Общее технологическое множество производственного элемента может быть. Технология как ограничение

Описание технологического множества однопродуктового элемента, приведенное в предыдущем параграфе, является простейшим. Учет дополнительных свойств технологии элемента приводит к необходимости дополнить его рядом черт. Некоторые из них мы рассмотрим в этом параграфе. Конечно, приводимые рассмотрения не исчерпывают всех имеющихся в этом направлении возможностей.

Опишем свойства технологических множеств, в терминах которых обычно дается описание конкретных классов технологий.

Установим теперь некоторые взаимосвязи между свойствами технологического множества и представляющей его производственной функции.

Ответ на вопрос зависит от свойств технологического множества У и от множества цен Р, при которых наблюдается предложение.

Рассмотрим частный случай, когда Р = М++. В этом случае У и У могут не совпадать, поскольку наш метод построения У порождает множества, удовлетворяющее свойству свободы расходования, а технологическое множество У может не удовлетворять свойству свободы расходования (как на Рис. 24.1 и 24.2).

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли . Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.

Номинальные значения этих свойств заложены в конструкции изделия и технологии его изготовления. Их соблюдение в процессе производства осложняется множеством факторов, которые должны быть выявлены и по возможности нейтрализованы. Для этого группа контроля протекания технологических процессов проводит специальное исследование по установлению перечня факторов, значимости каждого из них, связи между ними, характера проявления (случайные или определенные), времени и места действия. В ходе такого исследования на первом этапе изучают состояние вопроса на основании накопленного производственного опыта, анализа технической документации, научных работ и экспериментов. На втором этапе формулируют мероприятия (способы воздействия на выявленные факторы). При выполнении мероприятий осуществляют контроль результатов и корректировку управляющих воздействий на факторы.

Отметим первое важное свойство множества 7/ - его полноту. Это свойство состоит в том, что в Ti содержатся технологические операции , достаточные для построения любой ТСП для некоторого класса объектов.

Применяемая в этой отрасли технология изменяет первоначальный состав и структуру исходных сырья и материалов, вследствие чего образуются новые химические соединения, отличающиеся от них физико-химическими и потребительскими свойствами. Технологические процессы отдельных производств весьма разнообразны. Это определяется тем, что химические методы позволяют получать множество продуктов из одного исходного материала, а также использовать разные виды и источники сырья для производства одного и того же продукта.

Как известно, синтетические полимерные соединения можно в зависимости от их происхождения, условий синтеза и физико-химических свойств подразделить на множество классов и групп. Однако для синтетических смол , применяемых в качестве связующих в армированных материалах, наиболее важным будет классификация по их технологическим и техническим свойствам (табл. 13).

Совокупность, порядок и характеристики технологических операций составляют технологический процесс , направленный на качественное изменение обрабатываемой среды, ее формы, строения и потребительских свойств. Это наиболее общее содержание понятия "технология" и будем подразумевать его при дальнейшем рассмотрении функций инновационного менеджмента . Кроме того, каждую из множества технологий можно считать производственной, так как любая из них предназначена для производства нового качества исходной среды или материала.

Теория активных систем (ТАС) - раздел теории управления социально-экономическими системами (зародившийся в стенах Института автоматики и телемеханики и развиваемый в значительной степени его сотрудниками), изучающий свойства механизмов их функционирования, обусловленные проявлениями активности участников системы. Основным методом исследования является математическое (теоретико-игровое) и имитационное моделирование . За тридцать лет своего развития в ТАС были разработаны, исследованы и внедрены множество эффективных механизмов управления . Соответствующие модели и методы находят применение при решении широкого круга задач управления в экономике и обществе - от управления технологическими процессами до принятия решений на уровне регионов и стран.

Рассмотренные в предыдущем параграфе методы представления технологических множеств производственных элементов характеризуют их свойства, но не задают описание в явном виде. Для однойродуктовых производственных элементов явное описание технологического множества можно задать, используя понятие производственной функции . В 1.2 мы уже касались этого понятия и его использования, в этом параграфе рассмотрение этих вопросов будет продолжено.

Описание технологии: производственная функция, множество используемых факторов производства , карта изоквант.

Производственная функция – технологическая зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции.

Если выражать формально, то производственная функция выглядит следующим образом:

Допустим, что производственная функция описывает выпуск продукции в зависимости от затрат труда и капитала, то есть рассмотрим двухфакторную модель. Одно и то же количество продукции можно получить при различных сочетаниях затрат этих ресурсов. Можно использовать небольшое количество машин (т. е. обойтись небольшими затратами капитала), но при этом придется затратить большое количество труда; можно, напротив, механизировать те или иные операции, увеличить количество машин и за счет этого снизить затраты труда. Если при всех таких сочетаниях наибольший возможный объем выпуска остается постоянным, то эти сочетания изображаются точками, лежащими на одной и той же изокванте . То есть изокванта – это линия равного выпуска или количества. На графике x1 и x2 – это используемые ресурсы.

Зафиксировав другое количество произведенной продукции, получим другую извокванту, то есть у одной и той же производственной функции имеется карта изоквант .

Свойства изоквант:

изокванты имеют отрицательный наклон . Между ресурсами существует обратная связь , то есть, уменьшая количество труда, необходимо увеличивать количество капитала, для того, чтобы остаться на том же уровне производства
изокванты выпуклы по отношению к началу координат . Как уже было сказано, при уменьшении использования одного ресурса, необходимо увеличивать использование другого ресурса. Выпуклость кривой безразличия по отношению к началу координат является следствием падения предельной нормы технологического замещения (MRTS). Про МРТС в третьем билете подробно рассказано. Пологий спуск изокванты вниз свидетельствует об убывании темпов замещения одного ресурса другим по мере уменьшения доли данного блага в производстве.
абсолютная величина наклона изокванты равна предельной норме технологического замещения. Угол наклона изокванты в данной точке показывает норму, в соответствии с которой один ресурс может быть заменен другим без выигрыша или потери количества произведенного блага.
изокванты не пересекаются . Один и тот же уровень выпуска не может быть характеризован несколькими изоквантами, что противоречит их определению.

