Как уже известно, при расчете некоторых стержневых систем для определения усилий в них недостаточно использовать одни лишь уравнения статики, а необходимо составлять дополнительные уравнения - уравнения деформаций (перемещений). Такие системы называются статически неопределимыми.
В настоящей главе рассмотрены расчеты плоских статически неопределимых стержневых систем. Аналогичными способами рассчитывают и пространственные статически неопределимые системы.
Характерной особенностью статически неопределимых систем (в отличие от статически определимых) является то, что распределение усилий в них зависит не только от внешних сил, но и от соотношений между поперечными размерами отдельных элементов. Если элементы систем изготовлены из различных материалов, то распределение усилий также зависит от модулей упругости этих материалов (см. § 9.2).
Расчет статически неопределимой системы начинают с анализа ее схемы. Анализ необходим прежде всего для того, чтобы установить степень статической неопределимости.
Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую, геометрически неизменяемую систему.
Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение фермы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.
Статически определимая система не имеет ни одной лишней связи; удаление из нее хотя бы одной связи превращает ее в геометрически изменяемую систему, т. е. в механизм.
Балка, показанная на рис. 1.12, а, является системой, один раз (или однажды) статически неопределимой, так как один из опорных стержней представляет собой лишнюю (избыточную) связь балки с опорой (с основанием).
Отбросив один из опорных стержней (рис. 1.12, б) или включив в балку один шарнир (рис. 1.12, в), получим статически определимую, геометрически неизменяемую систему.
Систему, состоящую из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, будем называть замкнутым контуром.
Прямоугольная рама, изображенная на рис. 2.12, я, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо, например, перерезать один из ее элементов (рис. 2.12, б) и тем самым устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим.
Примером сооружения с одним замкнутым контуром является также система, изображенная на рис. 3.12, а. Замкнутым контуром является и бесшарнирная рама, изображенная на рис. 3.12, б; она ограничена снизу землей, которую можно рассматривать как бесконечно жесткий стержень.
В рамной конструкции, представленной на рис. 4.12, а, верхний контур снабжен шарниром; в разрезе, проведенном по этому шарниру, действуют только два внутренних усилия: N и Q (рис. 4.12, б). Такой контур дважды статически неопределим. Если рассматривать всю систему в целом, то она пять раз статически неопределима, так как нижний контур рамы замкнутый и, следовательно, неопределим трижды.
Систему, освобожденную от лишних связей, можно представить состоящей из двух защемленных внизу стержней с горизонтальными консолями (рис. 4.12, б).
Выяснить степень статической неопределимости этой системы можно иначе. Верхний контур рамы, имеющий один внутренний шарнир, дважды статически неопределим (имеет две лишние связи). Кроме того, каждая из заделок дает три составляющие опорной реакции (две силы и момент), т. е. на раму наложено шесть внешних связей, а уравнений статики для плоской системы можно составить лишь три. Следовательно, три внешние связи являются лишними, а всего имеется пять лишних связей, т. е. система пять раз статически неопределима.
Необходимо заметить, что исключение лишних связей для превращения одной и той же статически неопределимой конструкции в статически определимую можно произвести различными способами, однако число отбрасываемых связей всегда одно и то же. Так, например, статически определимые системы, изображенные на рис. 1.12, б, в, получены из статически неопределимой системы (см. рис. 1.12, а); одна - путем удаления промежуточной опоры, а другая - путем постановки промежуточного шарнира, т. е. удаления связи, препятствующей взаимному повороту частей балки, расположенных по обе стороны от введенного шарнира.
Включение шарнира в узел рамы, в котором сходятся два стержня, или же установка его в любое место на оси стержня нарушает (снимает) одну связь и снижает общую степень статической неопределимости системы на единицу. Такой шарнир будем называть одиночным, или простым.
При удалении связей системы необходимо следить за тем, чтобы получаемая конструкция была геометрически неизменяема. Поэтому в раме, показанной на рис. 5.12, а, имеющей одно лишнее опорное закрепление, было бы ошибочным удаление вертикального стерженька (рис. 5.12, б), так как оставшиеся три стерженька не могли бы препятствовать повороту рамы вокруг точки , в которой пересекаются их оси.
