Дифференциальным называют уравнением, связывающее аргументх , искомую функциюу и ее производныеу ’ ,у ” , ...,у (n ) различных порядков. В общем виде дифференциальное уравнение можно записать:
F (x, y, у ’ ,у ” , ...,у (n) ) = 0 .
Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.
Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы телаm на приобретенное под действием силы ускорениеа: F = ma .
Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:
Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:
Если известен конкретный характер действующей силы,то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).
Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Пример. Решить уравнение:у ’ - х = 0 (3)
Перепишем исходное уравнение в виде:
(4)
В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал - в другую.
Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, - поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:
(5)
При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С 1 иС 2 . Их следует объединить в одну постояннуюС . Окончательно:
Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.
Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.
Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения - их называют начальными условиями.
Например: при х = 0 у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постояннуюС :
1 = 0 + С С = 1.
Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:
2. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения - математический аппарат, который позволяет решать не только чисто математические или физические задачи, но и количественно описывать самые разнообразные процессы (медико-биологические, экономические, социальные и др.). Несмотря на разнообразие рассматриваемых явлений, использование аппарата дифференциальных уравнений для их исследования должно происходить в определенной общей логической последовательности.
2.1. Составление дифференциального уравнения. Этот этап наиболее сложный и ответственный. Здесь необходимо учесть все факторы, которые влияют на течение исследуемого процесса, возможно, сделать некоторые допущения, определить начальные условия. При этом исследователь должен основываться на твердо установленных экспериментальных фактах или логических посылках. Например, при создании математических моделей работы сердца их практическая полезность (получение новых сведений, позволяющих улучшить диагностику сердечно-сосудистых заболеваний и повысить эффективность их лечения) определится полнотой и корректностью математического учета физиологических данных и клинической практики.
2.2. Решение уравнения. Этот этап может считаться более простым, чем первый, поскольку он предполагает выполнение чисто математических операций. Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в аналитическом виде, то оно может быть решено расчетным путем с применением современной вычислительной техники.
2.3. Оценка и анализ результата. Получив решение дифференциального уравнения (или системы уравнений), необходимо оценить, какова теоретическая и практическая полезность полученных результатов - установлены ли новые закономерности в протекании, например, физиологических процессов; определено ли количественно влияние выбранных факторов на,например, степень развития и характер патологии и т.п.
Кроме того, следует сопоставить полученные результаты с имеющимися установленными фактами. Если из математического описания физиологического процесса следуют неожиданные и неизвестные ранее сведения, то это может означать: 1) действительно установлено новое явление, которое впоследствии может быть подтверждено экспериментальными исследованиями; 2) полученный результат возник из-за того, что на этапе составления дифференциального уравнения не учтены все необходимые факторы или сделаны слишком грубые допущения.
Уравнения с разделяющимися переменными
Понятие дифференциального уравнения
Уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию у=f (x), а также ее производные у", у"", и т.д. называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Общий вид дифференциального уравнения:
F (x, y, y", y"",…, y (n)) = 0,(29)
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.
Например, у"+ху-5=0 – уравнение первого порядка, у""+6у"+х=0 – уравнение второго порядка.
Общий вид уравнения первого порядка:
F (x, y, y") = 0 , (30)
Общим решением дифференциального уравнения называется функция, удовлетворяющая двум условиям: во-первых, эта функция должна удовлетворять данному дифференциальному уравнению, т.е. при подстановке в уравнение должна обращать его в тождество; во-вторых, количество произвольных постоянных в этой функции должно быть равным порядку данного уравнения.
Общее решение дифференциального уравнения n- го порядка имеет вид:
у = f (x, C 1 , C 2, ….,C n) , (31)
а общее решение дифференциального уравнения I порядка
у = f (x, C) , (32)
Из общего решения путем вычисления постоянных интегрирования, исходя из заданных дополнительных условий, можно найти частные решения данного уравнения.
Дифференциальными уравнениями описывают различные процессы в физике, химии, биологии, фармации.
Из уравнений первого порядка рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными .
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид у"= (х,у), причем его правая часть может быть представлена в виде произведения двух отдельных функций: . Тогда
Преобразуем это уравнение, разделив переменные справа и слева:
Общий вид уравнения с разделенными переменными
f (y)dy= (x)dx .
