При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда .
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
(4.2)
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Свойства коэффициента автокорреляции.
1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом .
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Введение
1. Суть и причины автокорреляции
2. Обнаружение автокорреляции
3. Последствия автокорреляции
4. Методы устранения
4.1 Определение
на основе статистики Дарбина-УотсонаЗаключение
Список использованной литературы
Введение
Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Применение традиционных методов корреляционно-регрессионного анализа для изучения причинно-следственных зависимостей переменных, представленных в форме временных рядов, может привести к ряду серьезных проблем, возникающих как на этапе построения, так и на этапе анализа эконометрических моделей. В первую очередь эти проблемы связаны со спецификой временных рядов как источника данных в эконометрическом моделировании.
Предполагается, что в общем случае каждый уровень временного ряда содержит три основные компоненты: тенденцию (Т), циклические или сезонные колебания (S) и случайную компоненту (E). Если временные ряды содержат сезонные или циклические колебания, то перед проведением дальнейшего исследования взаимосвязи необходимо устранить сезонную или циклическую компоненту из уровней каждого ряда, поскольку ее наличие приведет к завышению истинных показателей силы и связи изучаемых временных рядов в случае, если оба ряда содержат циклические колебания одинаковой периодичности, либо к занижению этих показателей в случае, если сезонные или циклические колебания содержит только один из рядов или периодичность колебаний в рассматриваемых временных рядах различна. Устранение сезонной компоненты из уровней временных рядов можно проводить в соответствии с методикой построения аддитивной и мультипликативной моделей. Если рассматриваемые временные ряды имеют тенденцию, коэффициент корреляции по абсолютной величине будет высоким, что в данном случае есть результат того, что х и у зависят от времени, или содержат тенденцию. Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причинно-следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так называемой ложной корреляции, вызванной наличием тенденции в каждом ряде. Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков
за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».1.Суть и причины автокорреляции
Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.
Автокорреляция остатков чаще всего наблюдается тогда, когда эконометрическая модель строится на основе временных рядов. Если существует корреляция между последовательными значениями некоторой независимой переменной, то будет наблюдаться и корреляция последовательных значений остатков. Автокорреляция может быть также следствием ошибочной спецификации эконометрической модели. Кроме того, наличие автокорреляции остатков может означать, что необходимо ввести в модель новую независимую переменную.
Автокорреляция в остатках есть нарушение одной из основных предпосылок МНК – предпосылки о случайности остатков, полученных по уравнению регрессии. Один из возможных путей решения этой проблемы состоит в применении к оценке параметров модели обобщенного МНК.
Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.
Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.
Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.
Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.
Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.
2.Обнаружение автокорреляции
В силу неизвестности значений параметров уравнения регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений
,t=1,2…T. Поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок ,t=1,2…T, полученные из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.2.1.Графический метод
Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них, указывающий отклонения
с моментами t их получении (их порядковыми номерами i), приведен на рис. 2.1.Это так называемые последовательно-временные графики. В этом случае по оси абсцисс обычно откладывают либо время (момент) получения статистических данных, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат- отклонения (либо оценки отклонений )
Рис.2.1.
Естественно предположить, что на рис 2.1. а-г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.
Например, на рис. 2.1.б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости.
2.2. Метод рядов
Этот метод достаточно прост: последовательно определяются знаки отклонений
,t=1,2…T. Например,(-----)(+++++++)(---)(++++)(-),
Т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.
Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называется длиной ряда.
Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если же рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция.
2.3 Критерий Дарбина-Уотсона
Наиболее известным критерием обнаружения автокорреляции первого порядка является критерий Дарбина- Уотсона и расчет величины
(2.3.1)
Согласно (2.3.1) величина d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Значение критерия Дарбина – Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F- критериев.
При наличии тенденции в ряде динамики уровни ряда характеризуются автокорреляцией, т.е. каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Например, цена на товар сегодня, как правило, зависит от цены вчерашнего дня. Корреляционная связь между последовательными значениями уровней динамического ряда называется автокорреляцией уровней динамического ряда .