Для любого уровня выпуска возможно построить изокванту

Математическое обоснование и экономический смысл убывания предельной нормы технологического замещения.

Рассмотрим (замещение ТРУДОМ КАПИТАЛА). То есть, от какого количества капитала готов отказаться производитель, ради получения 1 единицы труда. Необходимо доказать, что данный показатель убывает.
)

Но так как Q=const, следовательно, dQ=0

Как известно, предельный продукт труда убывает (так как рациональный производитель работает во второй стадии производства), следовательно, с увеличением труда MPL будет убывать, а MPK увеличиваться, так как количество капитала уменьшается, следовательно, будет убывать.

Экономическая причина уменьшения MRTS состоит в том, что в большинстве отраслей факторы производства не являются полностью взаимозаменяемыми: они и дополняют друг друга в производственном процессе. Каждый фактор может делать то, что не может сделать или может сделать хуже другой фактор производства.

Эластичность замещения факторов производства (обычное и логарифмическое представление). Кривизна изоквант и гибкость технологий

Эластичность замещения факторов производства - применяемый в экономической теории показатель, показывающий на сколько процентов необходимо изменить отношение факторов производства при изменении их предельной нормы замещения на 1 %, чтобы объём выпуска оставался неизменным.

Определим предельную норму замещения капитала трудом при технологии

Тогда из предыдущего билета следует:

При графическом построении MRTS соответствует тангенсу угла наклона касательной к изокванте в точке, указывающей необходимые объемы труда и капитала для производства заданного объема продукции.

При заданной технологии каждой величине капиталовооруженности труда (точке на изокванте) соответствует свое соотношение между предельными производительностями факторов производства. Иначе говоря, одной из специфических характеристик технологии является то, как сильно меняется соотношение предельных производительностей капитала и труда при небольшом изменении капиталовооруженности, то есть количества используемого капитала. Графически это отображается степенью кривизны изокванты. Количественной мерой этого свойства технологии является эластичностьзамещенияфакторовпроизводства, которая показывает, на сколько процентов должна измениться капиталовооруженность труда, чтобы при изменении соотношения производительностей факторов на 1% выпуск остался неизменным. Обозначим ; тогда эластичность замещения факторов производства

при Q = const

Вот это логарифмическое представление. Пздц)

Обозначим - предельную норму замещения -го фактора -ым фактором, а - отношение количества этих факторов, используемых в производстве. Тогда эластичность замещения будет равна:

При этом можно показать, что

Единственное, чего не смог найти – это вывод вот этой «…».

Кривизна изокванты иллюстрирует эластичность замещения факторов при выпуске заданного объема продукта и отражает то, насколько легко один фактор может быть заменен другим. В том случае, когда изокванта похожа на прямой угол, вероятность замещения одного фактора другим крайне невелика. Если же изокванта имеет вид прямой линии с наклоном вниз , то вероятность замены одного фактора другим значительна. (подробнее смотри про разные виду функций в пятом билете)

Более того, когда изокванта непрерывна, то она характеризует гибкость технологии. То есть у фирмы есть огромное количество вариантов производства.

Для отменного понимания вот этого дерьма, ознакомься с 5ым, там все збс прописано.

Особые виды производственных функций (линейная, Леонтьева, Кобба-Дугласа, CES): аналитическое, графическое и экономическое представление; экономический смысл коэффициентов; отдача от масштаба; эластичность выпуска по факторам производства; эластичность замещения факторов производства.

Совершенная взаимозаменяемость ресурсов или линейная производственная функция

Если ресурсы, используемые в процессе производства, являются абсолютно заменяемыми, то постоянна во всех точках изокванты, а карта изоквант имеет вид как на рисунке 14.2. (Примером такого производства может служить производство , допускающее как полную автоматизацию, так и ручное изготовление какого-либо продукта).

Q=a*K+b*L, где K:L=b/a –пропорция замещения одного ресурса другим(b-точка пересецния Q1 оси ОК, a- оси OL)

Постоянная отдача от масштаба, эластичность замещения ресурсов бесконечна, MRTSlk=-b/a, эластичность выпуска по труду – в, по капиталу – а.

Фиксированная структура использования ресурсов, она же функция Леонова

Если технологический процесс исключает замещение одного фактора на другой и требует использование обоих ресурсов в строго фиксированных пропорциях, производственная функция имеет вид латинской буквы, как на рисунке 14.3.

Примером подобного рода может служить работа землекопа (одна лопата и один человек). Увеличение одного из факторов без соответствующего изменения количества другого фактора нерационально, поэтому технически эффективными будут лишь угловые комбинации ресурсов (угловая точка - точка, где пересекаются соответствующие горизонтальная и вертикальная линии).

Q=min(aK;bL);Постоянная отдача от масштаба, K:L=b:a пропорция дополнения, MRTSlk=0, эластичность замещения 0, эластичность выпуска 0.

Функция Кобба-Дугласа

A-характеризует технологию.

Эластичность замещения факторов может быть любой, отдача от масштаба (1-постоянная, меньше единицы – убывающая, больше единицы возрастающая), эластичность выпуска по факторам производсвта для капитала – альфа, для труда –бета, эластичность замещения факторов

Функция CES

Функция CES (CES - англ. Constant Elastisity of Substitution) - применяемая в экономической теории функция, обладающая свойством постоянной эластичности замещения. Иногда она используется также и для моделирования функции полезности. Данная функция применяется в первую очередь для моделирования производственной функции. Некоторые другие популярные производственные функции представляют собой частные или предельные случаи данной функции.

Отдача от масштаба зависит от : больше 1, возрастающая отдача от масштаба, меньше 1 – убывающая отдача от масштаба, равно 1 – постоянная отдача от масштаба.