Уравнение решается непосредственным интегрированием: слева по переменной у и справа по переменной х С :
или F (y)=Ф (х)+С.
Решая это уравнение, находим:
Таким образом, алгоритм решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными следующий:
а) если уравнение содержит производную, то представить ее в виде ;
б) преобразовать уравнение, перенося все члены его, содержащие у , в левую часть, содержащие х – в правую;
в) проинтегрировать по общим правилам левую часть по аргументу у и правую – по аргументу х с прибавлением постоянной интегрирования С.
г) решая полученное уравнение, найти искомую функцию.
Пример16. Найти общее решение уравнения y"=2xy и частное решение, соответствующее условию
y=2 при x=0 , (33)
Решение. Представим производную y" в виде отношения дифференциалов:
Разделим переменные:
Проинтегрируем полученное уравнение:
ln y=x +C .
Так как в уравнение входит lny , то постоянную удобнее выразить в виде логарифма:
lny=х +lnC
lny- lnС=x
ln =х
Потенцируя это равенство, получим:
Отсюда , и для общего решения имеем
у=Се , (34)
Для нахождения частного решения подставим начальное условие (33) в (34):
Т.е. С=2 и искомое частное решение будет иметь вид
Задача о скорости размножения бактерий. Скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству. В начальный момент имелось 100 бактерий, в течение трех часов их число удвоилось. Найти зависимость количества бактерий от времени.
Решение. Пусть N – количество бактерий в момент времени t. Тогда согласно условию
где k - коэффициент пропорциональности. Уравнение (36) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными и его решение имеет вид:
Из начального условия известно, что . Следовательно,
Из дополнительного условия . Тогда
Таким образом, для искомой функции получаем:
Задача об увеличении количества фермента. В культуре пивных дрожжей быстрота прироста действующего фермента пропорциональна его начальному количеству x. Первоначальное количество фермента а в течение часа удвоилось. Найти зависимость x(t).
Решение. По условию задачи дифференциальное уравнение процесса имеет вид
где k – коэффициент пропорциональности. Общее решение уравнения (39) (уравнение с разделяющимися переменными) имеет вид:
Постоянную С найдем из начального условия :
Известно также, что . Значит
Отсюда и окончательно имеем
3. Цель деятельности студентов на занятии:
Студент должен знать:
1. Определения производной и дифференциала функции.
2. Физический и геометрический смыслы производной.
3. Таблицу производных основных элементарных функций.
4. Правила дифференцирования.
5. Аналитический и геометрический смыслы дифференциала.
6. Понятия неопределенного и определенного интегралов.
7. Таблицу основных интегралов.
8. Основные свойства неопределенного и определенного интегралов.
9. Основные методы интегрирования.
10. Определение обыкновенного дифференциального уравнения.
11. Понятие общего и частного решений дифференциального уравнения.
12. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными и алгоритм его решения.
Студент должен уметь:
1.Вычислять производные и дифференциалы функций.
2.Применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.
3.Вычислять неопределенные и определенные интегралы различными методами.
4.Вычислять средние значения функций, площади плоских фигур, работу переменной силы.
5.Находить решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
1. Задачи, приводящие к понятию производной функции.
2. Геометрический и физический смыслы производной.
3.Производная сложной функции.
4.Дифференциал функции. Геометрический и аналитический смыслы дифференциала.
5.Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях.
6.Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.
7.Основные методы интегрирования.
8.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
9.Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определенного интеграла.
10.Приложения определенного интеграла: вычисление площадей плоских фигур, вычисление средних значений функций, вычисление работы переменной силы.
11.Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
Практическая часть:
1.Найдите производные и дифференциалы функций:
2)y= ; 5) у=arccosx ;
3) y=e 3x+1 ; 6) y= ;
2.Решите задачу:
Определить ускорение точки в указанные моменты времени, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задается уравнениями:
а) V = t 2 + 2 t, t = 3 c ; б) V = 4 sin , t = .
