модуля вектора управления U(t) управляемость зависит от начального состояния системы и от значения составляющих вектора управления.

Рассмотренные выше понятия управляемости и наблюдаемости представляют большой интерес при синтезе оптимальных систем.

Видимо, нецелесообразно решать задачу синтеза оптимальной системы по тем координатам управления , относительно которых модель неуправляема.

С практической точки зрения наблюдаемыми переменными будут те, которые можно непосредственно измерить. Если какая-либо переменная является функцией физически наблюдаемых переменных и времени, но для ее вычисления требуются сложные вычислительные устройства, то ее считают практически наблюдаемой, хотя она по теории Калмана. Наблюдаемые на практике переменные - это те переменные, которые можно и измерять непосредственно, не используя связи, выраженные в уравнениях объекта. Этот вывод важен при решении задачи реализации закона оптимального управления.

Управляемость и наблюдаемость линейных систем регулирования относится к основным понятиям теории автоматического регулирования, с помощью которых можно оценивать структурные схемы систем и выполнять преобразование путем ввода дополнительных сигналов или за счет их исключения. Если в системе автоматического регулирования сигнал управления сформированный в задатчике, представляет собой некоторую совокупность его составляющих превышает число степеней свободы системы, описанной уравнением то система является неуправляемой. Действительно, в этом случае систему регулирования нельзя перевести из начального состояния в любое конечное состояние под действием некоторого входного сигнала При системы автоматического регулирования именуют вполне управляемыми.

Линейную стационарную систему автоматического регулирования называют полностью управляемой, если из любого начального состояния ее можно перевести в конечное состояние при помощи входного сигнала в течение конечного интервала времени. Необходимое и достаточное условие полной управляемости линейной стационарной системы, описываемой уравнением

таково: матрица

размера первые столбцов которой состоят из элементов матрицы В, а следующие столбцов - из элементов матрицы и т. д., должна иметь ранг .

С понятием управляемости связано понятие наблюдаемости системы. Наблюдаемость позволяет установить начальное состояние системы автоматического регулирования по результатам измерений одного выходного сигнала.

Линейная стационарная система автоматического регулирования, описываемая уравнениями

полностью наблюдаема, если можно определить начальное состояние системы по следующий данным;

а) матрица А и С;

б) выходному сигналу от начальных условий при заданному на конечном интервале времени

Необходимое и достаточное условие полной наблюдаемости линейной стационарной системы заключается в том, что сопряженная матрица 1

типа должна иметь ранг

Рассмотрим два типа систем автоматического регулирования.

Первый тип - система имеет лишь один выходной сигнал

Для этой системы необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является отличие от нуля всех коэффициентов.

Второй тип - система имеет несколько выходных сигналов:

Тогда необходимым и достаточным условием полной наблюдаемости является то, что для каждого один из коэффициентов Он, не должен равняться нулю.

Пример IX. 15. Определить, является ли линейная стационарная система автоматического регулирования (рис. IX. 19, а) полностью неуправляемой и наблюдаемой. Составим уравнение состояния для этой системы в виде

Из уравнения (IX.253) следует, что матрица А имеет размерность

В этом случае формула (IX.251), по которой определяется управляемость, примет вид

Определитель матрицы (IX.255) будет что соответствует рангу матрицы К, меньщему 2. Для полной управляемости системы регулирования ранг матрицы К должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система является неуправляемой.

Определим наблюдаемость системы регулирования. Для этого воспользуемся формулой (IX.252). В нашем случае

Рис. IX.19. Структурные схемы системы автоматического регулировании для примера IX.15

Подставив соответствующие сопряженные значения матриц в формулу (IX.256), получим

Определитель матрицы (IX.252) что соответствует рангу, меньшему 2. Для получения полной наблюдаемости системы регулирования ранг матрицы должен быть равен 2. Поэтому рассматриваемая система регулирования является ненаблюдаемой.

Этот результат становится очевидным из анализа передаточной функции замкнутой системы

Если сократить нуль в прямой цепи, когда полюс находится в цепи обратной связи, то получим

Из выражения (IX.259) можио найтн характеристическое уравнение замкнутой системы в виде

что указывает на неустойчивость системы регулирования.

• наличие хотя бы одной цели, которую принимают члены группы как общую для себя;
• наличие членов группы, которые намеренно работают вместе, чтобы достичь общей цели.