Для измерения автокорреляции уровней динамического ряда используется коэффициент автокорреляции уровней
где у, – фактические уровни динамического ряда; у с_ Т – уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на τ шагов во времени; τ – величина лага (сдвига во времени), принимающая значения 1,2, 3,.... и определяющая порядок коэффициента автокорреляции.
При τ = 1 рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. измеряется корреляция текущих значений уровней динамического ряда уг с предшествующими уровнями уг_г.
При τ = 2 изучается зависимость текущих уровней ряда у, с уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 временных шага у ,_2, т.е. рассчитывается коэффициент автокорреляции второго порядка, а при х = 3 – соответственно третьего порядка, при X = к – коэффициент автокорреляции к-го порядка. Чем длиннее динамический ряд, тем выше может быть порядок коэффициента автокорреляции уровней.
Коэффициент автокорреляции уровней ряда практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его величина изменяется в пределах от -1 до +1. Чем ближе его величина , тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.
Если ряд характеризуется четко выраженной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции первого порядка приближается к +1. Так, для рассмотренного ранее ряда динамики заработной платы работника коэффициент автокорреляции уровней первого порядка составил 0,9987, демонстрируя тесную связь последующих уровней ряда от предыдущих.
Поскольку в примере рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т.е. когда τ = 1, формула его расчета приобретает вид
(5.2)
где у, – уровни ряда в момент времени f; yf_j – те же уровни ряда, но сдвинутые на год, т.е.уровни ряда в момент времени (t – 1) (предыдущий год).
Так как оба ряда (у, иум) для расчета коэффициента автокорреляции должны быть одинаковой длины, то первое значение по ряду уг в расчетах не участвует. По нашему примеру необходимые суммы для подсчета отдельных элементов формулы коэффициента автокорреляции уровней составили
Соответственно коэффициент автокорреляции уровней составит
Методика расчета коэффициентов автокорреляции более высоких порядков та же, но при этом число коррелируемых пар уменьшается. В нашем примере их восемь (ct = 2 по t = 9). Если же увеличим лаг до 2 лет, т.е. τ = 2, то останется семь коррелируемых пар (с t = 3 по ί = 9), при τ = 3 будет шесть коррелируемых пар (с t = 4 по t = 9). Ввиду уменьшения числа наблюдений при расчете коэффициента автокорреляции уровней, увеличение величины лага не беспредельно: принято считать, что максимальная величина лага должна быть не более чем п / 4 (n – длина динамического ряда). Для нашего примера при л = = 9 максимальная величина лага составит 2 года (τ = 2).
Для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка составим таблицу.
Таблица 5.1. Расчет коэффициента автокорреляции уровней второго порядка (для ряда динамики заработной платы работника)
|
y t – 2 |
y t y t – 2 |
||||
* Подсчитано без первых двух строк
Так как теперь в расчете участвует семь коррелируемых пар и , то первые две строки табл. 5.1 не принимаются во внимание. Коэффициенты автокорреляции разных порядков принято обозначать где указывает на номер порядка коэффициента автокорреляции. Формула расчета коэффициента автокорреляции второго порядка следующая:
где 
Соответственно коэффициент автокорреляции равен
В рассмотренном примере уровни динамического ряда имеют тенденцию к возрастанию, и коэффициенты автокорреляции приближаются к +1. Аналогичная картина будет наблюдаться и при тенденции к уменьшению уровней динамического ряда. Например, лесовосстановление в России за 1995–2002 гг. характеризуется тенденцией к снижению. Уровни ряда (в тыс. га) составили:
Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков оказались равными η = 0,812 и г2 =0,885, что подтверждает наличие тенденции в ряду динамики. При этом г, > 0 и г2 > 0, хотя ряд и имеет тенденцию к снижению. Чем тенденция по ряду динамики более четкая, тем ближе г, и г2 к +1.
Для стационарного динамического ряда с небольшими колебаниями уровней, гг достаточно близок к нулю и может принимать небольшое отрицательное значение. Так, предположим, что уровни ряда приняли следующие значения (последовательно во времени):
Коэффициент автокорреляции первого порядка составил -0,209, а коэффициент автокорреляции второго порядка составил 0,056.
Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с последовательным увеличением величины лага принято называть автокорреляционной функцией (АКФ).
Для стационарного временного ряда с увеличением величины лага взаимосвязь у с и y,_t ослабевает и АКФ характеризуется монотонным убыванием, что графически должно представлять затухающую кривую (рис. 5.7).
По стационарному ряду АКФ оценивается исходя из формулы коэффициента автокорреляции
(5.3)
где n – длина временного ряда; τ –временной сдвиг; – средняя арифметическая по исходному ряду .
В нашем примере АКФ для стационарного ряда составила: г, = -0,209; г 2 = 0,056; г3 = -0,114; г4 – -0,356; г5 = 0,057; г6 = -0,074; г7 = -0,003. Однако при ограниченной длине динамического ряда поведение АКФ в виде рис. 5.7 не всегда соблюдается.
АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: она равна той величине лага τ, при которой коэффициент автокорреляции уровней наибольший.
Предположим, что объем продаж товара за 18 мес. характеризуют следующим образом (рис. 5.8).
График показывает наличие тенденции, а также периодических колебаний. Это подтверждает и АКФ:
Рис. 5.7.
Рис. 5.8
Достаточно высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка (Г] = 0,863) означает наличие тенденции в ряде динамики. Вместе с тем максимальное значение коэффициента автокорреляции наблюдается при лаге 3 и кратном ему лаге 6, т.е. для ряда характерна регулярная колеблемость уровней через 3 мес.: подъем в течение 3 мес. сменяется спадом в следующий месяц. Иными словами, волнообразное изменение объема продаж повторяется через 3 мес., что и демонстрирует АКФ. Для динамического ряда с монотонной тенденцией к возрастанию (или уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие к +1, которые медленно снижаются с возрастанием величины лага. Например, за 60 кварталов динамика объема продаж характеризовалась уравнением тренда
где у – объем продаж в тыс. руб.;
Коэффициент детерминации для него составил 0,973, характеризуя хорошее качество описания тенденции ряда: отклонения фактических уровней ряда от теоретических, обусловленных тенденцией, составляют всего 2,7%. АКФ для данного ряда оказалась следующей: rj = 0,991; г2 = 0,984; г3 = 0,980; г4 = = 0,979; г5 = 0,973; г6 = 0,968; г7 = 0,963; г8 = 0,965; г9 = 0,963; гю = 0,962; ги = 0,959; г12 = 0,957; г13 = 0,952; г14 = 0,955; г15 = 0,943.
Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ примет значения, стремительно уменьшающиеся с возрастанием величины лага, сопровождаемые иногда сменой знака коэффициента автокорреляции. Так, например динамический ряд описывается параболой второго порядка (рис. 5.9).
АКФ оказывается следующей:
Рис. 5.9.
Похожая ситуация имеет место, например, при анализе динамики числа раненых в ДТП (на 100 тыс. человек населения) за 1999–2008 гг. по Тюменской области. Тенденция описывается параболой видау = 80,537 + 45,756t- 3,5053г2. Коэффициенты автокорреляции уровней с увеличением величины лага составили: 0,831; 0,588; 0,179; -0,544.
Иными словами, знание АКФ может помочь при подборе модели рассматриваемого динамического ряда.
Если временной ряд содержит только случайную компоненту, то уровни временного ряда будут независимы друг от друга. Если же временной ряд содержит тенденцию или циклические колебания, то значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию можно измерить количественно. Для этого рассчитывают линейный коэффициент корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на один или несколько шагов во времени.
Например, разумно предположить, что доходы домохозяйства в текущем году зависят от доходов домохозяйства предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между ними. Известна рабочая формула линейного коэффициента корреляции
В качестве фактора мы рассмотрим доходы предшествующего периода (у t-1 ), а в качестве результата – доходы текущего периода (у t ), тогда приведенная выше формула примет вид
Средний уровень по исходному ряду динамики, определенный без учета первого уровня,
а - это средний уровень по ряду динамики, сдвинутому на одну дату.