ДЛЯ ДАННЕОГО БИЛЕТА Я НЕ СМОГ НАЙТИ ЭЛАСТИЧНОСТЬ ВЫПУСКА ВООБЩЕ НИГДЕ НОРМАЛЬНУЮ

Понятие экономических издержек. Изокосты, их экономический смысл.

Экономические издержки - ценность других благ, которые можно было бы получить при наиболее выгодном использовании тех же ресурсов. В этом случае говорят об «альтернативных издержках».

Альтернативные издержки возникают в мире ограниченных ресурсов, и поэтому все желания людей не могут быть удовлетворены. Если бы ресурсы были безграничны, то ни одно действие не осуществлялось бы за счет другого, т. е. альтернативные издержки любого действия были бы равны нулю. Очевидно, что в реальном мире ограниченных ресурсов альтернативные издержки положительны.

Опираясь на понятие альтернативных издержек, можно сказать, что экономические издержки - это те выплаты, которые фирма обязана сделать, или те доходы, которые фирма обязана обеспечить поставщику ресурсов для того , чтобы отвлечь эти ресурсы от использования в альтернативных производствах.

Эти выплаты могут быть либо внешними, либо внутренними.
Внешние издержки представляют собой плату за ресурсы (сырье, топливо, транспортные услуги – все то, что фирма не производит сама для создания какого-либо товара) поставщикам, не принадлежащим к числу владельцев данной фирмы.

Кроме того, фирма может использовать определенные ресурсы, принадлежащие ей самой. Издержки на собственный и самостоятельно используемый ресурс представляют собой неоплачиваемые, или внутренние, издержки. С точки зрения фирмы эти внутренние издержки равны денежным платежам, которые могли бы быть получены за самостоятельно используемый ресурс при наилучшем - из возможных способов - его применении.Внутренние издержки включают также нормальнуюприбыль как минимальное вознаграждение предпринимателя, необходимое для того, чтобы он продолжал свое дело и не переключился на другое. Таким образом, экономические издержки выглядят так:

Экономические издержки = Внешние издержки + Внутренние издержки (включая нормальную прибыль)

Изокоста – прямая, показывающая все комбинации факторов производства при фиксированном объеме общих затрат.

Набор изоквант отдельной фирмы (карта изоквант) показывают технически возможные комбинации ресурсов, обеспечивающие фирме соответствующие объемы выпуска.

При выборе оптимальной комбинации ресурсов производитель должен учитывать не только доступную ему технологию, но и свои финансовые ресурсы , а также цены на соответствующие факторы производства .

Совокупность этих двух факторов определяет область доступных производителю экономических ресурсов (его бюджетное ограничение).

Бюджетное ограничение производителя может быть записано в виде неравенства:

P K *K+P L *L TC, где

P K , P L -цена капитала, цена труда;

TC – совокупные издержки фирмы на приобретение ресурсов.

Если производитель (фирма) полностью расходует свои средства на приобретение данных ресурсов , получаем следующее равенство:

P K *K+P L *L=TC

На графике изокоста определяется в осях L,K, поэтому для построения, удобно привести равенство в следующий вид:

–уравнение изокосты.

Наклон линии изокосты определяется отношением рыночных цен на труд и на капитал: (- P L /P K)

K

L

Нажав на кнопку "Скачать архив", вы скачаете нужный вам файл совершенно бесплатно.
Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.
Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку "Скачать архив"

Подобные документы

Сущность издержек производства, их классификация. Основные направления снижения издержек производства. Экономическая сущность и функции прибыли. Операционные и внереализационны расходы. Изучение взаимосвязи издержек производства и прибыли предприятия.

курсовая работа , добавлен 24.05.2014

Предмет и функции экономтеории. Товар и его свойства. Принципы предельной полезности. Теория денег К. Маркса. Понятие ликвидности, издержек и дохода фирмы. Виды и характерные черты конкуренции. Модель совокупного спроса и предложения. Налоги, их функции.

шпаргалка , добавлен 11.01.2011

Предмет экономической теории, структура и функции. Экономические законы и их классификация. Трудовая теория стоимости. Товар и его свойства. Двойственный характер труда, воплощенного в товаре. Величина стоимости товара. Закон стоимости и его функции.

шпаргалка , добавлен 22.10.2009

Проблемы издержек производства как предмет исследования ученых-экономистов. Сущность издержек производства и их виды. Роль прибыли в условиях развития предпринимательства. Сущность и функции прибыли, ее виды. Рентабельность предприятия и ее показатели.

курсовая работа , добавлен 28.11.2012

Сущность и значение экономического роста. Типы и способы измерения экономического роста. Основные свойства функции Кобба-Дугласа. Показатели и модели экономического роста. Факторы, сдерживающие экономический рост. Производная функция и ее свойства.

курсовая работа , добавлен 26.06.2012

Сущность и основные функции прибыли. Экономическая эффективность модернизации технологического оборудования и использование инновационных технологий при ремонте дорожного покрытия автомобильных дорог. Резервы повышения прибыли в строительной организации.

дипломная работа , добавлен 04.07.2013

Сущность прибыли в экономической науке: понятие, виды, формы, методы планирования. Сущность метода прямого счета, совмещенного расчета. Основные пути увеличения прибыли на предприятиях России в современных условиях. Связь между оплатой труда и прибылью.

курсовая работа , добавлен 18.12.2017

Формализующее множество всех технологически допустимых векторов чистых выпусков продукции.

Определение

Пусть в экономике имеется $N$ благ. В процессе производства из них $n$ благ расходуются. Обозначим вектор этих благ (затрат) $x$ (размерность вектора $n$ ). Другие $m=N-n$ благ выпускаются в процессе производства (размерность вектора - $m$ ). Обозначим вектор этих благ $y$ . Тогда вектор $z=(-x,y)$ (размерность - $N$ ) называется вектором чистых выпусков . Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков и составляют технологическое множество . Фактически это некоторое подмножество пространства $R^N$ .

