Многие процессы, которые встречаются в практике, бывают настолько сложными, что не могут быть непосредственно описаны дифференциальными уравнениями . В таких случаях очень ценным приёмом для выявления соотношения между переменными величинами служит анализ размерностей.
Этот метод не даёт полных сведений о соотношении между переменными, которое, в конечном счёте, должно быть выявлено экспериментально. Тем не менее, этот метод позволяет значительно сократить объём экспериментальных работ.
Таким образом, эффективное применение метода размерности возможно только при комбинировании его с экспериментом; при этом должны быть известны все факторы или переменные величины, которые оказывают влияние на исследуемый процесс.
Анализ размерности даёт логичное распределение величин по безразмерным группам. В общем виде функциональная зависимость N может быть представлена в виде формулы, которая называется формулой размерности:
Сюда входит (k + 1) величин с включением и величины N. Они могут быть переменными, постоянными, размерными и безразмерными. Однако в данном случае необходимо, чтобы для числовых величин, входящих в уравнение, которое характеризует физическое явление, была бы принята одна и та же система основных единиц измерения. При соблюдении этого условия уравнение остаётся справедливым при произвольно выбранной системе единиц измерения. Далее, эти основные единицы должны быть независимыми по своим размерностям, а число их таким, чтобы была возможность представить через них размерности всех величин, входящих в функциональную зависимость (3.73).
Такими единицами измерения могут быть любые три величины, входящие в уравнение (3.73) и являющиеся независимыми друг от друга в отношении размерности. Если принять, например, за единицы измерения длину L и скорость V, тем самым имеем заданными единицу длины L и единицу времени . Таким образом, для третьей единицы измерения нельзя принимать любую величину, размерность которой содержит только длину и время, такую как, например, ускорение, так как единица этой величины уже есть заданной в результате выбора единиц длины и скорости. Поэтому, дополнительно должна быть выбрана любая величина, в размерность которой входит масса, например, плотность, вязкость, сила и т.п.
На практике, например, при гидравлических исследованиях, оказывается целесообразным принять следующие три единицы измерения: скорость V 0 любой частицы потока, любую длину (диаметр трубопровода D или его длину L), плотность ρ выбранной частицы.
Размерность этих единиц измерения:
М/с; м; кг/м 3 .
Таким образом, уравнение для размерностей в соответствии с функциональной зависимостью (3.73) может быть представлено в следующем виде:
Значения N i и n i , взятые в системе основных единиц (метр, секунда, килограмм), можно выразить безразмерными числами:
; 
.
Поэтому, вместо уравнения (3.73) можно написать уравнение, в котором все величины выражены в относительных единицах (по отношению к V 0 , L 0 , ρ 0):
Поскольку п 1 , п 2 , п 3 представляют собой, соответственно, V 0 , L 0 , ρ 0 , то первые три члена уравнения превращаются в три единицы и функциональная зависимость принимает вид:
. (3.76)
В соответствии с π-теоремой любое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами. При исследованиях эта теорема позволяет определить связь не между самими переменными, а между некоторыми безразмерными их соотношениями, составленными по определённым законам.
Таким образом, функциональная зависимость между k + 1 размерными величинами N и n i в общем случае выражается как соотношение между (k + 1- 3) величинами π и π i (i = 4,5, ..., k), каждая из которых является безразмерной степенной комбинацией величин, входящих в функциональную зависимость. Безразмерные числа π носят характер критериев подобия, как это видно из следующего примера.
Пример 3.3. Определить функциональную зависимость для силы сопротивления F (Н = кг·м/с 2), которую испытывает пластина при обтекании жидкостью в направлении её длины.
Функциональную зависимость силы сопротивления можно представить в виде функции от ряда независимых переменных и определить её в условиях сходства:
,
где 
скорость обтекания, м/с; 
площадь пластины, м 2 ; 
плотность жидкости, кг/м 3 ; 
динамический коэффициент вязкости, Па·с ([Па·с] = кг/м·с); 
ускорение свободного падения, м/с 2 ; 
давление, Па (Па = кг/м·с); отношение высоты пластины к ее длине; угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, величины и безразмерные, остальные шесть – размерные. Три из них: 
, 
и приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только три безразмерных соотношения. Следовательно:
для силы сопротивления:
1 = z (показатели слева и справа при кг);
2 = - x (показатели слева и справа при с);
1 = х + 2у - 3z (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 2; у = 1; z = 1.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 1; у 1 = 0,5; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
имеем x 2 = 2; у 2 = - 0,5; z 2 = 0.
Функциональная зависимость:
Для давления:
имеем x 3 = 2; у 3 = 0; z 3 = 1.
Функциональная зависимость:
.
Очевидно, что 
, 
, 
.
