Не так давно я прочитал замечательную книгу Дугласа Хаббарда . В кратком конспекте книги я обещал, что одному из разделов – Оценка риска: введение в моделирование методом Монте-Карло – я посвящу отдельную заметку. Да всё как-то не складывалось. И вот недавно я стал более внимательно изучать методы управления валютными рисками. В материалах, посвященных этой тематике, часто упоминается моделирование методом Монте-Карло. Так что обещанный материал перед вами.
Приведу простой пример моделирования методом Монте-Карло для тех, кто никогда не работал с ним ранее, но имеет определенное представление об использовании электронных таблиц Excel.
Предположим, что вы хотите арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Поэтому, даже не достигнув , вы всё равно не сможете сразу вернуть станок. Вы собираетесь подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаете, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.
Скачать заметку в формате , примеры в формате
Ваши калиброванные специалисты по оценке дали следующие интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства:
Годовая экономия составит: (MS + LS + RMS) х PL
Конечно, этот пример слишком прост, чтобы быть реалистичным. Объем производства каждый год меняется, какие-то затраты снизятся, когда рабочие окончательно освоят новый станок, и т.д. Но мы в этом примере намеренно пожертвовали реализмом ради простоты.
Если мы возьмем медиану (среднее) каждого из интервалов значений, то получим годовую экономию: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)
Похоже, что мы не только добились безубыточности, но и получили кое-какую прибыль, но не забывайте – существуют неопределенности. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Давайте, прежде всего, определим, что такое риск в данном контексте. Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них – с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск – представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть что наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. – это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?
Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.
Моделирование методом Монте-Карло – превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых для безубыточности 400 000 дол.
Вы легко сможете осуществить моделирование методом Монте-Карло на персональном компьютере с помощью программы Excel, но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90%-ный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90%-ного доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это хорошо знакомая всем колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).
Вот как выглядит нормальное распределение:
Рис.1. Нормальное распределение. По оси абсцисс число сигм.
Особенности:
- значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;
- распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);
- «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.
Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная), где
Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.
Говоря о нормальном распределении, необходимо упомянуть о таком связанном с ним понятии, как стандартное отклонение. Очевидно, не все обладают интуитивным пониманием, что это такое, но поскольку стандартное отклонение можно заменить числом, рассчитанным по 90%-ному доверительному интервалу (смысл которого интуитивно понимают многие), я не буду здесь подробно на нем останавливаться. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование.
В нашем случае следует создать в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Начнем, например, с MS – экономии на материально-техническом обслуживании. Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл), где
Вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
Среднее – среднее арифметическое распределения;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.
В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29.
Для параметра MS формула имеет вид: =НОРМОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29), где
СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;
15 – среднее арифметическое диапазона MS;
(20-10)/3,29 = 3,04 – стандартное отклонение; напомню, что смысл стандартного отклонения в следующем: в интервал 3,29*Стандарт_откл, расположенный симметрично относительного среднего, попадает 90% всех значений случайной величины (в нашем случае MS)
Распределение величины экономии на материально-техническом обслуживании для 100 случайных нормально распределенных значений:
Рис. 2. Вероятность распределения MS по диапазонам значений; о том, как построить такое распределение с помощью сводной таблицы см.
Поскольку мы использовали «лишь» 100 случайных значений, распределение получилось не таким уж и симметричным. Тем не менее, около 90% значений попали в диапазон экономии на MS от 10 до 20 долл. (если быть точным, то 91%).
Построим таблицу на основе доверительных интервалов параметров MS, LS, RMS и PL (рис. 3). Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 долл. Столбец «Достигается ли безубыточность?» вам на самом деле не нужен. Я включил его просто для информативности. Создадим в Excel 10 000 строк-сценариев.
Рис. 3. Расчет сценариев методом Монте-Карло в Excel
Чтобы оценить полученные результаты, можно использовать, например, сводную таблицу, которая позволяет подсчитать число сценариев в каждом 100-тысячном диапазоне. Затем вы строите график, отображающий результаты расчета (рис. 4). Этот график показывает, какая доля из 10 000 сценариев будут иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, около 3% сценариев дадут годовую экономию более 1М дол.
Рис. 4. Распределение общей экономии по диапазонам значений. По оси абсцисс отложены 100-тысячные диапазоны размера экономии, а по оси ординат доля сценариев, приходящихся на указанный диапазон
Из всех полученных значений годовой экономии примерно 15% будут меньше 400К дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 15%. Данное число и представляет содержательную оценку риска. Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т.д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100К дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Вот что подразумевается под анализом риска – мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба. Если вы действительно измеряете риск, то должны делать именно это.