Таким образом, получается, что организация - это группа людей, которая сознательно координирует свои усилия для достижения общих целей, т. е. управляется. Управление - это целенаправленное воздействие на объект для достижения требуемого результата. Управление подразумевает наличие четырех основных элементов; вход основной системы, выход основной системы, канал обратной связи, блок управления. Такая система построена на принципе контроля результатов деятельности организации и увязке контролируемых параметров с целями на входе. Такой вид управления получил название управление по целям.

Весь процесс управления является непрерывным и состоит из четырех основных этапов. Изначально организация и ее подразделения получают задания в виде целей, под которые планируются процедуры, дающие ответ на вопросы; кто, что, где, в какие сроки и в каком количестве должен сделать. Проверка результата работы наступает после установленного срока выполнения работы. При этом оцениваются степень достижения цели и проблемы, мешавшие ее достижению. В результате контроля за результатами работы устанавливаются причины отклонения от плановых процедур и разрабатываются корректирующие мероприятия. Чтобы привести результаты к плановым, необходимо выявить природу несоответствия и при необходимости скорректировать цели. Например, если результат не был достигнут из-за некомпетентности работника, то достаточно будет применить к этому работнику санкции или заменить его, но если отклонения от намеченных результатов произошли из-за изменений во внешней среде (обвал курса рубля), необходимо корректировать цели организации или ее отдельных подразделений.

Условия управления. Оценка результатов управления - это сравнение достигнутых результатов деятельности организации в целом и ее отдельных подразделений с поставленными целями. Оценка результата управления используется как механизм обратной связи. При оценке результатов управления выявляют следующие основные параметры:

• результаты функционирования (деятельности);
• наличие ресурсов для выполнения поставленных задач;
• уровень компетентности сотрудников различных звеньев;
• степень управляемости организацией, или как слаженно функционирует вся система, где и когда происходили сбои при передаче информации и ресурсов.

Одним из наиболее важных условий надежности управления является разработка системы показателей результатов. Анализ количественных и качественных показателей способствует выявлению сильных и слабых сторон организации, помогает определить ее конкурентные преимущества (если она работает в условиях рынка), выявляет адаптационные свойства.

Основные количественные показатели:

• производственные - производительность, себестоимость, рентабельность, коэффициент сменности и т. д.;
• по персоналу - число прогулов, текучесть кадров, количество больничных листов, частота повышения квалификации и т. д.;
• финансово-экономический - прибыльность, оборачиваемость, платежеспособность, норма доходности акций и т. д.;
• рыночные (маркетинговые) - доля рынка и ее динамика, объем реализации, количество клиентов и величина потребления на одного клиента и т. д.

Основные качественные показатели:

• навыки и компетенция персонала;
• компетенция руководства;
• знание рынка;
• уровень организационной культуры;
• уровень инновационности (разработка и применение новых технологий);
• имидж организации и т. д.

В подавляющем большинстве случаев организация имеет множество различных целей. Возникает целый набор взаимосвязанных, а иногда и противоречивых целей. Многообразие целевых установок превращает организацию в сложную организацию. Например, даже не очень крупное производственное предприятие имеет цели по закупке сырья, по его переработке, по подбору персонала, по распределению готовой продукции и т. д. Все эти цели должны быть взаимоувязаны во времени, согласованы с внешними условиями. Если срывается закупка, то отдел реализации своих целей не достигает.

Общие черты организации:

• ресурсы;
• зависимость от внешней среды;
• разделение труда - горизонтальное и вертикальное;
• подразделения;
• необходимость управления.

Управление необходимо для координации всех задач, осуществляемых организацией. Управление организацией - это процесс планирования, организации, мотивации и контроля ДЛЯ того, чтобы сформулировать и достичь целей организации.

Управляемость и наблюдаемость.

Рассмотрим два фундаментальных свойства систем управления, которые имеют такое же большое значение, как и свойство устойчивости. Первое из них связано с возможностью перевода системы из любого начального состояния в любое другое заданное состояние, а второе – с возможностью определить состояние системы по управляемой величине и управляющему воздействию.

1. Управляемость.

Определение управляемости. Система (управляемая система или объект) с уравнением состояния

является полностью управляемой , если существует управляющий сигнал f , который переводит систему из нулевого начального состояния х (0)= 0 в момент t 0 = 0в любое другое состояние х (t f )за конечное время t f .

Состояние системы в текущий момент времени t можно изобразить с помощью точки М в пространстве состояния. Под пространством состояния понимаем пространство, осями которого являются переменные состояния.

Здесь точка М – изображающая точка.

Изменение положения изображающей точки – это переход системы из одного состояния в другое.