Правильный вариант удаления лишнего стержня показан на рис. 5.12, б.
Для конструкций со сложным внутренним образованием можно применить следующий общий прием определения степени статической неопределимости. Идея его заключается в том, что каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий k стержней, снижает степень статической неопределимости на так как такой шарнир заменяет одиночных шарниров (рис. 6.12, а). Поэтому для определения степени статической неопределимости конструкции необходимо взять утроенное количество замкнутых контуров (предполагая, что все шарниры, в том числе и опорные, заменены жесткими соединениями) и затем уменьшить его на число включенных в конструкцию одиночных шарниров, учитывая при этом, что один общий шарнир эквивалентен одиночным шарнирам.
Представим это в виде формулы
где - степень статической неопределимости системы; - число замкнутых контуров в конструкции в предположении отсутствия шарнирных соединений; - число одиночных шарниров; шарнир, соединяющий два стержня, считается за один (одиночный шарнир), соединяющий три стержня - за два одиночных шарнира (двойной шарнир) и т. д.
На рис. 6.12, б изображены одиночные шарниры, на рис. 6.12, в - двойные, а на рис. 6.12, г - тройные.
Шарнирно неподвижную опору (рис. 6.12, д) можно изображать в виде одного шарнира, связывающего конструкцию с землей (рис. 6.12, е). Если такая опора соединяет с землей один прямой или ломаный элемент конструкции (рис. 6.12, ж) и то ее следует рассматривать как одиночный шарнир, если два элемента (рис. 6.12, з), - то как двойной шарнир, и т. д.
Рассмотрим теперь раму, изображенную на рис. 7.12, а. Эту раму можно представлять как один замкнутый контур с введен ными в него двумя одиночными шарнирами (рис. 7.12, б). Степень ее статической неопределимости на основании формулы (1.12) равна единице:
Раму, изображенную на рис. 7.12, в, можно рассматривать как состоящую из двух замкнутых контуров с введенными в нее пятью одиночными шарнирами (рис. 7.12, г). Следовательно, степень статической неопределимости этой рамы равна единице:
Систему, изображенную на рис. 7.12, д, можно рассматривать как три замкнутых контура, в которые введены три одиночных и один двойной шарнир (посередине правой стойки).
Следовательно, эта система четырежды статически неопределима:
Если в статически определимой системе устранить какую-либо связь, то система, как отмечалось, превратится в геометрически изменяемую. Следовательно, статически определимая система содержит в своем составе такое количество связей, которое является минимально необходимым для обеспечения ее геометрической неизменяемости; избыточные связи (сверх этого количества) создают статическую неопределимость.
Из любой статически неопределимой системы можно устранить по крайней мере одну связь без нарушения ее изменяемости; однако удаление некоторых связей может превратить статически неопределимую систему в геометрически изменяемую. Такие связи статически неопределимой системы являются абсолютно необходимыми. Усилия в них всегда можно определить при помощи одних лишь уравнении статики.
Примером абсолютно необходимых связей являются вертикальные опорные стержни рамы, показанной на рис. 5.12, а; удаление одного из них делает раму геометрически изменяемой.
Связи, удаление которых не превращает статически неопределимую систему в геометрически изменяемую, называются условно необходимыми. Усилия в них нельзя определить при помощи одних лишь уравнений статики. Примером таких связей являются горизонтальные опорные стержни рамы, изображенной на рис. 5.12, а.
Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906,2907, 2908, 2910
Казань, 2006 г.
Составитель: Р.А.Каюмов
УДК 539.3
Расчет статически неопределимой стержневой системы, содержащей абсолютно жесткий элемент; Методические указания по выполнению расчетно-графической работы для студентов специальностей 2903, 2906, 2907, 2908, 2910 / КазГАСУ; сост. Р.А. Каюмов. Казань, 2005, 24 с.
В данных методических указаниях кратко излагается методика расчета простейших ферменных конструкций с жестким элементом и приводится пример расчета.
Илл.6.
Рецензент канд.физ.-мат. наук, проф. Кафедры теоретической механики КГАСУ Шигабутдинов Ф.Г.