В некоторых ситуациях можно пойти более коротким путем. Если все распределения значений, с которыми мы работаем, будут нормальными и нам надо просто сложить интервалы этих значений (например, интервалы затрат и выгод) или вычесть их друг из друга, то можно обойтись и без моделирования методом Монте-Карло. Когда необходимо суммировать три вида экономии из нашего примера, следует провести простой расчет. Чтобы получить искомый интервал, используйте шесть шагов, перечисленных ниже:
1) вычтите среднее значение каждого интервала значений из его верхней границы; для экономии на материально-техническом обслуживании 20 – 15 = 5 (дол.), для экономии на трудозатратах – 5 дол. и для экономии на сырье и материалах – 3 дол.;
2) возведите в квадрат результаты первого шага 5 2 = 25 (дол.) и т.д.;
3) суммируйте результаты второго шага 25 + 25 + 9 = 59 (дол.);
4) извлеките квадратный корень из полученной суммы: получится 7,7 дол.;
5) сложите все средние значения: 15 + 3 + 6 = 24 (дол.);
6) прибавьте к сумме средних значений результат шага 4 и получите верхнюю границу диапазона: 24 + 7,7 = 31,7 дол.; вычтите из суммы средних значений результат шага 4 и получите нижнюю границу диапазона 24 – 7,7 = 16,3 дол.
Таким образом, 90%-ный доверительный интервал для суммы трех 90%-ных доверительных интервалов по каждому виду экономии составляет 16,3–31,7 дол.
Мы использовали следующее свойство: размах суммарного интервала равен квадратному корню из суммы квадратов размахов отдельных интервалов .
Иногда нечто похожее делают, суммируя все «оптимистические» значения верхней границы и «пессимистические» значения нижней границы интервала. В данном случае мы получили бы на основе наших трех 90%-ных доверительных интервалов суммарный интервал 11–37 дол. Этот интервал несколько шире, чем 16,3–31,7 дол. Когда такие расчеты выполняются при обосновании проекта с десятками переменных, расширение интервала становится чрезмерным, чтобы его игнорировать. Брать самые «оптимистические» значения для верхней границы и «пессимистические» для нижней – все равно что думать: бросив несколько игральных костей, мы во всех случаях получим только «1» или только «6». На самом же деле выпадет некое сочетание низких и высоких значений. Чрезмерное расширение интервала – распространенная ошибка, которая, несомненно, часто приводит к принятию необоснованных решений. В то же время описанный мной простой метод прекрасно работает, когда у нас есть несколько 90%-ных доверительных интервалов, которые необходимо суммировать.
Однако наша цель не только суммировать интервалы, но и умножить их на объем производства, значения которого также даны в виде диапазона. Простой метод суммирования годится только для вычитания или сложения интервалов значений.
Моделирование методом Монте-Карло требуется и тогда, когда не все распределения являются нормальными. Хотя другие типы распределений не входят в предмет данной книги, упомянем о двух из них - равномерном и бинарном (рис. 5, 6).
Рис. 5. Равномерное распределение (не идеальное, а построенное с помощью функции СЛЧИС в Excel)
Особенности:
- вероятность всех значений одинакова;
- распределение симметрично, без перекосов; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами интервала;
- значения за пределами интервала невозможны.
Для построения данного распределения в Excel была использована формула: СЛЧИС()*(UB – LB) + LB, где UB – верхняя граница; LB – нижняя граница; с последующим разбиением всех значений на диапазоны с помощью сводной таблицы.
Рис. 6. Бинарное распределение (распределение Бернулли)
Особенности:
- возможны только два значения;
- существует единственная вероятность одного значения (в данном случае 60%); вероятность другого значения равна единице минус вероятность первого значения
Для построения случайного распределения данного вида в Excel использовалась функция: =ЕСЛИ(СЛЧИС()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.
Метод впервые использовал математик Станислав Улам (см. ).
Дуглас Хаббард далее перечисляет несколько программ, предназначенных для моделирования методом Монте-Карло. Среди них и Crystal Ball компании Decisioneering, Inc, Денвер, штат Колорадо. Книга на английском языке была издана в 2007 г. Сейчас же эта программа принадлежит уже Oracle . Демо-версия программы доступна для скачивания с сайта компании. О ее возможностях мы и погорим .