3. Вычислите приращение функции, соответствующее изменению аргумента от х 1 до х 2 :
1) у = 2 х 3 - 4х; х 1 = 1; х 2 = 1, 02 ;
2) у = 3 х 2 - 2х; х 1 = 2; х 2 = 2 ,001 ;
4.Найдите интегралы, используя метод разложения:
2) 
; 4) ;
5.Найдите интегралы методом замены переменной:
6. Найдите интегралы методом интегрирования по частям:
7. Вычислите определенные интегралы методом замены переменной:
8.Вычислите определенные интегралы методом интегрирования по частям:
9. Вычислите площади фигур, ограниченных линиями:
1) у=х 2 и у= х 3 .
2) и у=х.
10. Найдите средние значения функций:
1) у=соsх на отрезке .
2) на отрезке .
11. Вычислите работу переменной силы:
1) при перемещении материальной точки вдоль оси абсцисс из положения с абсциссой в положение с абсциссой
3) при условии: ;
4) при условии: .
5.Перечень вопросов для проверки исходного уровня знаний:
1. Дайте определение производной функции.
2. Сформулируйте основные правила дифференцирования.
3. Запишите формулу производной сложной функции.
4.В чем заключаются физический и геометрический смыслы производной функции?
5. Что называется дифференциалом функции?
6. В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции?
7.Дайте определение первообразной функции.
8.Приведите основные свойства неопределенного интеграла.
9.Запишите формулу интегрирования по частям.
10.Дайте геометрическую интерпретацию определенного интеграла.
11.Запишите формулу Ньютона-Лейбница
12.Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения.
13.Чем отличаются частное и общее решения дифференциального уравнения?
6. Перечень вопросов для проверки конечного уровня знаний:
1. В чем состоит физический смысл производной второго порядка?
2. В чем заключается аналитический смысл дифференциала?
3. Как используется дифференциал для вычисления погрешностей?
4.Какие две основные задачи, связанные с физическим и геометрическим истолкованием производной, решаются с помощью интегрирования?
5.Как проверить правильность нахождения неопределенного интеграла?
6.Можно ли результат вычисления определенного интеграла проверить дифференцированием?
7.На чем основано применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур?
9.Приведите последовательность решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.
7. Хронокарта учебного занятия:
1. Организационный момент – 5 мин.
2. Разбор темы – 30 мин.
3.Решение примеров и задач-60 мин.
4. Текущий контроль знаний -35 мин.
5. Подведение итогов занятия – 5 мин.
8. Перечень учебной литературы к занятию:
1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М., «Медицина», 2004, §§ 2.1-2.7, 2.10-2.16, 5.1-5.4, 6.1-6.7, 7.1, 7.2.
2.Павлушков И.В. и др. Основы высшей математики и математической статистики. М., «ГЭОТАР-Медиа», 2006, §§2.1, 2.2, 4.1, 4.2, 5.1-5.6, 6.1-6.3.
Современные сварочные аппараты, инверторы, представляют небольшое устройство, доступное к переноске и облегчающее сваривание (по сравнению с прежними трансформаторами). Научиться варить инвертором значительно проще, чем трансформаторным устройством. Поэтому сварка больше не является прерогативой профессионалов, стала популярным занятием, доступным к овладению и применению на собственном участке. Рассмотрим, как научиться сваривать металл с использованием инвертора.
Устройство и принцип работы инверторного сварочного аппарата.
Устройство сварочного инвертора: как возникает дуга?
Инвертор представляет собой металлический ящик небольших размеров (до 0,5 метра), весом до 10 кг. Главная задача сварочного аппарата — производить ток заданных параметров. Для этого инвертор преобразует ток из сети (переменный 220 Вольт) в сварочный. Сварочный ток большинства бытовых аппаратов является постоянным.
Прямое и обратное подключение тока.
Каждый инвертор имеет две клеммы: катод (обозначается «-») и анод (обозначается «+»). В одну клемму вставляют электрод, а вторая соединяется со свариваемым металлом. После подачи электрического тока образуется общая электрическая цепь. При небольшом разрыве цепи (с расстоянием в несколько миллиметров) в месте разрыва происходит мгновенная ионизация воздуха и возникает сварочная дуга.