Для читателей, испытывающих трудности с понятиями вектор, множество:

вектор - список благ, каждое благо описано своим количеством, набор чисел;

все блага, израсходованные в производстве записываются в начале вектора чистого выпуска z со знаком минус (-x), произведенные со знаком плюс (y);

все возможные для производства сочетания образуют технологическое множество (сочетаний выпуска).

Свойства

Непустота : технологическое множество не пусто. Непустота означает принципиальную возможность производства.
Допустимость бездеятельности : нулевой вектор принадлежит технологическому множеству. Это формальное свойство означает, что нулевой выпуск при нулевых затратах является допустимым.
Замкнутость : технологическое множество содержит свою границу и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистых выпусков тоже принадлежит технологическому множеству.
Свобода расходования : если данный вектор $z$ принадлежит технологическому множеству, то ему принадлежит и любой вектор $z"\leqslant z$ . Это означает, что формально тот же объем выпуска можно производить и большими затратами.
Отсутствие "рога изобилия" : из неотрицательных векторов чистого выпуска технологическому множеству принадлежит только нулевой вектор. Это означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы ненулевые затраты.
Необратимость : для любого допустимого вектора $z$ , противоположный вектор $-z$ не принадлежит технологическому множеству. То есть из выпущенной продукции невозможно произвести ресурсы в том же количестве, в котором они используются для производства этой продукции.
Аддитивность : сумма двух допустимых векторов также является допустимым вектором. То есть допускается комбинирование технологий.
Свойства, связанные с отдачей от масштаба производства:
- Невозрастающая отдача от масштаба : для любого $\lambda \in (0;1)$ $\lambda z$
- Неубывающая отдача от масштаба : для любого $\lambda >1$ если z принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству.
- Постоянная отдача от масштаба : одновременное выполнение двух предыдущих свойств, то есть для любого положительного $\lambda$ если $z$ принадлежит технологическому множеству, то $\lambda z$ также принадлежит технологическому множеству. Свойство постоянной отдачи означает, что технологическое множество является конусом.

8. Выпуклость : для любых двух допустимых векторов $z_1, z_2$ допустимыми являются также любые векторы $\alpha z_1 +(1-\alpha)z_2$ , где $0 < \alpha \leqslant 1$ . Свойство выпуклости означает возможность "смешивать" технологии. Оно, в частности, выполнено, если технологическое множество обладает свойством аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба. Более того, в этому случае технологическое множество является выпуклым конусом.

Эффективная граница технологического множества

Допустимую технологию $z$ называют эффективной , если не существует другой, отличной от неё, допустимой технологии $z"\geqslant z$ . Множество эффективных технологий образуют эффективную границу технологического множества.

Если выполнено условие свободы расходования и замкнутости технологического множества, то невозможно бесконечно увеличивать производство одного блага без уменьшения выпуска других. В этом случае для любой допустимой технологии $z$ есть эффективная технология $z" \geqslant z$ . В таком случае, вместо всего технологического множества можно использовать только его эффективную границу. Обычно эффективную границу можно задать некоторой производственной функцией.

Производственная функция

Рассмотрим однопродуктовые технологии $(-x,y)$ , где $y$ - вектор размерности $m=1$ , а $x$ - вектор затрат размерности $n$ . Рассмотрим множество $X$ , включающее в себя все возможные векторы затрат $x$ , таких, что для каждого $x$ существует $y$ , такой что векторы чистых выпусков $(-x,y)$ принадлежат к технологическому множеству.

Числовая функция $f(x)$ на $X$ называется производственной функцией , если для каждого данного вектора затрат $x$ значение $f(x)$ определяет максимальное значение допустимого выпуска $y$ (такого, что вектор чистого выпуска (-x,y) принадлежит технологическому множеству).

Любая точка эффективной границы технологического множества представима в виде $(-x,f(x))$ , а обратное верно в том случае, если $f(x)$ является возрастающей функцией (в таком случае $y=f(x)$ - уравнение эффективной границы). Если технологическое множество обладает свойством свободы расходования и допускает описание производственной функцией, то технологическое множество определяется на основе неравенства $y \leqslant f(x)$ .

Для того, чтобы технологическое множество можно было бы задавать с помощью производственной функции достаточно, чтобы для любого $x$ множество $F(x)$ допустимых выпусков при данных затратах $x$ , являлось ограниченным и замкнутым. В частности, это условие выполнено, если для технологического множества выполнены свойства замкнутости, невозрастающей отдачи от масштаба и отсутствия рога изобилия.

Если технологическое множество выпукло, то производственная функция вогнута и непрерывна на внутренности множества $X$ . Если выполнено условие свободы расходования, то $f(x)$ является неубывающей функцией (в этом случае также из вогнутости функции следует выпуклость технологического множества). Наконец, если выполнены одновременно и условие отсутствия рога изобилия и допустимость бездеятельности, то $f(0)=0$ .

Если производственная функция является дифференцируемой, то можно определить локальную эластичность масштаба следующими эквивалентными способами:

$e(x)=\frac {d f(\lambda x)}{d \lambda} \cdot \frac {\lambda}{f(x)}|_{\lambda=1}=\frac {f"(x)x}{f(x)}$

где $f"(x)$ - вектор-градиент производственной функции.

Определив таким образом эластичность масштаба можно показать, что если технологическое множество обладает свойством постоянной отдачи от масштаба, то $e(x)=1$ , если убывающей отдачи от масштаба, то $e(x) \leqslant 1$ , если возрастающей отдачи, то $e(x)\geqslant 1$ .

Задача производителя

Если задан вектор цен $p$ , то произведение $pz$ представляет собой прибыль производителя. Задача производителя сводится к поиску такого вектора $z$ , чтобы при заданном векторе цен прибыль была максимальна. Множество цен благ, при которых эта задача имеет решение, обозначим $P$ . Можно показать, что при непустом, замкнутом технологическом множестве с невозрастающей отдачей от масштаба задача производителя имеет решение на множестве цен $P$ , дающих отрицательную прибыль на так называемых рецессивных направлениях (это векторы $z$ технологического множества, для которых при любом неотрицательном $\lambda$ векторы $\lambda z$ также принадлежат технологическому множеству). В частности, если множество рецессивных направлений совпадает с $R^N_-$ , то решение существует при любых положительных ценах.