См. главу 5 упоминавшейся книги Дугласа Хаббарда
Здесь Дуглас Хаббард под размахом понимает разность между верхней границей 90%-ного доверительного интервала и средним значением этого интервала (или между средним значением и нижней границей, так как распределение симметрично). Обычно под размахом понимают разность между верхней и нижней границами.
Вернуться в Оглавление
ПРИМЕНЕНИЕ ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА MS EXCEL ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Для моделирования различных физических, экономических и других процессов широко распространены методы, называемые методами Монте-Карло. В их основе лежит метод статистических испытаний. Суть его состоит в том, что результат испытания ставится в зависимость от значения некоторой случайной величины, распределенной по заданному закону. Поэтому результат каждого отдельного испытания носит случайный характер.
Особенность метода состоит в том, что он гарантирует высокое качество статистических оценок только при весьма большом числе испытаний, которое невозможно выполнить без помощи компьютера.
Табличные процессоры не очень удобны для проведения расчетов Монте-Карло, однако с их использованием можно достаточно просто проиллюстрировать основные особенности этого метода.
Применение метода Монте-Карло для вычисления площади круга
Рассмотрим применение этого метода для вычисления площади круга заданного радиуса. Данная задача хорошо иллюстрирует возможности метода. Пусть круг имеет радиус R = 1 (рис. 1). Уравнение соответствующей окружности имеет вид: (x – 1)+ (y – 1)= 1. (1)
Для решения задачи методом Монте-Карло впишем круг в квадрат. Вершины квадрата будут иметь координаты (0,0), (2,0), (0,2), (2,2). Любая точка внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам 0 < x < 2 и 0 < y < 2 . При случайном заполнении квадрата точками, координаты которых распределены равномерно в этих интервалах, часть точек будет попадать внутрь круга. Если выборка состоит из n наблюдений и m точек попали внутрь круга или на окружность, то оценку площади круга S можно получить из
соотношения
S = S m / n (2)
где S – площадь квадрата, в который вписан круг.
В Excel с помощью функции СЛЧИС() можно получать равномерно распределенные случайные числа в диапазоне от 0 до 1. Для получения значений x и y в нужном диапазоне следует вводить формулы =2*СЛЧИС().
Число точек, попавших внутрь круга или на окружность, можно подсчитать, использовать функцию ЕСЛИ. Если координаты x и y таковы, что
(x – 1) + (y – 1) ≤ 1 , тогда функция будет возвращать 1, иначе 0. Тогда число m в формуле (2) для площади круга определится как сумма всех значений, возвращаемых функцией ЕСЛИ, а число n равно числу испытаний, которое можно подсчитать с помощью функции СЧЕТ. Только при большом числе испытаний можно получить близкое к точному значение равное π /4 =0, 7854.
Поэтому нужными формулами необходимо заполнить сразу большое число строк, например 500. Так будет выглядеть электронная таблица в режиме отображения формул:
| А | В | С | D | |
| Х | У | =СУММ(С3:С502) | =C1/C2 | |
| =СЧЁТ(С3:С502) | ||||
| =2*СЛЧИС() | =2*СЛЧИС() | =ЕСЛИ(А3^2+B3^2<=1;1;0) | ||
| … | … | … | … | |
| =2*СЛЧИС() | =2*СЛЧИС() | =ЕСЛИ(А502^2+В502^2<=1;1;0) |
В ячейке D1 будет находиться результат – площадь фигуры.
Вычисляя отношение m/n при нарастающем числе испытаний, можно сделать выводы, справедливые для любого статистического эксперимента независимо от природы и типа моделируемой системы:
С увеличением продолжительности наблюдения отклонение измеряемой
величины от ее точного значения уменьшается;
Существует предел, за которым увеличение продолжительности модели уже
не дает существенного повышения точности результата.
ЗАДАНИЕ
В соответствии с вариантом, методом Монте – Карло определить площадь фигур (см. рис. 1), и сравнить полученный результат с результатом, вычисленным по формуле.
| № варианта | |||||
| Фигура | Левая часть круга | Правая часть круга | Нижняя часть круга | Верхняя часть круга | Левая верхняя часть |
| № варианта | |||||
| Фигура | Левая верхняя часть круга | Правая верхняя часть круга | Правая нижняя часть круга | Левый верхний квадрант квадрата | Левый нижний квадрант квадрата |
| № варианта | |||||
| Фигура | Правый верхний квадрант квадрата | Правый нижний квадрант квадрата | Левый верхний треугольник | Правый верхний треугольник | Левый нижний треугольник |
| № варианта | |||||
| Фигура | Правый нижний треугольник | Верхняя половина квадрата | Нижняя половина квадрата | Левая половина квадрата | Правая половина квадрата |
Применительно к управлению Проектами, использование метода Монте – Карло позволяет нам оценить риск невыполнения проекта в срок или риск не уложиться в бюджет Проекта.