ã Казанский государственный архитектурно-строительный университет
ЗАДАНИЕ № 3
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ШАРНИРНО-стержневой системы
Для заданной шарнирно-стержневой системы (см.схему), состоящей из абсолютно жесткого бруса и упругих стержней с заданными соотношениями площадей поперечных сечений, требуется:
1. Установить степень статической неопределимости.
2. Найти усилия в стержнях.
3. Записать условия прочности для стержней от силовых воздействий и произвести подбор поперечных сечений стержней с учетом заданных соотношений площадей. Материал Ст-3, предел текучести принять равным 240 МПа = 24 кН/см 2 , коэффициент запаса прочности k = 1,5.
4. Найти напряжения в стержнях от неточности изготовления стержней d 1 = d 2 = d 3 = (см. табл.3). Если имеет знак плюс, то, значит, стержень сделан длиннее; если минус – короче.
5.
Найти напряжения в стержнях от изменения температуры в стержнях на Dt° (см. табл.3). Коэффициент линейного расширения для стали 
1/град.
6. Сделать проверку прочности системы при различных вариантах силовых и несиловых воздействий: 1) конструкция собрана, еще не нагружена, но произошел перепад температур; 2) случай, когда нет перепада температур, а конструкция собрана и нагружена. 3) случай, когда конструкция собрана, нагружена и произошел перепад температур.
7. Определить предельную грузоподъемность системы и истинный коэффициент запаса прочности, приняв постоянное соотношение между и .
Задание выполняется в полном объеме студентами специальностей ПГС и АД. Студенты других специальностей выполняют расчет системы только на внешнее нагружение по допускаемым напряжениям и по допускаемой нагрузке, исключив стержень 3.
Исходные данные для выполнения расчетно-графической работы выбираются по шифру, выдаваемому преподавателем.
Схемы к заданию № 3
таблица 3
| А | Б | В | Г | Б | в | В | |||||
| , кН | , кН/м | , м | , м | , м | , м | , м | , мм | ||||
| 0.3 | 3/2 | ||||||||||
| -30 | -0.4 | 1/2 | |||||||||
| 0.5 | 3/2 | ||||||||||
| -25 | -0.6 | 3/4 | 3/2 | ||||||||
| 0.7 | 5/4 | 1/2 | |||||||||
| -35 | -0.4 | 1/2 | 4/5 | ||||||||
| 0.5 | 2/3 | 1/2 | |||||||||
| -0.7 | 1/2 | 4/5 | |||||||||
| -20 | -0.3 | 3/2 | 2/3 | ||||||||
| 0.6 | 2/3 | 5/4 |
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассматривается шарнирно-стержневая система (рис.1), состоящая из жесткого бруса и деформируемых стержней, изготовленных с заданным соотношением площадей поперечных сечений, которое указывается в задании. Известны проектные нагрузки F , q ; размеры конструкции h 1 , h 2 , L 1 , L 2 , L 3 ; проектные колебания температуры: Dt 1 - в первом стержне, Dt 2 - во втором, Dt 3 - в третьем; неточности изготовления стержней, а именно d 1 – отличие от проектной длины в первом стержне, d 2 – во втором, d 3 – в третьем. Известны механические характеристики материала: модуль упругости Е = 2×10 4 кн/см 2 , предел текучести s т = 24 кн/см 2 , коэффициент температурного расширения a =125×10 -7 1/Град. Коэффициент запаса прочности k для этой конструкции принимается равным 1,5.
 |
Необходимо решить 3 задачи:
1. Произвести подбор сечений стержней для изготовления этой системы из условия прочности этих стержней по допустимым напряжениям при проектных нагрузках.
2. Сделать заключение о допустимости проектных колебаний температуры и неточностей изготовления стержней.
3. Найти предельную грузоподъемность конструкции, допустимые нагрузки и истинный запас прочности.
Таким образом, работа состоит из проектировочного расчета, поверочного расчета, расчета предельных нагрузок для системы.
В РГР должны быть приведены 3 рисунка (выполненных в масштабе): исходная схема стержневой системы, силовая схема и кинематическая схема деформирования конструкции.
2. Метод сечений.
3. Закон Гука.
4. Удлинение от изменения температуры.