Основное выделение тепла происходит в дуге. Температура ее горения составляет 5000-7000 ºC. Это выше температуры плавления всех используемых металлов. При горении дуги кромки металлов и электрод расплавляются и перемешиваются. Шлак — более легкий материал, он всплывает на поверхность и защищает основной металл от окисления и насыщения азотом. После застывания образуется сварной шов.
Полярность тока и параметры сварки — что это такое?
Сварочный ток может двигаться от катода к аноду и, наоборот, от анода к катоду. Так образуется разная полярность тока. При движении тока от катода — прямая полярность. При обратном движении (от анода) — обратная. Для чего нужна прямая и обратная полярность?
Использование разной полярности связано с тем, что более высокая температура будет на той клемме, к которой поступает электрический ток. Если ток прямой полярности, более высокая температура образуется на аноде (то есть на свариваемой поверхности). Это наиболее распространенный вид сварки, с ним работают большинство начинающих сварщиков. Если ток обратной полярности, более высокая температура образуется на катоде (к нему подключен электрод). Такое требуется при работе с тонколистовым металлом и тех марок стали, которые нельзя перегревать (например, высоколегированных).
Диаметр электрода выбирается в зависимости от толщины свариваемых деталей. Размер электрода и сила электрического тока находятся в пропорциональной зависимости друг от друга: чем толще электрод, тем сильнее ток. Для ориентировочных расчетов принимают, что сила тока равна диаметру, умноженному на 3,5. То есть для электрода 3 мм сила тока составит: 3 * 3,5 = 105 А.
Поскольку на силу тока также влияет расположение шва (горизонтальное, вертикальное или потолочное), материал электрода, то начинающему сварщику проще пользоваться таблицей соответствия силы тока диаметру электрода и выбора диаметра по толщине свариваемых элементов (рис. 1 и 2 соответственно). Далее можно варить металл инвертором.
Преимущества инвертора перед трансформатором
Рисунок 1. Таблица соответствия толщины металла и диаметра электрода.
При обучении проще овладеть искусством сварки с помощью инвертора. Сваривать металл инвертором легче, потому что устройство обеспечивает постоянный ток сварки (независимо от колебаний напряжения в сети). Вследствие этого дуга горит устойчиво, металл разбрызгивается незначительно. Величина сварочного тока регулируется плавно.
Варить сварочным инвертором удобно для начинающих благодаря наличию дополнительных функций. Например, в инверторе может быть запроектирован «Горячий старт» (Hot-Start), он увеличивает сварочный ток в начале работы (чем облегчает розжиг дуги). Другая функция «Сильная дуга» (Arc-Force) включается в работу, когда сварщик слишком близко приближает электрод к металлу. В таком случае инвертор автоматически увеличивает ток, ускоряет плавление и не допускает залипания.
В случае залипания включается функция «Анти-залип» (Anti-Sticking). Она снижает ток и дает возможность оторвать электрод от металла и продолжить сварку. При работе инвертора расходуется относительно небольшое количество электричества. Например, для сваривания электродом диаметром 3 мм необходим ток напряжением 4 кВт (что соответствует работе двух электрочайников). Экономия электричества окупает относительно дорогую цену инвертора.
Меры безопасности при сварке
Рисунок 2. Диаметр электрода и сила тока.
Перед началом работ пространство в радиусе нескольких метров освобождается от деревянных и других легковоспламеняющихся предметов. Это важно для начинающего сварщика. Сварочный электрод или его обломок имеют большую температуру, они способны поджечь оказавшиеся рядом доски, ящики, бумажный мусор. Обязательно надевается одежда, закрывающая все тело (длинные брюки, кофта с длинными рукавами). Это также важно для начинающего, поскольку в процессе разбрызгивания капли металла могут попасть на открытую кожу рук или ног. Обязательно надевается на лицо защитная маска с темным стеклом (светофильтром). Для солнечного света это стекло непроницаемо. Горение дуги через светофильтр будет видно.