Нетрудно показать, что если система полностью управляемая, то ее при некоторых допущениях можно перевести из любого начального состояния в любое другое состояние. Это свойство системы называют достижимостью .

Управляемость – частный случай достижимости.

На рисунке выше дана геометрическая интерпретация свойств управляемости и достижимости.

Теорема Калмана. (О полной управляемости).

Для полной управляемости системы, описываемой уравнением (1), необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости (блочная матрица)

(2)

имела ранг, равный n , где n – порядок системы: . Матрица U имеет размерность (), так как каждый блок имеет размерность , а всего n блоков ( столбцов).

Если существует хотя бы один минор n -го порядка матрицы U , то . Минор n -го порядка – определитель матрицы U , составленный из n произвольных столбцов матрицы U .

Для системы с одним входом, т.е. если , то U – квадратная матрица и имеет единственный минор n -го порядка, который совпадает с определителем матрицы . При этом условие полной управляемости для r =1:

то есть матрица управляемости должна быть невырожденной.

Пример. Для двойного интегратора

,

где k – коэффициент усиления двойного интегратора.

Является лидвойной интегратор полностью управляемым, и при каких условиях?

В данном случае n= 2, . Следовательно, в соответствии с (2) матрица управляемости двойного интегратора

,

.,

Следовательно, , если . Это и есть условие полной управляемости двойного интегратора.

Команды Matlab: U=ctrb (A,B ); r=rank (U ).

Замечание 1. Физический смысл свойства полной управляемости заключается в том, что управление оказывает влияние на каждую из переменных состояния , . При этом можно изменять положение изображающей точки произвольно с помощью соответствующего управления.

Замечание 2. Является ли система полностью управляемой можно определить с помощью операционной структурной схемы. Если на операционной структурной схеме имеются пути, ведущие от управления к каждой переменной состояния, то система является полностью управляемой.

Пример . Рассмотрим операционную структурную схему системы, представленную на рисунке ниже. Здесь , n= 2.

Как видим, управление u будет оказывать влияние лишь на переменную х 1 . Левая часть структурной схемы ведет себя автономно от управления u . Следовательно, система не является полностью управляемой. Если система не является полностью управляемой, то ее можно разложить на управляемую и неуправляемую части (подсистемы).

Аналитически покажем, что рассматриваемая система не является полностью управляемой. Для этого по структурной схеме найдем уравнения в переменных состояния

из которых видно, что управление u не влияет на х 2 .

Найдем A и B :

, .

Отсюда матрица управляемости

.

Как видим, , то есть система не удовлетворяет условию полной управляемости.

Замечание 3. Если система с одним входом, другими словами, при r= 1, не является полностью управляемой, то ее ПФ вырождается, другими словами, ее ПФ является вырожденной ПФ, то есть порядок знаменателя ПФ будет меньше порядка системы (порядка характеристического уравнения системы).

Отсюда система с одним входом является полностью управляемой, если ее передаточная функция не содержит одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе (сокращаемых сомножителей).

Для примера, рассмотренного в замечании 2:

, , l= 1.

При этом ПФ системы

,

где характеристический многочлен

Следовательно, корни характеристического уравнения =0, другими словами, полюсы системы равны: .

Найдем числитель , представляющий собой скалярный многочлен

.

Порядок системы n= 2, а порядок знаменателя ПФ равен 1, то есть передаточная функция системы вырождена. Эта система устойчива по начальным условиям, если (левые корни). Если , ( есть правый корень), то система устойчива по входу и неустойчива по начальным условиям. Другими словами, компенсация правых (неминимальнофазовых) нулей системы за счет полюсов последовательно включенной еще одной системы делает последовательное соединение не стабилизируемым.

Накладываемые на параметры Динамической системы условия, при выполнении которых система обладает свойствами управляемости и наблюдаемости. Эти свойства заключаются в следующем: пусть уравнения движения системы заданы в пространстве состояний след. обр.:

где - некоторые, в общем случае нелинейные ф-ции координат простр. состояний и входных (управляющих) воздействий простр. состояний выделены два мн-ва: . Система управляемой относительно если существует такое допустимое управление которое может перевести систему из любой точки мн-ва в одну из точек мн-ва Система полностью наблюдаемой, если существует преобразование (алгоритм, закон), по которому наблюдаемой на интервале траектории при известном и ставится во взаимно однозначное соответствие точка Указанное определение Н. и у. у. справедливо и для линейных, и для нелинейных систем.