5. Предел прочности, допустимое напряжение, условие прочности.
6. Пластическое течение, предел текучести.
7. Статическая неопределимость.
8. Условие совместности деформаций.
9. Расчет по допускаемым напряжениям.
10. Расчет по теории предельного равновесия.
ОБЩИЙ ПЛАН РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИИ
Вначале конструкцию освобождают от связей, заменяя их реакциями. Методом сечений вводят в рассмотрение внутренние продольные силы (нормальные силы), возникающие в стержнях. При этом направлять их нужно от сечения, т.е. условно считать стержни растянутыми. Определить реакции и продольные силы из уравнений равновесия не удается, т.к. в плоской задаче статики можно составить 3 независимых уравнения равновесия, число же неизвестных силовых факторов (реакций и продольных сил) больше трех. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, вытекающие из предположения о деформируемости стержней (уравнения совместности деформаций, связывающие удлинения стержней между собой). Вытекают они из геометрических соображений. При этом используется предположение о малости деформаций. Кроме того, необходимо учесть следующее правило знаков. Полную разницу между проектной длиной стержня l
и конечной истинной длиной l
кон
обозначают через Dl
. Следовательно, если стержень удлиняется, то 
, если укорачивается, то 
.
Как видно из рис.2, изменение длины стержня Dl складывается из удлинения Dl ( N ) , вызванного усилием осевого растяжения N , удлинения Dl (t) , вызванного изменением температуры, и неточности изготовления d .
 |
Если температура понижается, то Dt < 0, то длина стержня уменьшается, т.е. ; если стержень сделан короче проектного, то d < 0. С учетом закона Гука это соотношение примет вид:
Поскольку удлинения выражаются через продольные силы 
по формулам (1), то из уравнений совместности вытекают соотношения, связывающие между собой искомые усилия. Здесь и далее для упрощения записи используются следующие обозначения: продольная сила и напряжение в стержне с номером i
.
В рассматриваемой РГР не требуется отыскивать реакции. Поэтому из 3-х уравнений равновесия достаточно оставить одно – условие равенства нулю моментов всех внешних и внутренних сил относительно оси, проходящей через центр шарнира D (рис.1). Решение полученной системы (уравнений равновесия и совместности деформаций) позволяет отыскать усилия в стержнях.
Далее проводятся проектировочный (задача 1) и поверочный (задача 2) расчеты методом допустимых напряжений. За опасное напряжение принимается предел текучести s т . Согласно метода допустимых напряжений конструкция считается вышедшей из строя, если напряжение достигло опасного значения хотя бы в одном стержне, т.е. оказался разрушенным хотя бы один из стержней:
Для обеспечения безопасности конструкции требуется наличие запаса прочности, т.е. должно выполняться условие прочности вида
, (3)
где k - коэффициент запаса, [s ] - допустимое напряжение.
Разрушение одного элемента конструкции не всегда означает потерю ее эксплуатационных свойств (т.е. обрушения). Другие элементы могут взять на себя нагрузку или ее часть, которую должен был нести разрушенный элемент. Это соображение используется в задаче 3, решаемой методом предельного равновесия, называемого еще методом допустимых нагрузок .
В постановке задачи предполагается, что силы Р и Q увеличиваются пропорционально (Р / Q = const), площади сечений стержней известны из решения задачи 1, материал стержней - упруго-идеально-пластический. При увеличении нагрузки сначала "потечет" один стержень, напряжение в нем при дальнейшей деформации не будет увеличиваться и по модулю останется равным пределу текучести s т (см.рис.3). Последующее увеличение нагрузок приведет к тому, что сначала во втором, а затем и в третьем стержнях начнется пластическое течение, т.е. напряжения достигнут предела текучести. Очевидно, что какими бы ни были в начале процесса монтажные или температурные напряжения, наконец наступает момент, когда во всех стержнях напряжения достигнут предела текучести (т.к. они не могут принять больших значений, согласно диаграмме деформирования на рис.3). Достигнутые значения сил F = F пр и Q = Q пр называются предельными, т.к. их увеличение невозможно, а система начнет неограниченно деформироваться. Поскольку усилия N i в предельном состоянии известны (т.к. выражаются через напряжения), то из уравнения равновесия определяется F пр . Из условия безопасности нагружения находятся допустимые нагрузки
 |
Как видно из рассуждений при решении задачи 3, наличие изменений температуры или неточностей изготовления стержней не уменьшает грузоподъемности конструкции, если стержни изготовлены из упруго-идеально-пластического материала.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Преподаватель может конкретизировать задачу подбора стержней, потребовав использовать сортамент прокатной стали, например, подобрать составное сечение из уголков по таблицам сортамента (см. пример расчета).