Расстояние между уровнями временного ряда, для которых определяется коэффициент корреляции, называется лагом. Приведенная выше формула определяет величину автокорреляции между соседними уровнями, то есть при лаге = 1, поэтому этот коэффициент называют коэффициентом автокорреляции первого порядка. Допустим, r 1 = 0,98. Полученное значение свидетельствует об очень сильной зависимости между доходами текущего и предшествующего периода и, следовательно, о наличии в ряду сильной линейной тенденции.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями со сдвигом на две даты, то есть с лагом 2 и т.д.
С увеличением лага число пар, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается и, следовательно, снижается достоверность коэффициентов. Поэтому для обеспечения статистической достоверности лаг не должен быть больше, чем п / 4, где п – число уровней.
При анализе коэффициентов автокорреляции следует помнить следующее:
1. он определяется по формуле линейного коэффициента корреляции, таким образом, он измеряет тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней временного ряда. Для временных, рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней может быть близким к нулю;
2. Знак коэффициента автокорреляции не указывает на направление тенденции в исходном ряду данных (возрастание или убывание). Большинство временных рядов экономических переменных содержат положительную автокорреляцию уровней, но при этом сам ряд может иметь и отрицательную тенденцию.
Если расположить коэффициенты по величине лага (то есть коэффициенты первого порядка, второго, третьего и т.д.), то мы получим автокорреляционную функцию временного ряда . График зависимости величины коэффициента автокорреляции от лага называют коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет выявить структуру временного ряда. Выявить структуру временного ряда – это значит выявить наличие или отсутствие его основных компонент (Т – трендовой компоненты и S – сезонной или циклической компоненты). Ряд может состоять только из трендовой и случайной компонент; или циклической и случайной; может содержать только случайную компоненту или все три компоненты одновременно.
Если наиболее высоким оказался коэффициент первого порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка К, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в К моментов времени, Так, например, если при анализе временного ряда наиболее высокими оказались коэффициенты автокорреляции второго порядка, то ряд имеет циклы в два периода времени, то есть имеет так называемую пилообразную структуру. Наиболее высокий коэффициент четвертого порядка указывает на наличие в ряду цикла в четыре момента (периода) времени. Если ни один из коэффициентов не является статистически значимым, то можно сделать следующие предположения:
1. ряд не содержит ни тенденции, ни циклов, а состоит только из случайной компоненты;
2. ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
При моделировании временных рядов встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или цикличность. В этом случае остатки не являются независимыми, каждое последующее значение остатка зависит от предыдущего. Это явление получило название автокорреляция остатков.
Назовем причины существования автокорреляции остатков:
1. в модель не включен фактор, оказывающий существенной воздействие на результат; его влияние будет отражаться в остатках, то есть они могут быть автокоррелированы;
2. модель не учитывает влияние нескольких второстепенных факторов, совместное влияние которых может быть существенным (если их тенденции совпадают или фазы цикличности совпадают);
3. автокорреляция остатков может заключаться в неверной функциональной спецификации модели.
Существуют два способа определения автокорреляции в остатках. Первый заключается в визуальном анализе графика зависимостей остатков от времени. Второй способ предполагает использование критерия Дарбина-Уотсона. Величину критерия (d) можно определить по одной из формул
либо d 2(1 – r e 1)
,
где r e 1 – коэффициент автокорреляции остатков первого порядка.
Если в остатках существует полная положительная автокорреляция , то r e 1 =1 и d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то
r e 1 =-1 и d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то r e 1 =0 и d = 2.
На практике используется следующий алгоритм проверки гипотезы об автокорреляции остатков:
1. выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках;
2. определяется фактическое значение критерия Дарбина – Уотсона (d);
3. по специальным таблицам (приложение учебника по эконометрике) находят критические значения критерия d L и d u , где п – число наблюдений, k - независимых переменных в модели, - уровень значимости;
4. числовой промежуток всех возможных значений d разбивается на 5 отрезков
0 d L d u 2 4- d u 4 - d L 4
5. если d - фактическое попадает в зону неопределенности, то предполагают существование автокорреляции в остатках.