Рассмотрим сетевой график из лабораторной работы № и возьмем работы, формирующие критический путь.
| Работа | t о (i,j) | t нв (i,j) | t п (i, j): | t̄(i,j) |
| 0,1 | ||||
| 1,4 | ||||
| 4,5 | ||||
| 5,6 |
Длина критического пути равна 10 дням. Однако, учитывая, что каждая работа имеет оптимистическую и пессимистическую оценки длительности, встает вопрос, а какова вероятность выполнения Проекта за 10 дней или, например, за 12 дней?
Моделирование методом Монте-Карло – это способ решения подобных задач. Необходимо случайным образом выбрать в указанных интервалах (от t о (i,j) до t п (i, j)) длительностей работ значения, и рассчитать длительность Проекта. Одни результаты превысят 10 дней (или 12 дней), а другие окажутся меньше. Процент реализаций, не превышающих 10 дней (12 дней), и будет искомой вероятностью.
Для моделирования надо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. Мы будем использовать кривую нормального (гауссова) распределения. Это колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 1).
Вот как выглядит нормальное распределение:
Рис.1. Нормальное распределение
Особенности:
Значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;
Распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-ного доверительного интервала (CI);
«хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-ного доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.
Для построения нормального распределения в Excel можно воспользоваться функцией =НОРМРАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная),
где Х – значение, для которого строится нормальное распределение;
Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;
Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае = 1;
Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.
С нормальным распределением связано такое понятие, как стандартное отклонение. Рисунок 1 показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения.
В нашем примере создадим в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений (т.е. для каждой работы). Начнем с первой работы.
Воспользуемся формулой Excel: =НОРМОБР(вероятность;среднее;стандартное_откл),
где вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;
среднее – среднее арифметическое распределения;
стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.
В нашем случае:
Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-ного CI + Нижняя граница 90%-ного СI)/2 = (3+2)/2;
Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-ного CI – Нижняя граница 90%-ного СI)/3,29 = (3-2)/3,29.
Таким образом, формула имеет вид:
НОРМОБР(СЛЧИС();(3+2)/2;(3-2)/3,29),
где СЛЧИС – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1;
(3+2)/2 – среднее арифметическое диапазона MS;
(3-2)/3,29 – стандартное отклонение.
На рис. 2 представлен вариант исходных данных в Excel для данной задачи.
Рис. 2. Исходные данные для решения задачи
На рис. 3 представлена та же таблица в виде формул.
Рис.3. Таблица Excel с формулами
Предполагая, что количество экспериментов равно 100, заполним формулами 100 строчек – с 3 по 102.
Учитывая, что суммарная длина пути лежит в диапазоне от 7 до 14, а нам надо определить вероятность события, что мы выполним Проект за 10 (или 12) дней, разобьем весь диапазон на следующие отрезки: 7 и менее дней, от 7 до 10 дней, от 10 до 12 дней, от 12 до 14 дней, 14 и более дней. Формулы для подсчета попадания испытания в соответствующий интервал занесем в столбцы H,I,J,K,L.
Результаты представлены на рис. 4, а формулы для подсчета результатов и диаграмма, иллюстрирующая их, представлены на рис. 5.
Рис. 4. Результаты расчетов
Рис. 5. Формулы для подсчета результатов и диаграмма
Итак, по результатам работы можно сделать вывод, что Проект с вероятностью 36% мы закончим за 10 дней и с вероятностью 89% (36%+53%) за 12 дней.
ЗАДАНИЕ
Рассчитать вероятность завершения Проекта (в соответствии с выбранным вариантом) за время t кр и за время, большее, чем t кр на 10%. (округлить в большую сторону до целого числа дней) . В качестве исходных данных, взять данные из лабораторной работы № .
ЗАКАЗАТЬ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО
Один из самых прикладных методов статистической оценки риска. К нему нужно отнестись с большим участием. В данной статье будет рассмотрен пример имитационного моделирования с использованием данного подхода.