2. При вычислениях достаточно оставлять 3 значащие цифры.
3. При подборе размеров стержней допускается 5 % перегрузки.
Пример расчета
Пусть дана шарнирно-стержневая система (рис.4). Известно, что
E = 2×10 4 кн/см 2 , s т = 24 кн/см 2 , a = 125×10 -7 1/град. (5)
Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. С кинематической точки зрения это такие стержневые системы, число степеней свободы которых меньше числа связей. Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.8.14 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.
Балка, изображенная на рис.8.14б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.
Прежде, чем приступать к расчету статически неопределимых систем, необходимо научиться определять степень их статической неопределимости. Одним из наиболее простых правил определения степени статической неопределимости является следующее:
,
(8.3)
где
число связей, накладываемых на конструкцию;
число возможных независимых уравнений
равновесия, которые можно составить
для рассматриваемой системы.
Воспользуемся уравнением (8.3) для определения степени статической неопределимости систем, изображенных на рис 8.14.
Балка,
изображенная на рис 8.14а, является один
раз статически неопределимой, так как
имеет три связи на левой опоре и одну
связь на правой опоре. Независимых
уравнений равновесия для такой балки
можно составить только три. Таким
образом, степень статической неопределимости
балки
.
Неразрезная балка, изображенная на рис
8.14б также один раз статически неопределима,
так как обладает двумя связями на левой
опоре и по одной связи на промежуточной
опоре и на правой опоре – всего четыре
связи. Таким образом, степень ее
статической неопределимости
.
Рама,
изображенная на рис. 8.14в, три раза
статически неопределима, так как обладает
шестью связями в опорах. Независимых
уравнений равновесия для этой рамы
можно составить только три. Таким
образом, степень статической неопределимости
для этой рамы из уравнения (8.3) равна:
.
Степень статической неопределимости
рамы, изображенной на рис.8.18,г равна
четырем, так как рама обладает семью
связями на опорах. Следовательно, степень
ее статической неопределимости равна
.
Правило (8.3) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис 8.15 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (8.3), определить невозможно.
Внешне, система, приведенная на рис 8.15, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (8.3): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (8.3) нельзя. Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.
Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (Рис.8.16).
Рис.8.16. Простой шарнир
Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (Рис.8.17).
Рис.8.17. Сложный шарнир
Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:
,
(8.4)
где
число стержней, входящих в узел.
Пересчитаем
сложный шарнир, изображенный на рис.8.17
в число простых шарниров с помощью
формулы (8.4):
.
Таким образом, сложный шарнир, изображенный
на рис.8.17, можно заменить четырьмя
простыми шарнирами.
Введем еще одно понятие замкнутый контур .
Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.
Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (Рис.8.18).
Разрежем
замкнутый контур вертикальным сечением
и покажем внутренние силовые факторы,
возникающие в месте сечения. В каждом
из сечений возникают три внутренних
фактора: поперечная сила
,
изгибающий момент
и продольная сила
.
Всего на каждую из отсеченных частей
контура кроме внешних сил действуют
шесть внутренних факторов (Рис.8.18,б,в).
Рассматривая равновесие одной из
отсеченных частей, например, левой
(Рис.8.18,б), выясняем, что задача три раза
статически неопределима, так как для
отсеченной части можно составить всего
три независимых уравнения равновесия,
а неизвестных сил, действующих на
отсеченную часть, шесть. Таким образом,
степень статической неопределимости
замкнутого контура равна
.
Теорема доказана.
Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:
,
(8.5)
где
число замкнутых контура;
число шарниров в пересчете на простые
(8.4).