Наблюдать за дугой без защитного стекла опасно, можно получить ожог глаз. Слабая степень ожога (один-два раза посмотрел на дугу) приводит к образованию светлых пятен перед глазами («нахватался зайчиков»). При средней степени ожога глаза болят и чешутся (возникает ощущения песка в глазах). Сильная степень ожога приводит к частичной или полной потере зрения.
Как разжечь дугу?
Правила техники безопасности при сварке.
Для сваривания металлических поверхностей необходимо научиться зажигать дугу и поддерживать ее. Вначале необходимо подключить клеммы инвертора. Мы будем работать с током прямой полярности, поэтому в клемму катода (« — ») вставляем электрод. Для простоты работы возьмем электрод диаметром 3 мм. Сварка более толстым электродом сложнее, приводит к колебаниям длины дуги и нестабильному горению, требует большего профессионализма. Выставляем ток 100 А (для электрода 3 мм и горизонтального расположения свариваемых поверхностей). Берем в руки ручку клеммы с электродом, включаем инвертор (подаем ток) и надеваем защитный экран.
Сварка без защитного экрана запрещена во избежание потери зрения.
Ощущение некоторого неудобства не стоит здоровья глазного аппарата. Перед розжигом дуги конец электрода обстукивают о металл, чтобы удалить обмазку с его края. Это облегчает розжиг. Существуют и применяют два вида розжига:
- Чирканье. Надо поднести электрод к поверхности металла и чиркнуть им (действие похоже на зажигание спички). Так разжигают новый электрод.
- Касание. Электрод подносят к металлу и слегка касаются его поверхности, после чего сразу отводят на расстояние нескольких миллиметров. Так разжигают электрод, когда сварка прервалась (произошло залипание или сварщик слишком удалил стержень от поверхности металла).
Процесс сварки: как поддержать дугу?
Важно соблюдать небольшое (3-5 мм) расстояние между металлом и электродом. Это расстояние называют длиной дуги. При его увеличении дуга перестает гореть.
Длина дуги ориентировочно равна диаметру электрода. То есть для устойчивого горения и ровного сварного шва при электроде 3 мм необходимо удерживать расстояние 3-5 мм от свариваемых поверхностей.
Если электрод слишком приблизился к поверхности металла, происходит короткое замыкание: электрод прилипает к металлу. Чтобы оторвать электрод от свариваемой поверхности, надо наклонить его в другую сторону или выключить инвертор. При прекращении подачи электричества электрод отлипает.
Угол наклона электрода может быть разным. Начинающему сварщику лучше придерживаться около 70º от поверхности металла (то есть с небольшим отклонением от вертикального положения).
Рисунок 3. Траектории движения электрода при дуговой сварке.
Для того чтобы варить качественно, необходимо научиться визуально (сквозь щиток светофильтра) оценивать размер сварной ванны. Ширина красноватой лужицы в светофильтре должна превышать толщину (диаметр) электрода в 2 раза.
На размер ванны влияет скорость перемещения электрода. Если он перемещается слишком медленно, образуется слишком много расплавленного металла и широкая сварная ванна, которая препятствует взаимодействию дуги со свариваемой основой, образуя непровары. Если дугу перемещать слишком быстро, возникнет недостаточное расплавление кромок и, как следствие, также непровар.
Первые шаги в сварке
Первые сварочные операции стоит пробовать выполнять на любой ненужной металлической поверхности. После розжига дуги надо вести электрод над металлом, стараясь получить ровный сварной след. Когда стало стабильно получаться воспламенять дугу, можно приступить к свариванию поверхностей. Их располагают встык друг к другу, получают дугу и проводят электродом вдоль линии соединения. При этом движения должны быть не прямолинейными (вдоль шва), а колебательными (то вправо, то влево). Типичный рисунок движения электрода при сварке приведен на рис. 3.
После охлаждения слой шлака снаружи сбивают молотком и оценивают качество соединения визуально. Хороший сварной шов должен быть одинаковой толщины, без видимых пустот и щелей.
После упражнений в течение одного-двух часов у большинства начинающих сварщиков стабильно получается разжигать дугу и поддерживать ее горение. Можно выполнить простые соединения металлических поверхностей. Когда научишься работать сварочным инвертором, сможешь выполнить самостоятельно разнообразные работы на приусадебном участке.