Понятия управляемости и наблюдаемости можно распространить на любые управляемые системы (бесконечномерные и конечномерные, динамические, стохастические системы, автоматы конечные и др.). В случае конечного автомата эквивалентными управляемости и наблюдаемости являются свойства связанности и распознаваемости автомата. Автомат с мн-вом состояний сильносвязным, если существует входная последовательность, которая переводит автомат из любого заданного состояния в любое заданное состояние (Ту (г может равняться ). Характерные свойства сильносвязного автомата заключаются в том, что его всегда можно установить в любое заданное конечное состояние и всегда можно распознать.

Задача распознавания автомата представляет собой задачу определения его состояния (в том числе и начального) при помощи измерений (наблюдений) его выходов. Важной разновидностью задачи распознавания автомата является определение (с точностью до изоморфизма) его миним. формы путем измерений на его внеш. выводах.

Для линейных динамических систем ур-ние (1) перепишется в виде:

где X - -мерный вектор состояний системы, вектор входных сигналов (управления), Y - -мерный вектор выходных координат (реакций) системы; А, В, С - матрицы размерностей соответственно, определяемые параметрами системы. Определение управляемости в этом случае сужается: система полностью управляемой, если мн-во представляет собой все простр. состояний, а мн-во стягивается в точку (начало координат). Впервые необходимые и достаточные Н. и у. у. линейных систем сформулировал амер. кибернетик Р. Калман так: ранг матрицы полной управляемости) и ранг матрицы полной наблюдаемости) должны быть равны (штрих означает транспонирование).

Управляемость систем вида (2) можно установить с помощью различных эквивалентных критериев. Напр., система (2) вполне управляема, если: а) не существует инвариантного подпространства матрицы А размерности меньше , которое одновременно содержало бы все векторы-столбцы матрицы В; или б) не существует собственных векторов V матрицы А ортогональных пространству векторов матрицы В, т. е. ни для какого V. Необходимые и достаточные условия наблюдаемости также можно сформулировать для системы (2) различными эквивалентными способами; напр., система (2) вполне наблюдаема, если не существует ни одного собственного вектора матрицы А, для которого . Известны и другие определения и критерии управляемости и наблюдаемости-, сформулированные в алгебр, и геом. форме, в терминах функционального анализа, в форме проблемы отделимости мн-в и др. Различают понятия управляемости по состоянию и по выходу системы. Существенно, что понятия управляемости и наблюдаемости являются внутр. свойствами системы и сохраняются при любых эквивалентных преобразованиях ее модели математической. В частности, управляемость системы (4) не зависит от выбора системы координат.

Важным свойством конечномерных управляемых систем является независимость их свойств управляемости - от класса допустимых управлений. В случае бесконечномерных управляемых систем аналогичное свойство не установлено, равно как и сама проблема управляемости и наблюдаемости таких систем еще далека от завершения.

Полная управляемость или наблюдаемость системы нарушается при динамич. коррекции, если при введении корректирующих звеньев происходит компенсация полюсов передаточных функций звеньев системы нулями корректирующих устр-в. Тогда может оказаться,

что координаты X состояний системы разбиваются на 2 группы, причем координаты 1-й группы зависят от управления U, а координаты 2-й группы не зависят ни от U, ни от координат 1-й группы и образуют т. н. неуправляемую часть. В другом случае, если координаты 1-й группы связаны с реакцией Y, а координаты 2-й группы не связаны ни с Y, ни с координатами 1-й группы, они образуют ненаблюдаемую часть. Это явление нельзя проанализировать при описании системы передаточными ф-циями, где вследствие компенсации полюсы и нули исключаются из рассмотрения. Анализ Н. и у. у. необходим при рассмотрении задач инвариантности, автономности, синтезе оптим. фильтров и оптим. регуляторов и анализе устойчивости таких систем. Так, Р. Калман доказал теорему: решение задачи синтеза оптим. регулятора (в смысле минимума квадратичного функционала качества) возможно тогда и только тогда, когда объект полностью управляем.

Связь Н. и у. у. определяется принципом дуальности, сформулированным Р. Калманом. Назовем сопряжённой по отношению к (1) такую систему, которую описывает сопряженная по отношению к (1) система ур-ний, где Тогда, если система (1) полностью управляема, то сопряжённая система полностью наблюдаема и наоборот. Поскольку ур-ние дискретной системы в простр. состояний можно записать в виде

то все сказанное выше остается справедливым и для дискретных систем с заменой А, В, С на соответственно.