Пользуясь
уравнением (8.5), определим степень
статической неопределимости рамы,
изображенной на рис 8.15. Рама имеет пять
контуров
,
включая контур, образуемый опорными
стержнями. Шарнир в узле D простой, так
как соединяет два стержня. Шарнир в
сечении К – сложный, так как соединяет
четыре стержня. Число простых шарниров,
которые могли бы заменить шарнир в
сечении К, равно по формуле (8.4):
.
Шарнир С также является сложным, так
как соединяет три стержня. Для этого
шарнира
.
Кроме того, система имеет еще два простых
шарнира, с помощью которых крепится к
основанию. Таким образом, число простых
шарниров в системе равно
.
Подставляя число замкнутых контуров
и число простых шарниров
в формулу (8.5) определяем степень
статической неопределимости рамы:
.
Таким образом, изображенная на рис. 8.15
рама, семь раз статически неопределима.
А это означает, что для расчета подобной
системы необходимо составить дополнительно
к трем уравнениям равновесия семь
уравнений совместности деформаций.
Решая полученную таким образом систему
из 10 уравнений относительно неизвестных,
входящих в эти уравнения, можно определить
как величины реакций во внешних связях,
так и внутренние усилия, возникающие в
раме. Процедуру решения этой задачи
можно несколько упростить, исключив из
системы уравнений уравнения равновесия.
Однако такой подход требует применения
специальных методов решения, одним из
которых является метод сил.
Для решения большинства статически неопределимых встречающихся на практике задач обозначенные приемы оказываются, однако, далеко не достаточными. Поэтому необходимо остановиться на более общих методах раскрытия статической неопределимости на примере стержневых систем.
Под стержневой системой в широком смысле слова понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают в основном на растяжение или сжатие, то стержневая система называется фермой (рис. 1).
Рис.1. Расчетная схема формы
Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники. Для формы характерно приложение внешних сил в узлах.
Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой (рис. 2).
Особую, наиболее простую для исследования группу стержневых систем составляют плоские системы. У плоской рамы или фермы оси всех составляющих элементов до и после деформации расположены в одной плоскости. В этой же плоскости действуют все внешние силы, включая и реакции опор (см. рис. 2,а ).
Наряду с плоскими рассматриваются так называемые плоско-пространственные системы. Для такого рода систем оси составляющих элементов в недеформированном состоянии располагаются, как и для плоских систем, в одной плоскости. Внешние же силовые факторы действуют в плоскостях, перпендикулярных к этой плоскости (рис. 2,в) . Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным классам, называются пространственными (рис.2,в ).
Рамы и фермы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые . Под статически определимой понимается такая кинематически неизменяемая система, для которой все реакции опор могут быть определены при помощи уравнений равновесия, а затем при найденных опорных реакциях методом сечений могут быть найдены также и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении. Под статически неопределимой системой имеется в виду такая, опять же кинематически неизменяемая система, для которой определение внешних реакций и внутренних силовых факторов не может быть произведено при помощи метода сечений и уравнений равновесия.
а) плоская, б) плоскопространственная. в) пространственная
Рис.2. Расчетные схемы рамных конструкций:
Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени или числа статической неопределимости . В зависимости от этого числа системы разделяются на один, два, три...., n раз статически неопределимые. Иногда говорят, что степень статической неопределимости равна числу дополнительных связей, наложенных на систему. Остановимся на этом вопросе подробнее.
Положение жесткого бруса в пространстве определяется шестью независимыми координатами, иначе говоря, жесткий брус обладает шестью степенями свободы. На брус могут быть наложены связи, т. е. ограничения, обусловливающие его определенное положение в пространстве. Наиболее простыми связями являются такие, при которых полностью исключается то или иное обобщенное перемещение для некоторых сечений бруса. Наложение одной связи снимает одну степень свободы с бруса как с жесткого целого. Следовательно, если на свободный жесткий брус наложено шесть связей, то положение его в пространстве как жесткого целого будет, за некоторыми исключениями, определено полностью и система из механизма, обладающего шестью степенями свободы, превращается в кинематически неизменяемую систему. То число связей, при котором достигается кинематическая неизменяемость, носит название необходимого числа связей . Всякую связь, наложенную сверх необходимых, называют дополнительной . Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы.