Функция прибыли $\pi(p)$ определяется как $pz(p)$ , где $z(p)$ - решение задачи производителя при данных ценах (это так называемая функция предложения, возможно многозначная). Функция прибыли является положительно однородной (первой степени), то есть $\pi(\lambda p)=\lambda \pi(p)$ и непрерывной на внутренности $P$ . Если технологическое множество строго выпукло, то функция прибыли является к тому же непрерывно дифференцируемой. Если технологическое множество замкнуто, то функция прибыли выпукла на любом выпуклом подмножестве допустимых цен $P$ .

Функция (отображение) предложения $z(p)$ является положительно однородной нулевой степени. Если технологическое множество строго выпукло, то функция предложения является однозначной на P и непрерывной на внутренности $P$ . Если функция предложения дважды дифференцируема, то матрица Якоби этой функции симметрична и неотрицательно определена.

Если технологическое множество представлено посредством производственной функции, то прибыль определяется как $pf(x)-wx$ , где $w$ - вектор цен на факторы производства, $p$ в данном случае цена выпускаемой продукции. Тогда для любого внутреннего решения (то есть принадлежащего внутренности $X$ ) задачи производителя справедливо равенство предельного продукта каждого фактора его относительной цене, то есть в векторной форме $f"(x)=w/p$ .

Если задана функция прибыли $\pi(p)$ , являющаяся дважды непрерывно дифференцируемой, выпуклой и положительно однородной (первой степени) функцией, то можно восстановить технологическое множество, как множество, содержащее при любом неотрицательном векторе цен $p$ векторы чистых выпусков $z$ , удовлетворяющих неравенству $pz\leqslant \pi(p)$ . Можно также показать, что если функция предложения является положительно однородной нулевой степени и матрица её первых производных непрерывна, симметрична и неотрицательно определена, то соответствующая функция прибыли удовлетворяет вышеуказанным требованиям (верно также и обратное утверждение).

См. также

Напишите отзыв о статье "Технологическое множество"