Метод Монте-Карло получил своё название за то, что предназначен осуществить оценку предельно случайных событий. А что, как ни казино, которых в Монте-Карло много, связано со случайностью больше всего?
В процессе работы нам понадобится «генератор случайных чисел» из MS Excel и функция «Описательная статистика».
Оценка риска инвестиционного проекта
Есть следующие условия задачи:
Таким образом, нам нужно оценить три периода – за три года. Запишем все исходные данные в таблицу. Значения, полученные в ячейках D5-X5, имеют формулу для вычисления или есть в условиях задачи. Вы, как экономист, с формулами должны быть знакомы. Обратите внимание на заголовок, выделенный красным цветом на рисунке ниже – «Имитационная модель NCF1». Это говорит о том, что мы имитируем первый год, а всего их будет три на разных листах в MS Excel. На новый лист переключиться внизу окна программы.
Теперь в MS Excel переключаемся на «Данные» и выбираем пункт «Анализ данных».
В появившемся окне выбираем «Генерация случайных чисел». Выполняем генерацию с параметрами, продемонстрированными на картинке ниже, для пункта «Кол-во пользователей».
Параметры будут отталкиваться от среднего значения 250, оно есть в ожидаемых значениях в нашей таблице. Нужно выполнить 1000 генераций. Если вы знакомы со статистикой, то понимаете, что большее количество испытаний даёт более точную оценку. Используя метод Монте-Карло, можно имитировать и 10 000 значений для большей точности.
После мы имитируем все стохастические, то есть, меняющиеся значения по аналогии, как показано выше. Копируем формулы переменных или констант из ячеек D7-X7 под «Результаты имитации» с учетом имитированных значений. Получаем следующий результат.
Как видим, платежи по налогам за имущество, например, являются постоянным значением на весь год, поэтому это значение везде одинаковое, а другие меняются, потому что рассчитываются по формулам, и в эти формулы входят меняющиеся значение, имитированные нами. Не забывайте, что значений в каждом столбце должно быть по тысяче.
Теперь делаем то же самое, но для имитационной модели NCF2.
Это второй год работы проекта. Как видим, под «СКО» процентные соотношения увеличились. Об этом говорится в условии задачи, что налоги и зарплата должны расти каждый год.
Повторяем это действие в третий раз, увеличивая налоги и зарплаты, как говорит условие.
Наибольшую важность в оценке инвестиционного проекта имеет параметр NCF – чистый денежный поток. Копируем все значения NCF на четвертый лист с каждой из трёх предыдущих страниц.
Формула для расчета NPV есть вверху картинки. Используем её. Теперь точно так же заходим в «Данные», жмём на «Анализ данных» и выбираем там «Описательная статистика». Вот, что в появившемся окне вам нужно указать.
Во входном интервале выбирается 1000 полученных значений NPV. Выходной интервал можете выбрать произвольно. На выходе у вас будет таблица со статистическими данными.
Вы, как экономист, должны понимать, о чем говорит каждое значение, если нет, то нужно прочитать отдельную статью или главу учебника. Наша статья о том, метод Монте-Карло применяется с использованием функций MS Excel.
Заключение
Генерация случайных чисел – наше всё. Именно в оценке того, к чему может привести случайность, заключается статистический метод Монте-Карло. Это работает не только в экономике, но и везде, где есть случайность. Можете посмотреть, как это делается, применительно к зоологии в видео ниже.
Любая инвестиция нуждается в тщательных расчетах. Иначе инвестор рискует потерять вложенные средства.
На первый взгляд, бизнес прибыльный и привлекательный для инвестирования. Но это только первое впечатление. Необходим скрупулезный анализ инвестиционного проекта. И сделать это можно самостоятельно с помощью Excel, без привлечения дорогостоящих специалистов и экспертов по управлению инвестиционными портфелями.
Расчет инвестиционного проекта в Excel
Инвестор вкладывает деньги в готовое предприятие. Тогда ему необходимо оценить эффективность работы (доходность, надежность). Либо в новое дело – все расчеты проводятся на основе данных, полученных в ходе изучения рынка (инфраструктуры, доходов населения, уровня инфляции и т.д.).
Рассмотрим создание бизнеса с нуля. Рассчитаем прибыльность предприятия с помощью формул Excel. Для примера будем брать условные товары и цифры. Важно понять принцип, а подставить можно любые данные.
Итак, у нас есть идея открыть небольшой магазин. Определимся с затратами. Они бывают
- постоянными (нельзя рассчитать на единицу товара);
- переменными (можно рассчитать на единицу товара).