Связи в рамах и стержневых системах делят обычно на связи внешние и связи внутренние, или взаимные. Под внешними связями понимаются условия, накладываемые на абсолютные перемещения некоторых точек системы.
а)внешняя связь, б) две внешние связи в) шесть внешних связей в общем случае
Рис.3. Схемы эквивалентных связей
Если, например, на левый конец бруса (рис. 3, а ) наложено условие, запрещающее вертикальное перемещение, говорят, что в этой точке имеется одна внешняя связь. Условно она изображается в виде двух шарниров или катка. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное смещение, говорят, что наложены две внешние связи (рис. 3, б ). Заделка в плоской системе дает три внешние связи. Пространственная заделка соответствует шести внешним связям (рис. 3, б ). Внешние связи часто, как уже упоминалось, делят на необходимые и дополнительные. Например, на рис. 4, а и б показана плоская рама, имеющая в первом случае три внешние связи, а во втором - пять внешних связей. Для того чтобы определить положение рамы в плоскости как жесткого целого, необходимо наложение трех связей. Следовательно, в первом случае рама имеет необходимые внешние связи, а во втором, кроме того, две дополнительные внешние связи.
а) три внешних связи, б) пять внешних связей
Рис.4. Плоская рама
Под внутренними, или взаимными, связями понимаются ограничения, накладываемые на взаимные смещения элементов рамы. Здесь также можно говорить как о необходимых, так и о дополнительных связях. Так, например, плоская рама, показанная на рис. 5, а , имеет необходимое количество как внешних, так и внутренних связей между элементами. Это - кинематически неизменяемая система. Если будут заданы внешние силы, мы сможем найти как реакции опор, так и внутренние силовые факторы в любом поперечном сечении рамы. В той же раме, показанной на рис. 5, б , дополнительно наложены две дополнительные внутренние связи, запрещающие взаимное вертикальное и горизонтальное смещения точек А и В . Система в данном случае дважды статически неопределима (иногда добавляют: «внутренним образом»).
В раме рис. 4, а и б также имеются внутренние дополнительные связи. Контур рамы полностью замкнут. Разрезая его в любом сечении (рис.5 в), мы, не нарушая кинематической неизменяемости, получаем возможность при заданных силах найти внутренние силовые факторы в каждом сечении рамы. Следовательно, разрезая замкнутую раму, мы снимаем дополнительные связи, т.е. позволяем сечениям А и В поворачиваться и смещаться в двух направлениях друг относительно друга. Обобщая, можно сказать, что замкнутый плоский контур имеет три дополнительные взаимные связи- трижды статически неопределим. Таким образом, рама, показанная на рис. 4, а , трижды статически неопределима. Рама, показанная на рис. 4, б , пять раз статически неопределима (три раза внутренним образом и два раза - внешним).
а) кинематически неизменяемая, б) неопределимая внутренним образом, в)со снятием дополнительных связей
Рис.5. Классификационные признаки рам:
Рассмотрим теперь несколько примеров определения степени статической неопределимости стержневых и рамных систем. На рис. 6 показано несколько рам. Последовательно рассмотрим их.
а) Рама имеет четыре дополнительные внешние связи и три взаимные связи, т. е. семь раз статически неопределима.
б) Полагаем сначала, что шарнир А отсутствует. Тогда имеются две внешние и три внутренние дополнительные связи. Система без шарнира А была бы пять раз статически неопределимой.
Шарнир А принадлежит одновременно трем стержням. Его можно рассматривать как два совпавших шарнира (рис. 7). Так как каждый шарнир снимает одну связь, т. е. разрешает поворот одного сечения относительно другого, то можно сказать, что шарнир А снимает две связи. Система становится, таким образом, вместо пяти - три раза статически неопределимой.
Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что шарнир снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней. В данном случае в шарнире А сходятся три стержня и шарнир снимает две связи.