Литература

Отрывок, характеризующий Технологическое множество

Княгиня, улыбаясь, слушала.
– Ежели еще год Бонапарте останется на престоле Франции, – продолжал виконт начатый разговор, с видом человека не слушающего других, но в деле, лучше всех ему известном, следящего только за ходом своих мыслей, – то дела пойдут слишком далеко. Интригой, насилием, изгнаниями, казнями общество, я разумею хорошее общество, французское, навсегда будет уничтожено, и тогда…
Он пожал плечами и развел руками. Пьер хотел было сказать что то: разговор интересовал его, но Анна Павловна, караулившая его, перебила.
– Император Александр, – сказала она с грустью, сопутствовавшей всегда ее речам об императорской фамилии, – объявил, что он предоставит самим французам выбрать образ правления. И я думаю, нет сомнения, что вся нация, освободившись от узурпатора, бросится в руки законного короля, – сказала Анна Павловна, стараясь быть любезной с эмигрантом и роялистом.
– Это сомнительно, – сказал князь Андрей. – Monsieur le vicomte [Господин виконт] совершенно справедливо полагает, что дела зашли уже слишком далеко. Я думаю, что трудно будет возвратиться к старому.
– Сколько я слышал, – краснея, опять вмешался в разговор Пьер, – почти всё дворянство перешло уже на сторону Бонапарта.
– Это говорят бонапартисты, – сказал виконт, не глядя на Пьера. – Теперь трудно узнать общественное мнение Франции.
– Bonaparte l"a dit, [Это сказал Бонапарт,] – сказал князь Андрей с усмешкой.
(Видно было, что виконт ему не нравился, и что он, хотя и не смотрел на него, против него обращал свои речи.)
– «Je leur ai montre le chemin de la gloire» – сказал он после недолгого молчания, опять повторяя слова Наполеона: – «ils n"en ont pas voulu; je leur ai ouvert mes antichambres, ils se sont precipites en foule»… Je ne sais pas a quel point il a eu le droit de le dire. [Я показал им путь славы: они не хотели; я открыл им мои передние: они бросились толпой… Не знаю, до какой степени имел он право так говорить.]
– Aucun, [Никакого,] – возразил виконт. – После убийства герцога даже самые пристрастные люди перестали видеть в нем героя. Si meme ca a ete un heros pour certaines gens, – сказал виконт, обращаясь к Анне Павловне, – depuis l"assassinat du duc il y a un Marietyr de plus dans le ciel, un heros de moins sur la terre. [Если он и был героем для некоторых людей, то после убиения герцога одним мучеником стало больше на небесах и одним героем меньше на земле.]
Не успели еще Анна Павловна и другие улыбкой оценить этих слов виконта, как Пьер опять ворвался в разговор, и Анна Павловна, хотя и предчувствовавшая, что он скажет что нибудь неприличное, уже не могла остановить его.
– Казнь герцога Энгиенского, – сказал мсье Пьер, – была государственная необходимость; и я именно вижу величие души в том, что Наполеон не побоялся принять на себя одного ответственность в этом поступке.
– Dieul mon Dieu! [Боже! мой Боже!] – страшным шопотом проговорила Анна Павловна.
– Comment, M. Pierre, vous trouvez que l"assassinat est grandeur d"ame, [Как, мсье Пьер, вы видите в убийстве величие души,] – сказала маленькая княгиня, улыбаясь и придвигая к себе работу.
– Ah! Oh! – сказали разные голоса.
– Capital! [Превосходно!] – по английски сказал князь Ипполит и принялся бить себя ладонью по коленке.
Виконт только пожал плечами. Пьер торжественно посмотрел поверх очков на слушателей.
– Я потому так говорю, – продолжал он с отчаянностью, – что Бурбоны бежали от революции, предоставив народ анархии; а один Наполеон умел понять революцию, победить ее, и потому для общего блага он не мог остановиться перед жизнью одного человека.
– Не хотите ли перейти к тому столу? – сказала Анна Павловна.
Но Пьер, не отвечая, продолжал свою речь.
– Нет, – говорил он, все более и более одушевляясь, – Наполеон велик, потому что он стал выше революции, подавил ее злоупотребления, удержав всё хорошее – и равенство граждан, и свободу слова и печати – и только потому приобрел власть.
– Да, ежели бы он, взяв власть, не пользуясь ею для убийства, отдал бы ее законному королю, – сказал виконт, – тогда бы я назвал его великим человеком.
– Он бы не мог этого сделать. Народ отдал ему власть только затем, чтоб он избавил его от Бурбонов, и потому, что народ видел в нем великого человека. Революция была великое дело, – продолжал мсье Пьер, выказывая этим отчаянным и вызывающим вводным предложением свою великую молодость и желание всё полнее высказать.
– Революция и цареубийство великое дело?…После этого… да не хотите ли перейти к тому столу? – повторила Анна Павловна.
– Contrat social, [Общественный договор,] – с кроткой улыбкой сказал виконт.
– Я не говорю про цареубийство. Я говорю про идеи.
– Да, идеи грабежа, убийства и цареубийства, – опять перебил иронический голос.
– Это были крайности, разумеется, но не в них всё значение, а значение в правах человека, в эманципации от предрассудков, в равенстве граждан; и все эти идеи Наполеон удержал во всей их силе.
– Свобода и равенство, – презрительно сказал виконт, как будто решившийся, наконец, серьезно доказать этому юноше всю глупость его речей, – всё громкие слова, которые уже давно компрометировались. Кто же не любит свободы и равенства? Еще Спаситель наш проповедывал свободу и равенство. Разве после революции люди стали счастливее? Напротив. Mы хотели свободы, а Бонапарте уничтожил ее.
Князь Андрей с улыбкой посматривал то на Пьера, то на виконта, то на хозяйку. В первую минуту выходки Пьера Анна Павловна ужаснулась, несмотря на свою привычку к свету; но когда она увидела, что, несмотря на произнесенные Пьером святотатственные речи, виконт не выходил из себя, и когда она убедилась, что замять этих речей уже нельзя, она собралась с силами и, присоединившись к виконту, напала на оратора.
– Mais, mon cher m r Pierre, [Но, мой милый Пьер,] – сказала Анна Павловна, – как же вы объясняете великого человека, который мог казнить герцога, наконец, просто человека, без суда и без вины?
– Я бы спросил, – сказал виконт, – как monsieur объясняет 18 брюмера. Разве это не обман? C"est un escamotage, qui ne ressemble nullement a la maniere d"agir d"un grand homme. [Это шулерство, вовсе не похожее на образ действий великого человека.]
– А пленные в Африке, которых он убил? – сказала маленькая княгиня. – Это ужасно! – И она пожала плечами.
– C"est un roturier, vous aurez beau dire, [Это проходимец, что бы вы ни говорили,] – сказал князь Ипполит.
Мсье Пьер не знал, кому отвечать, оглянул всех и улыбнулся. Улыбка у него была не такая, какая у других людей, сливающаяся с неулыбкой. У него, напротив, когда приходила улыбка, то вдруг, мгновенно исчезало серьезное и даже несколько угрюмое лицо и являлось другое – детское, доброе, даже глуповатое и как бы просящее прощения.
Виконту, который видел его в первый раз, стало ясно, что этот якобинец совсем не так страшен, как его слова. Все замолчали.
– Как вы хотите, чтобы он всем отвечал вдруг? – сказал князь Андрей. – Притом надо в поступках государственного человека различать поступки частного лица, полководца или императора. Мне так кажется.
– Да, да, разумеется, – подхватил Пьер, обрадованный выступавшею ему подмогой.
– Нельзя не сознаться, – продолжал князь Андрей, – Наполеон как человек велик на Аркольском мосту, в госпитале в Яффе, где он чумным подает руку, но… но есть другие поступки, которые трудно оправдать.
Князь Андрей, видимо желавший смягчить неловкость речи Пьера, приподнялся, сбираясь ехать и подавая знак жене.

Вдруг князь Ипполит поднялся и, знаками рук останавливая всех и прося присесть, заговорил:
– Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anecdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Сегодня мне рассказали прелестный московский анекдот; надо вас им поподчивать. Извините, виконт, я буду рассказывать по русски, иначе пропадет вся соль анекдота.]
И князь Ипполит начал говорить по русски таким выговором, каким говорят французы, пробывшие с год в России. Все приостановились: так оживленно, настоятельно требовал князь Ипполит внимания к своей истории.
– В Moscou есть одна барыня, une dame. И она очень скупа. Ей нужно было иметь два valets de pied [лакея] за карета. И очень большой ростом. Это было ее вкусу. И она имела une femme de chambre [горничную], еще большой росту. Она сказала…
Тут князь Ипполит задумался, видимо с трудом соображая.
– Она сказала… да, она сказала: «девушка (a la femme de chambre), надень livree [ливрею] и поедем со мной, за карета, faire des visites». [делать визиты.]
Тут князь Ипполит фыркнул и захохотал гораздо прежде своих слушателей, что произвело невыгодное для рассказчика впечатление. Однако многие, и в том числе пожилая дама и Анна Павловна, улыбнулись.
– Она поехала. Незапно сделался сильный ветер. Девушка потеряла шляпа, и длинны волоса расчесались…
Тут он не мог уже более держаться и стал отрывисто смеяться и сквозь этот смех проговорил:
– И весь свет узнал…
Тем анекдот и кончился. Хотя и непонятно было, для чего он его рассказывает и для чего его надо было рассказать непременно по русски, однако Анна Павловна и другие оценили светскую любезность князя Ипполита, так приятно закончившего неприятную и нелюбезную выходку мсье Пьера. Разговор после анекдота рассыпался на мелкие, незначительные толки о будущем и прошедшем бале, спектакле, о том, когда и где кто увидится.