Первоначальные вложения – 300 000 рублей. Деньги расходуются на оформление предпринимательства, оборудование помещения, закупку первой партии товара и т.д.
Составляем таблицу с постоянными затратами:
* Статьи расходов индивидуальны. Но принцип составления - понятен.
По такому же принципу составляем отдельно таблицу с переменными затратами:
Для нахождения цены продажи использовали формулу: =B4*(1+C4/100).
Следующий этап – прогнозируем объем продаж, выручку и прибыль. Это самый ответственный этап при составлении инвестиционного проекта.
Объем продаж условный. В реальной жизни эти цифры – результат анализа доходов населения, востребованности товаров, уровня инфляции, сезона, места нахождения торговой точки и т.д.
Для подсчета выручки использовалась формула: =СУММПРОИЗВ(B3:B6;Лист2!$D$4:$D$7). Где первый массив – объемы продаж; второй массив – цены реализации.
Выручка минус переменные затраты: =B7-СУММПРОИЗВ(B3:B6;Лист2!$B$4:$B$7).
Прибыль до уплаты налогов: =B8-Лист1!$B$14 (выручка без переменных и постоянных затрат).
Налоги ЕНВД: =Лист1!A10*1800*0,15*3 (1800 – базовая доходность по виду деятельности, 3 – количество месяцев, С12 – площадь помещения).
Чистая прибыль: прибыль – налоги.
Оценка инвестиционного проекта в Excel
Рассчитывают 4 основных показателя:
- чистый приведенный эффект (ЧПЭ, NPV);
- индекс рентабельности инвестиций (ИРИ, PI);
- внутреннюю норму доходности (ВНД, IRR);
- дисконтированный срок окупаемости (ДСО, DPP).
Для примера возьмем следующий вариант инвестиций:
Сначала дисконтируем каждый положительный элемент денежного потока.
Создадим новый столбец. Введем формулу вида: = положительный элемент денежного потока / (1 + ставка дисконтирования)^ степень, равная периоду.
Теперь рассчитаем чистый приведенный эффект:
Найдем индекс рентабельности инвестиций. Для этого нужно разделить чистую приведенную стоимость (ЧПС) на объем инвестированных средств (со знаком «+»):
Результат – 1,90.
Посчитаем IRR инвестиционного проекта в Excel. Напомним формулу:
ВНД = ΣДП t / (1 + ВНР) t = И.
ДП t – положительные элементы денежного потока, которые нужно продисконтировать по такой ставке, чтобы чистый приведенный эффект равнялся нулю. Внутренняя норма доходности – такая ставка дисконтирования, при которой выпадает равенство вида:
ΣДП t / (1 + ВНР) t – И = 0,
Воспользуемся инструментом «Анализ «Что-Если»»:
Ставка дисконтирования равняется 0,41. Следовательно, внутренняя норма доходности составила 41%.
Моделирование рисков инвестиционных проектов в Excel
Используем метод имитационного моделирования Монте-Карло. Задача – воспроизвести развитие бизнеса на основе результатов анализа известных элементов и взаимосвязей между ними.
Продемонстрируем моделирование рисков на простейшем примере. Составим условный шаблон с данными:
Ячейки, которые содержат формулы ниже подписаны своими значениями соответственно.
Прогнозируемые показатели – цена услуги и количество пользователей. Под этими данными делаем запись «Результаты имитации». На вкладке «Данные» нажимаем «Анализ данных» (если там нет инструмента придется подключить настройку). В открывшемся окне выбираем «Генерация случайных чисел».
Заполняем параметры следующим образом:
Нам нужно смоделировать ситуацию на основе распределений разного типа.
Для генерации количества пользователей воспользуемся функцией СЛУЧМЕЖДУ. Нижняя граница (при самом плохом варианте событий) – 1 пользователь. Верхняя граница (при самом хорошем варианте развития бизнеса) – 50 покупателей услуги.
Скопируем полученные значения и формулы на весь диапазон. Для переменных затрат тоже сделаем генерацию случайных чисел. Получим эмпирическое распределение показателей эффективности проекта.
Чтобы оценить риски, нужно сделать экономико-статистический анализ. Снова воспользуемся инструментом «Анализ данных». Выбираем «Описательная статистика».
Программа выдает результат (по столбцу «Коэффициент эффективности»):
Можно делать выводы и принимать окончательное решение.