а) статически неопределимая - семь, б) - три, в) - четыре, г) - три, е) - двенадцать,
ж) - семь, д) - три, и) - тринадцать раз статически неопределима
Рис.6. Примеры рамных конструкций:
в) Если бы шарнир А отсутствовал, система была бы четыре раза внешним образом и три раза внутренним образом статически неопределимой, т. е. всего семь раз. Шарнир А снимает число связей, на единицу меньшее числа сходящихся в нем стержней, т. е. три связи. Рама четыре раза статически неопределима.
г) Рама три раза статически неопределима.
д) Внешние связи не удовлетворяют условиям кинематической неизменяемости. Это - механизм, точнее говоря, мгновенный механизм. Система имеет возможность поворачиваться относительно верхней опоры как жесткое целое Понятно, что угол поворота будет небольшим. Нижняя связь заклинится и будет достигнуто какое-то положение равновесия, но новое положение связей будет зависеть от жесткости системы. К раме неприменимы основные принципы сопротивления материалов: принцип неизменности начальных размеров и принцип независимости действия сил.
Рис.7. модель двух совпадших шарниров
е) Рама - пространственная. Имеется шесть дополнительных внешних связей (лишняя заделка) и шесть дополнительных взаимных связей (замкнутый контур) Система 12 раз статически неопределима.
ж) Система семь раз статически неопределима (один раз внешним образом и шесть раз - внутренним).
з) Здесь для плоской рамы не показаны внешние связи, но дана система внешних сил, удовлетворяющая условиям равновесия. В таком случае условились считать, что дополнительных внешних связей нет, и положение рамы в пространстве считается определенным; рассматриваются только внутренние связи. Система три раза статически неопределима.
и) Здесь также рассматриваются только внутренние связи, поскольку система указанных внешних сил удовлетворяет условиям равновесия. Нужно подсчитать, сколько сечений необходимо сделать в раме, чтобы, с одной стороны, она не «рассыпалась», а с другой, чтобы в ней не осталось ни одного замкнутого контура. Таких сечений следует сделать пять (см. рис. 6, и ). Система 30 раз статически неопределима.
Лекция № 38. Метод сил.
Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил . Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.
Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы .
а-д) модификации основной системы
Рис.1.
пример стержневой рамы:
Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а ), б ),..., которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,- с другой.
Рис.2. Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах - в)
После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать X i -, где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы X i , - являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.
а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3.
Пять разновидностей основных систем
Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы . На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.
Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.
Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.
Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы.
Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)
Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй - силе, вызвавшей это перемещение.
В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:
Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х 1 , а индекс [Х 1 , Х 2 ,..., Р ] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.
Аналогично можно записать:
Так как под величиной понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно С , - горизонтальное взаимное смещение тех же точек, есть взаимное угловое смещение сечений В и С . Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина .
В точках A и D смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.
Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений
Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину можно записать в следующем виде:
Что касается перемещений , и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р , а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины , ,... в уравнениях оставим неизменными.
Теперь уравнения примут вид:
Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил . Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).
Если , то
Следовательно, коэффициент это есть перемещение по направлению i -го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k -й фактор. Например, коэффициент уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С , которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет , горизонтальное перемещение в точке А будет и т. д.
а) , б) и
Рис.5.
Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:
Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения . Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.
Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину , следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k -й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы , , , , и в интегралах Мора заменим на , , , , и , понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k -го фактора. В итоге получим:
где , … - внутренние моменты и силы, возникающие под действием i -го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты получаются как результат перемножения i -го и k -го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то представляет собой результат перемножения i -х единичных эпюр на k -е единичные эпюры.
Очевидно, что
Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для , а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения и возникают под действием одной и той же силы, равной единице.
Величины , входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2,..., возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.
Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.
Рис.6. Заданная расчетная схема
Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами , и моментом и определяем эквивалентную систему (рис. 7).
Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р , включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных , ,
Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:
Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).
Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ . Величина определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:
Заметим, что величины при всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.
, 
, , , , , , .
Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:
, 
, 
Решая эти уравнения, находим:
Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.
Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.
Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в , и раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.
Лекция № 39. Расчет толстостенных цилиндров.
В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.
В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 - 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.
На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом , внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению .
Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.
Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим . Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу .
Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ , a - напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB , совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение , вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.
 | (1) |
Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du , и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет
R и подставим в него значение и и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )
 | (11) |
Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при
будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.