Способы описания технологий.

Производство - основная область деятельности фирмы. Фирмы используют производственные факторы, которые называются также вводимыми (входными) факторами производства. Например, владелец пекарни использует такие вводимые факторы производства, как труд рабочих, сырье в виде муки и сахара, а также капитал, вложенный в печи, мешалки и другое оборудование для производства такой продукции, как хлеб, пирожки и кондитерские изделия.

Мы можем подразделить производственные факторы на крупные категории - труд, материалы и капитал, каждая из которых включает более узкие группировки. Например, труд как производственный фактор через показатель трудоемкости объединяет как квалифицированный (плотников, инженеров), так и неквалифицированный труд (сельскохозяйственных рабочих), а также предпринимательские усилия руководителей фирмы. К материалам относятся сталь, пластиковые материалы, электричество, вода и любое другое изделие, которое приобретает фирма и превращает в готовый товар. К капиталу относятся здания, оборудование и товарно-материальные ценности.

Множество всех технологически доступных для данной фирмы векторов чистых выпусков называют производственным множеством и обозначают через Y .

ПРОИЗВОДСТВЕННОЕ МНОЖЕСТВО - множество допустимых технологических способов данной экономической системы (X,Y ) , где X - совокупность векторов затрат , а Y - совокупность векторов выпуска .

П. м. характеризуется следующими особенностями: оно замкнуто и выпукло (см. Множество ), векторы затрат обязательно ненулевые (нельзя что-то производить, ничего не затрачивая), компоненты П. м. - затраты и выпуски - нельзя менять местами, ибо производство - необратимый процесс. Выпуклость П. м. показывает, в частности, тот факт, что отдача от перерабатываемых ресурсов при увеличении объема переработки сокращается.

Cвойства производственных множеств

Рассмотрим экономику с l благами. Для конкретной фирмы естественно рассматривать часть из этих товаров как факторы производства и часть - как выпускаемую продукцию. Следует оговориться, что такое деление довольно условно, так как фирма обладает достаточной свободой в выборе ассортимента производимой продукции и структуры затрат. При описании технологии будем различить выпуск и затраты, представляя последние как выпуск со знаком минус. Для удобства представления технологии продукцию, которая и не затрачивается и не выпускается фирмой, будем относить к ее выпуску, причем объем производства этой продукции считаем равным 0. В принципе не исключена ситуация, в которой продукт, производимый фирмой, также потребляется ею в процессе производства. В этом случае мы будем рассматривать только чистый выпуск данного продукта, т. е. его выпуск минус затраты.

Пусть число факторов производства равно n, а число видов выпускаемой продукции равно m, так что l = m + n. Обозначим вектор затрат (по абсолютной величине) через r 2 Rn+, а объемы выпусков через y 2 Rm+

Вектор (−r, yo) будем называть вектором чистых выпусков. Совокупность всех технологически допустимых векторов чистых выпусков y = (−r, yo) составляет технологическое множество Y . Таким образом, в рассматриваемом случае любое технологическое множество - это подмножество Rn − × Rm+

Такое описание производства носит общий характер. При этом можно не придерживаться жесткого деления благ на продукты и факторы производства: одно и то же благо может при одной технологии затрачиваться, а при другой - производится.

1. Непустота. Технологическое множество Y непусто. Это свойство означает принципиальную возможность осуществления производственной деятельности.

2. Замкнутость. Технологическое множество Y замкнуто. Это свойство скорее техническое; оно означает, что технологическое множество содержит свою границу, и предел любой последовательности технологически допустимых векторов чистого выпуска также является технологически допустимым вектором чистых выпусков.

3. Свобода расходования. Это свойство можно интерпретировать как наличие возможности производить тот же самый объем выпуска, но посредством больших затрат, или меньший выпуск при тех же затратах.

4. Отсутствие «рога изобилия» (“no free lunch”). если y 2 Y и y > 0, то y = 0. Это свойство означает, что для производства продукции в положительном количестве необходимы затраты в ненулевом объеме.

< _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50 . Неубывающая отдача от масштаба: если y 2 Y и y0 = _y, где _ > 1, тогда y0 2 Y.

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

500 . Постоянная отдача от масштаба - ситуация, когда технологической множества удовлетворяет условиям 5 и 50 одновременно, т. е. если y 2 Y и y0 = _y0, тогда y0 2 Y 8_ > 0.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0). В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная отдача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при изменении объема производства.

5. Невозрастающая отдача от масштаба: если y 2 Y и y0 = _y, где 0 < _ < 1, тогда y0 2 Y. Иногда это свойство называют (не совсем точно) убывающей отдачей от масштаба. В случае двух благ, когда одно затрачивается, а другое производится, убывающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не возрастает. Если за час вы можете решить в лучшем случае 5 однотипных задач по микроэкономике, то за два часа в условиях убывающей отдачи вы не смогли бы решить более 10 таких задач.

50 . Неубывающая отдача от масштаба: если y 2 Y и y0 = _y, где _ > 1, тогда y0 2 Y. В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, возрастающая отдача означает, что (максимально возможная) средняя производительность затрачиваемого фактора не убывает.

Геометрически постоянная отдача от масштаба означает, что Y является конусом (возможно, не содержащим 0).

В случае двух товаров, когда один затрачивается, а другой производится, постоянная отдача означает, что средняя производительность затрачиваемого фактора не меняется при изменении объема производства.

6. Выпуклость: Свойство выпуклости означает возможность «смешивать» технологии в любой пропорции.

7. Необратимость

Пусть из килограмма стали можно произвести 5 подшипников. Необратимость означает, что невозможно произвести из 5-ти подшипников килограмм стали.

8. Аддитивность. если y 2 Y и y0 2 Y , то y + y0 2 Y. Свойство аддитивности означает возможность комбинировать технологии.

9. Допустимость бездеятельности:

Теорема 44:

1) Из невозрастающей отдачи от масштаба и аддитивности технологического множества следует его выпуклость.