Цели:
образовательные: изучение численного метода Монте–Карло.
развивающие:
- научить анализировать при нахождении общего, частного в понятиях информатики и ЭТ;
- научить рассуждать;
- составлять алгоритм задач;
- уметь составлять формулы.
воспитательные: воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения
Ход урока
I. Оргмомент.
Цель нашего урока – это знакомство с функцией случайного числа и применением метода Монте–Карло в электронных таблицах.
II. Усвоение новых знаний.
В математике для решения задач часто требуются математические модели. Одна из таких задач – вычисление площадей. Конечно для простейших фигур (прямоугольников, многоугольников, кругов) вычисление площади не составляет труда: надо в известные формулы подставить исходные данные. А как быть если фигура имеет сложные формы? Итак, задача: Дана фигура сложной формы. Вычислить её площадь.
Можно предложить разные модели для этой задачи. Например, в 6-м классе вас учили использовать палетку: на фигуру накладывается клетчатая прозрачная бумага или плёнка (палетка), и подсчитывается количество квадратиков, попавших в фигуру. В этой модели предполагается, что чем меньше клетки, тем точнее будет результат, независимо от того, каким образом наложить палетку на фигуру.
Можно придумать “физическую” модель, скопировать фигуру на картон, аккуратно вырезать её, взвесить и поделить на вес единичного квадрата из этого же картона.
В 11-м классе вы познакомитесь ещё с одним способом нахождения площадей фигур: с помощью интегралов.
Однако все эти модели трудно поддаются расчётам на ЭВМ. Мы попробуем построить математическую модель, которая позволит эффективно применять ЭВМ для решения задач на нахождение площадей, объемов и тому подобное.
Поместим данную фигуру в квадрат. Будем наугад (как говорят математики, случайным образом) бросать точки в этот квадрат. Естественно, что чем больше площадь фигуры, тем чаще в неё будут попадать точки. Представьте себе квадратный дворик и в нем детскую круглую площадку. Каждому ясно, что во время снегопада количество снежинок, попавших на детскую площадку, пропорционально её площади. Таким образом, можно сделать допущение: при большом числе точек, наугад выбранных внутри квадрата, доля точек, содержащихся в данной фигуре, приближенно равна отношению площади квадрата.
Такой метод приближенного нахождения площадей фигур носит название метода Монте–Карло (по названию города, где расположена знаменитая рулетка, которую можно рассматривать как “генератор” случайных чисел).
Только случайность поможет нам найти площадь фигуры методом Монте–Карло.
В Exсel имеется возможность проводить моделирование с использованием случайных чисел.
Функция СЛЧИС() (без аргументов) генерирует случайное число в диапазоне от 0 до 1. Совокупность этих чисел равномерно распределена на отрезке . При нажатии функциональной клавиши F9 (пересчет) в ячейках, содержащих формулу с функцией СЛЧИС , генерируется новое случайное число.
Показываю на ЭВМ (увеличив размер шрифта).
Вводим в ячейку формулу =СЛЧИС() и нажимаю F9 . В ячейках изменяется выводимое число.
Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон расширился от 0 до 10?
Ответ: Нужно умножить на 10, то есть =СЛЧИС()*10 .
Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон расширился от 2 до 3?
Ответ: Нужно сложить с числом 2, то есть =СЛЧИС()+2 .
Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон лежал на промежутке ?
Ответ: =(10–5)*СЛЧИС()+5 .
Вопрос: Как изменить формулу, чтобы диапазон лежал на промежутке ?
Ответ: Нужно записать формулу следующего вида =(b–a)*СЛЧИС()+a .
III. Проверка понимания материала. (Раздаю тесты.)
Тест на функцию генератор случайных чисел.
Вариант 1
Вопрос 1.
- =СРЗНАЧ(A1: A5) .
- =СЧЕТ(А1: А4) .
- =ЕСЛИ(В1>В2; 1; 0) .
- =(В – А)*СЛЧИС()+А .
Вопрос 2. Дана формула = СЛЧИС()* 1.4+3.2 .
- [ 0; 3,2 ].
- [ 1,4; 3,2 ].
- [ 3,2; 4,6 ].
- [ 0; 4,6 ].
Вопрос 3. Дана формула = СЛЧИС()* 50 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 1 ].
- [ 0; 50 ].
- [ 1; 50 ].
- (0; 50).
Вопрос 4. Дана формула = (100 – 20)* СЛЧИС()+20 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 20 ].
- [ 0; 100 ].