В последнем случае исследовать причинно-следственные связи переменных по остаткам нельзя, получим ложную корреляцию.
При нарушении гомоскедастичности (т.е. наличие гетероскедастичности) и наличии автокорреляции остатков рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (МНК), который проводится по исходным данным, заменять обобщенным методом наименьших квадратов (ОМНК), который проводится по преобразованным данным.
4.1. Автокорреляция уровней временного ряда
(4.1)
Где 
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда 
и
.
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями 
и
и определяется по формуле:
(4.2)
где 
(7.1.)
где 
, а
.
Число периодов
, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом
. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше 
.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию
. Если наиболее высоким
оказался коэффициент автокорреляции порядка 
, то ряд содержит циклические колебания
с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).
Таблица 4.1
|
Количество возбужденных дел, |
|||
Построим поле корреляции:
Рис. 4.4.
Уже исходя из графика видно, что значения 
образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
Таблица 4.2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение |
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
Таблица 4.3
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Среднее значение |
Следовательно
Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4.4
|
Коэффициент автокорреляции уровней |
|
Коррелограмма:
Рис. 4.5.
Анализ коррелограммы и графика исходных уровней временного ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала.
Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.
Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:
Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства коэффициента автокорреляции.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Автокорреляция во временных рядах
Для характеристики динамики изменения экономических показателей часто используется понятие автокорреляции , которая характеризует не только взаимозависимость уровней одного и того же ряда, относящихся к разным моментам наблюдений, но и степень устойчивости развития процесса во времени, величину оптимального периода прогнозирования и т.п.
Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на t единиц времени определяется величиной коэффициента корреляции , так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть . График автокорреляционной функции называется корреллограммой .
Выборочный коэффициент автокорреляции вычисляется по формуле:
(3.4.13)
Для расчета коэффициента автокорреляции по формуле (3.4.12) в Excel можно воспользоваться функцией КОРРЕЛ. Предположим, что базовая переменная включает диапазон А1:А34.
Тогда коэффициент автокорреляции равен:
КОРРЕЛ (А1:А33; А2:А34).
На практике, как правило, при вычислении автокорреляции используется формула (3.4.13).
Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени.
Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты (f(t)) и сезонной компоненты (S).
Пример 3.4.3. Анализ временного ряда валового внутреннего продукта
Валовой внутренний продукт (ВВП ) – представляет собой на стадии производства сумму добавленных стоимостей отраслей экономики, а на стадии использования – стоимость товаров и услуг, предназначенных для конечного потребления, накопления и экспорта.
В качестве исходной информации используются данные: номинальный объем валового внутреннего продукта, млрд. руб. (с 1998 г млн. руб.) – квартальные данные с 1994:1 по 2003:1 (Табл. 3.4.7). График этого ряда приведен на рис.3.4.6.
Из него видно, что данные обладают повышающим трендом. Таким образом, уже визуальный анализ позволяет сделать вывод о нестационарности исходного временного ряда.
Проверим данное предположение, вычислим коэффициенты автокорреляции (табл. 3.4.8) и построим график автокорреляционной функции временного ряда ВВП (коррелограмму) (см. Рис. 3.4.7).
Табл. 3.4.7. ВВП[
| Дата | 4кв.1994 | 1кв.1995 | 2кв.1995 | 3кв.1995 | 4кв.1995 | 1кв.1996 | 2кв.1996 | 3кв.1996 | 4кв.1996 | 1кв.1997 |
| ВВП | 225.00 | 235.00 | 325.00 | 421.00 | 448.00 | 425.00 | 469.00 | 549.00 | 565.00 | 513.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 2кв.1997 | 3кв.1997 | 4кв.1997 | 1кв.1998 | 2кв.1998 | 3кв.1998 | 4кв.1998 | 1кв.1999 | 2кв.1999 | 3кв.1999 |
| ВВП | 555.00 | 634.00 | 641.00 | 551.00 | 602.00 | 676.00 | 801.00 | 901.00 | 1102.00 | 1373.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 4кв.1999 | 1кв.2000 | 2кв.2000 | 3кв.2000 | 4кв.2000 | 1кв.2001 | 2кв.2001 | 3кв.2001 | 4кв.2001 | 1кв.2002 |
| ВВП. | 1447.00 | 1527.00 | 1697.00 | 2038.00 | 2044.00 | 1922.00 | 2120.00 | 2536.00 | 2461.00 | 2268.00 |
| № | ||||||||||
| Дата | 2кв.2002 | 3кв.2002 | 4кв.2002 | 1кв.2003 | ||||||
| ВВП | 2523.00 | 3074.00 | 2998.00 | 2893.10 | ||||||
| № |
Табл. 3.4.8.