2) Из выпуклости технологического множества и допустимости бездеятельности следует невозрастающая отдача от масштаба. (Обратное не всегда верно: при невозрастающей отдаче технология может быть невыпуклой)

3) Технологическое множество обладает свойствами аддитивности и невозрастающей отдачи от масштаба тогда и только тогда, когда оно - выпуклый конус.

Не все допустимые технологии в равной степени важны с экономической точки зрения.

Среди допустимых особо выделяются эффективные технологии. Допустимую технологию y принято называть эффективной, если не существует другой (отличной от нее) допустимой технологии y0 , такой что y0 > y. Очевидно, что такое определение эффективности неявно подразумевает, что все блага являются в определенном смысле желательными. Эффективные технологии составляют эффективную границу технологического множества. При определенных условиях оказывается возможным использовать в анализе эффективную границу вместо всего технологического множества. При этом важно, чтобы для любой допустимой технологии y нашлась эффективная технология y0 , такая что y0 > y. Для того, чтобы это условие было выполнено, требуется, чтобы технологическое множество было замкнутым, и чтобы в пределах технологического множества невозможно было увеличивать до бесконечности выпуск одногоблага, не уменьшая при этом выпуск других благ.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ СПОСОБ - общее понятие, объединяющее два: Т. с. производства (производственный способ, технология ) и Т. с. потребления; совокупность основных характеристик (ингредиентов ) процесса производства (соответственно - потребления ) того или иного продукта . В экономико-математической модели Т. с., или технология (activity), описывается системой присущих ему чисел (вектором ): напр., нормами затрат и выпуска различных ресурсов в единицу времени или в расчете на единицу продукции и т. п., в т. ч. коэффициентами материалоемкости , трудоемкости , фондоемкости , капиталоемкости .

Напр., если x = (x 1 , ..., x m ) - вектор затрат ресурсов (перечисленных под номерами i = 1, 2, ..., m ), а y = (y 1 , ..., y n ) - вектор объемов производства продуктов j= 1, 2, ..., n , то технологиями, технологическими процессами, способами производства можно назвать пары векторов (x,y ). Технологическая допустимость означает здесь возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора x вектор продукции y .

Совокупность всевозможных допустимых технологий (XY ) образует технологическое или производственное множество данной экономической системы .

ВЕКТОР - упорядоченный набор из некоторого количества действительных чисел (таково одно из многих определений - то, которое принято в экономико-математических методах ). Напр., суточный план цеха может быть записан 4-мерным вектором (5, 3, -8, 4), где 5 означает 5 тыс. деталей одного вида, 3 - 3 тыс. деталей второго вида, (-8) - расход металла в т, а последняя компонента, допустим, экономию 4 тыс. кВт. ч электроэнергии. Как видно, число компонент (координат ) В. произвольно (в данном случае план цеха может состоять не из четырех, а из любого другого числа показателей); их недопустимо менять местами; они могут быть как положительными, так и отрицательными.

Векторы можно умножать на действительное число (напр., если увеличить план в 1,2 раза по всем показателям, то получится новый В. с тем же числом компонент). Векторы, содержащие равное число соответственно одноименных аддитивных компонент, можно складывать и вычитать.

Буквенное обозначение В. принято выделять жирным шрифтом (хотя не всегда это соблюдается).

Суммой векторов x = (x 1 ,..., x n) и y = (y 1 , ..., y n ) является также В. (x + y ) = (x 1 + y 1 , ..., x n +y n ).

Скалярным произведением векторов x и y называется число, равное сумме произведений соответствующих компонент этих В.:

Векторы x и y называются ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю.

Равенство В. - компонентное, т. е. два В. равны, если равны их соответствующие компоненты.

Вектор 0 - (0, ..., 0) нулевой ;

n -мерный В. - положительный (x > 0), если все его компоненты x i больше нуля, неотрицательный (x ≥ 0), если все его компоненты x i больше 0 или равны нулю, т. е. x i ≤ 0; и полуположительный , если при этом хотя бы одна компонента x i ≥ 0 (обозначение x ≥ 0); если В. имеют равное количество компонент, возможно их упорядочение (полное или частичное), т. е. введение на множестве векторов бинарного отношения “> ”: x > y , x ≥y , x ≥ y в зависимости от того, положительна, полуположительна или неотрицательна разность x – y.

ЗАКОН УБЫВАЮЩЕЙ ОТДАЧИ -утверждение о том, что если расширяется использование какого-либо одного фактора производства и сохраняются при этом затраты всех остальных факторов (они называются фиксированными ), то физический объем предельного продукта , производимого с помощью указанного фактора, станет (по крайней мере, с определенного этапа) убывать.

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ЛУЧ - геометрическое место точек, отображающих пропорциональное увеличение количества ресурсов при использовании определенного технологического способа с возрастающей интенсивностью .

Напр., если сочетание 3 ед. капитала (фондов) и 2 ед. труда (т. е. комбинация 3K + 2L ) дает 10 ед. некоторого продукта, то сочетания 6K + 4L , 9K + 6L , дающие соответственно 20 и 30 ед. и т. д., будут лежать на графике на прямой, называемой П. л. или технологическим лучом. При ином сочетании факторов П. л. будет иметь другой наклон. В силу неделимости многих факторов производства количество технологических способов и соответственно П. л. принимается конечным.

Напр., если в угольной лаве работает бригада из трех шахтеров и к ним добавить еще одного, выработка возрастет на четверть, а если добавить пятого, шестого, седьмого, прирост выработки станет уменьшаться, а затем и прекратится совсем: шахтеры в тесноте будут просто мешать друг другу.

Ключевое понятие здесь - предельная производительность труда (более широко - предельная производительность фактора производства δ Y /δ x ). Напр., если рассматриваются два фактора, то при росте затрат одного из них (первого или второго) его предельная производительность падает.

Закон применим на краткосрочном отрезке времени и для данной технологии (ее пересмотр меняет ситуацию).