- [ 20; 100 ].
- [ 80; 100 ].
Вопрос 5.
Вопрос 6. Дана формула = СЛЧИС()+12 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 12 ].
- [ 1; 12 ].
- [ 11; 13 ].
- [ 12; 13 ].
Вариант 2
Вопрос 1. Дана формула = СЛЧИС()* 30 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 1 ].
- [ 0; 30 ].
- [ 1; 30 ].
- (0; 30) .
Вопрос 2. Дана формула = СЛЧИС()* 3.2+1.4 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 1,4 ].
- [ 1,4; 3,2 ].
- [ 3,2; 4,6 ].
- [ 1,4; 4,6 ].
Вопрос 3. Выберите из предложенных выражений формулу, определяющую числа случайным образом:
- =СРЗНАЧ(B1: B5) .
- =ЕСЛИ(В1>В2; 1; 0) .
- =СЛЧИС()+А .
- =СЧЕТ(А1: А4) .
Вопрос 4. Дана формула = (50 – 10)* СЛЧИС()+10 .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 10 ].
- [ 0; 50 ].
- [ 10; 40 ].
- [ 10; 50 ].
Вопрос 5. Дана формула = 21+ СЛЧИС() .
В каком диапазоне будут получены числа.
- [ 0; 21 ].
- [ 1; 21 ].
- [ 21; 22 ].
- [ 21; 23 ].
Вопрос 6. Какую функциональную клавишу необходимо использовать для изменения выводимых случайных чисел.
Ответы.
Вариант 1 . 1.4, 2.3, 3.2, 4.3, 5.4, 6.4.
Вариант 2. 1.2, 2.4, 3.3, 4.4, 5.3, 6.3.
IV. Подготовка к практической работе.
Давайте вычислим число p методом Монте–Карло. Для этого вспомним формулу площади круга. Назовите её. Ответ: S = R 2 Посмотрите на рис. 1.
Пусть окружность вписана в квадрат со стороной а = 2. Скажите, пожалуйста, чему равен радиус окружности? (Ответ: 1). Тогда площадь круга чему будет равна? (Ответ: S = ).
Рассмотрим единичный квадрат, вершины которого имеют координаты (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). В квадрат будем бросать точку со случайными координатами. Этот квадрат высекает из окружности единичного радиуса с центром в начале координат сектор, площадь которого составляет четверть площади окружности, то есть /4.
Вспомним уравнение окружности с центром в начале координат.
Вопрос: Назовите запись данного факта. Ответ: x 2 + y 2 = 1.
Если точка оказалась внутри сектора, то фиксируем “удачное попадание” единицей, если точка оказалась вне сектора, записываем нуль.
Значит, если x 2 + y 2 < = 1, то точка попадает в круг, иначе она вне круга. Это и есть математическое соотношение, позволяющее определить, лежит ли точка в фигуре. После многократных бросаний вычислим отношение числа удачных исходов к общему количеству бросаний. Это число умножим на 4. Получим приближение к числу p .
Компьютерная модель .
Организуем вычисления на рабочем листе.
В ячейки А1 и В1 поместим заголовки x и y. В ячейку А2 поместим формулу генератора случайного числа =СЛЧИС() и скопируем ее до ячейки В1001 .
В ячейку С2 введем формулу, которая описывает условие попадания или не попадания точек в сектор, то есть =Если(А2^2+B2^2 < = 1; 1; 0) cкопируем до С1001 .
В ячейку С1002 разместим формулу подсчета удачных исходов =СУММ(С2:С1001)/250 или a / 250 . Таблица сконструирована. Теперь проведем компьютерный эксперимент.
Теперь нажимая F9 в ячейке С1002 сменяют друг друга десятичные приближения (не слишком точные) числа .
| A | B | C | |
| 1 | x | y | попадание |
| 2 | =СЛЧИС() | =СЛЧИС() | =ЕСЛИ(A2^2+B2^2 <= 1; 1; 0) |
| 3 | =СЛЧИС() | =СЛЧИС() | =ЕСЛИ(A3^2+B3^2 <= 1; 1; 0) |
| … | … | … | |
| 1001 | =СЛЧИС() | =СЛЧИС() | =ЕСЛИ(A1001^2+B1001^2 <= 1; 1; 0) |
| 1002 | =СУММ(С2:С1001)/250 |
V. Подведение итога.
Сегодня мы познакомились с методом Монте–Карло, провели компьютерный эксперимент и нашли практически значение числа ПИ.