Рис. 3.4.7. Коррелограмма.
Коррелограмма автокорреляционной функции в случае стационарного временного ряда должна быстро убывать с ростом t после нескольких первых значений. Рис. 3.4.7 показывает, что исследуемый ряд не является стационарным. Временной ряд валового внутреннего продукта содержит трендовую компоненту.
Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х 1 , Х 2 , ... Х n-L и рядом Х 1+L , Х 2+L , ... Х n , где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.
Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r t,t-1 . Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r t,t-2 и т.д.
Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.
Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .
Если наиболее высоким оказывается значение r t,t-1 , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r t,t-L , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.
Если ни один из r t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.
Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .
Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):
Два важных свойства коэффициента автокорреляции:
1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.
2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 1 |
| 3.18 | 4.31 |
| 4.31 | 5.66 |
| 5.66 | 6.89 |
| 6.89 | 9.47 |
| 9.47 | 12.34 |
| 12.34 | 14.36 |
| 14.36 | 18.08 |
| 18.08 | 20.63 |
| 20.63 | 24.3 |
| 24.3 | 30.2 |
| 30.2 | 37.04 |
| 37.04 | 43.81 |
| 43.81 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-1:
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < r t,t-1 < 0.3: слабая;
0.3 < r t,t-1 < 0.5: умеренная;
0.5 < r t,t-1 < 0.7: заметная;
0.7 < r t,t-1 < 0.9: высокая;
0.9 < r t,t-1 < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 4.31 | 10.11 | 18.58 | 13.71 |
| 4.31 | 5.66 | 18.58 | 32.04 | 24.39 |
| 5.66 | 6.89 | 32.04 | 47.47 | |
| 6.89 | 9.47 | 47.47 | 89.68 | 65.25 |
| 9.47 | 12.34 | 89.68 | 152.28 | 116.86 |
| 12.34 | 14.36 | 152.28 | 206.21 | 177.2 |
| 14.36 | 18.08 | 206.21 | 326.89 | 259.63 |
| 18.08 | 20.63 | 326.89 | 425.6 | 372.99 |
| 20.63 | 24.3 | 425.6 | 590.49 | 501.31 |
| 24.3 | 30.2 | 590.49 | 912.04 | 733.86 |
| 30.2 | 37.04 | 912.04 | 1371.96 | 1118.61 |
| 37.04 | 43.81 | 1371.96 | 1919.32 | 1622.72 |
| 43.81 | 48.32 | 1919.32 | 2334.82 | 2116.9 |
| 230.27 | 275.41 | 6102.65 | 8427.36 | 7162.43 |
Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 2 |
| 3.18 | 5.66 |
| 4.31 | 6.89 |
| 5.66 | 9.47 |
| 6.89 | 12.34 |
| 9.47 | 14.36 |
| 12.34 | 18.08 |
| 14.36 | 20.63 |
| 18.08 | 24.3 |
| 20.63 | 30.2 |
| 24.3 | 37.04 |
| 30.2 | 43.81 |
| 37.04 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-2:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 5.66 | 10.11 | 32.04 | |
| 4.31 | 6.89 | 18.58 | 47.47 | 29.7 |
| 5.66 | 9.47 | 32.04 | 89.68 | 53.6 |
| 6.89 | 12.34 | 47.47 | 152.28 | 85.02 |
| 9.47 | 14.36 | 89.68 | 206.21 | 135.99 |
| 12.34 | 18.08 | 152.28 | 326.89 | 223.11 |
| 14.36 | 20.63 | 206.21 | 425.6 | 296.25 |
| 18.08 | 24.3 | 326.89 | 590.49 | 439.34 |
| 20.63 | 30.2 | 425.6 | 912.04 | 623.03 |
| 24.3 | 37.04 | 590.49 | 1371.96 | 900.07 |
| 30.2 | 43.81 | 912.04 | 1919.32 | 1323.06 |
| 37.04 | 48.32 | 1371.96 | 2334.82 | 1789.77 |
| 186.46 | 271.1 | 4183.34 | 8408.79 | 5916.94 |
Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 3 |
| 3.18 | 6.89 |
| 4.31 | 9.47 |
| 5.66 | 12.34 |
| 6.89 | 14.36 |
| 9.47 | 18.08 |
| 12.34 | 20.63 |
| 14.36 | 24.3 |
| 18.08 | 30.2 |
| 20.63 | 37.04 |
| 24.3 | 43.81 |
| 30.2 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-3:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 6.89 | 10.11 | 47.47 | 21.91 |
| 4.31 | 9.47 | 18.58 | 89.68 | 40.82 |
| 5.66 | 12.34 | 32.04 | 152.28 | 69.84 |
| 6.89 | 14.36 | 47.47 | 206.21 | 98.94 |
| 9.47 | 18.08 | 89.68 | 326.89 | 171.22 |
| 12.34 | 20.63 | 152.28 | 425.6 | 254.57 |
| 14.36 | 24.3 | 206.21 | 590.49 | 348.95 |
| 18.08 | 30.2 | 326.89 | 912.04 | 546.02 |
| 20.63 | 37.04 | 425.6 | 1371.96 | 764.14 |
| 24.3 | 43.81 | 590.49 | 1919.32 | 1064.58 |
| 30.2 | 48.32 | 912.04 | 2334.82 | 1459.26 |
| 149.42 | 265.44 | 2811.38 | 8376.75 | 4840.25 |
Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:
| y t | y t - 4 |
| 3.18 | 9.47 |
| 4.31 | 12.34 |
| 5.66 | 14.36 |
| 6.89 | 18.08 |
| 9.47 | 20.63 |
| 12.34 | 24.3 |
| 14.36 | 30.2 |
| 18.08 | 37.04 |
| 20.63 | 43.81 |
| 24.3 | 48.32 |
Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка .
Выборочные средние.
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Коэффициент автокорреляции
Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-4:
| x | y | x 2 | y 2 | x y |
| 3.18 | 9.47 | 10.11 | 89.68 | 30.11 |
| 4.31 | 12.34 | 18.58 | 152.28 | 53.19 |
| 5.66 | 14.36 | 32.04 | 206.21 | 81.28 |
| 6.89 | 18.08 | 47.47 | 326.89 | 124.57 |
| 9.47 | 20.63 | 89.68 | 425.6 | 195.37 |
| 12.34 | 24.3 | 152.28 | 590.49 | 299.86 |
| 14.36 | 30.2 | 206.21 | 912.04 | 433.67 |
| 18.08 | 37.04 | 326.89 | 1371.96 | 669.68 |
| 20.63 | 43.81 | 425.6 | 1919.32 | 903.8 |
| 24.3 | 48.32 | 590.49 | 2334.82 | 1174.18 |
| 119.22 | 258.55 | 1899.34 | 8329.28 | 3965.71 |
Вывод : в данном ряду динамики имеется тенденция (r t,t-1 = 0.997 → 1).
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Автокорреляция
Вместе с этой задачей решают также:
Тест Дарбина-Уотсона
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Уравнение нелинейной регрессии
Показатели динамики: цепные и базисные
Анализ сезонных колебаний
Аддитивная модель временного ряда
Мультипликативная модель временного ряда
Онлайн сдача дистанционных тестов
Copyright © Semestr.RU
Список литературы
1. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.
2. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.
3. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/ Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.