Отсюда можно сделать вывод, что после исследования данного процесса при некоторых размерах, скоростях и т.п., можно установить как он будет протекать при других размерах и скоростях в том случае, если безразмерные отношения, составленные из этих переменных, для обоих случаев будут одинаковые. Итак, выводы, полученные при экспериментах с телами данных размеров, движущихся с данной скоростью и т.д., будут, очевидно, справедливы и для любых других размеров тела, скорости и т.д. при условии равенства безразмерных отношений 
с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.4. На основе предыдущих исследований на лабораторном устройстве определить функциональную зависимость мощности N (Вт = кг·м 2 /с 3) электродвигателя мешалки, которая необходима для перемешивания пульпы с реагентами в контактном чане.
Для подобия двух смесительных систем требуется:
Геометрическое подобие, при котором отношение величин для рассматриваемых систем должны быть равны между собой;
Кинематическое подобие, когда скорости в соответствующих точках должны быть в таком же отношении, как и скорости в других соответствующих точках, то есть пути движения пульпы должны быть подобными;
Динамическое подобие, которое требует, чтобы отношение сил в соответствующих точках было бы равным отношению сил в других соответствующих точках.
Если граничные условия фиксированные, можно одну переменную величину выразить через другие переменные, то есть функциональную зависимость мощности электродвигателя мешалки можно представить в виде функции от ряда независимых переменных величин и определить её по критериям подобия:
,
где диаметр мешалки, м; плотность пульпы, кг/м 3 ; 
скорость вращения мешалки, с -1 ; динамический коэффициент вязкости, Па·с (Па·с=кг/м·с); ускорение свободного падения, м/с 2 – угол наклона пластины к направлению потока.
Таким образом, имеем пять размерных величин, три из них: , и 
приняты за основные. В соответствии с π-теоремой здесь возможны только два безразмерных соотношения. Следовательно:
.
Учитывая равенство размерностей для числителя и знаменателя, найдём показатели степеней:
для мощности электродвигателя мешалки:
,
3 = z (показатели слева и справа при с);
1 = в (показатели слева и справа при кг);
2 = х - 3у (показатели слева и справа при м).
Решение этих уравнений даёт: x = 5; у = 1; z = 3.
Функциональная зависимость:
Аналогично получим:
Для вязкости:
имеем x 1 = 2; у 1 = 1; z 1 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Для ускорения свободного падения:
имеем x 2 = 1; у 2 = 0; z 2 = 1.
Функциональная зависимость:
;
Очевидно, что , . Тогда искомая функциональная зависимость имеет вид:
.
Отсюда можно сделать вывод, что после нахождения функциональной зависимости мощности электродвигателя мешалки при некоторых её параметрах, можно установить какой она будет и при других размерах и скоростях и т.п. в том случае, если безразмерные отношения для обоих случаев будут одинаковы. Итак, выводы, полученные на экспериментальном устройстве, будут справедливы и для любых других при условии равенства безразмерных отношений с теми, что наблюдались при экспериментах.
Пример 3.5. Исследуется процесс обогащения в тяжелосредном сепараторе. На параметрической схеме процесса тяжелосредной сепарации (рис. 3.5) указаны входящие, исходящие и контролируемые параметры, а также возможные препятствия:
Входные и контролируемые параметры: Q вх - производительность сепаратора по исходному материалу; Q сусп - расход суспензии; V - объём ковша; Δρ - разница в плотностях суспензии и разделяемой фракции; ω - скорость вращения элеваторного колеса; п - число ковшей элеваторного колеса;
Выходные и контролируемые параметры: Q к-т - производительность сепаратора по концентрата; Q отх - производительность сепаратора по отходам;
Препятствия (неучтённые параметры, оказывающие влияние на процесс): влажность, гранулометрический и фракционный состав.
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин = кг/с; = м 3 /с; [Δ ] = кг/м 3 ; [V] = м 3 ; [ 
] = c –1 ; = кг/с; [n] = 8.
Основных размерных величин m = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q отх, V , Δ , ω.
0 = 3x - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у - 3z (показатели слева и справа при T);
Таким образом, x = 1; у = - 2; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности сепаратора по отходам от объёма ковша, скорости вращения элеваторного колеса и разницы в плотности суспензии и разделяемой фракции имеет вид:
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м 3 ; Δ = 100 кг/м 3 ; = 0,035 c –1 ; n = 8, в результате которых установлено, что Q отх = 42 кг/с:
Формула 
является математической моделью исследуемого процесса.
Пример 3.6. Исследуется процесс транспортировки концентрата крупностью 0,5 - 13 мм обезвоживающим элеватором багер-зумпфа:
Входные и контролируемые параметры: ω - вместимость ковша элеватора по твёрдому; ρ - плотность питания; V - скорость движения цепи элеватора;
Выходной и контролируемый параметр: Q - производительность обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5 - 13 мм;
Постоянные параметры: коэффициент заполнения ковшей 
= 0,5; влажность, гранулометрический и фракционный состав.
В рассматриваемом примере:
Проверяем, достаточно ли для расчёта модели количество параметров, для чего записываем размерности всех величин: [ω] = м 3 ; [ρ] = кг/м 3 ; [V] = м/с.
Основных размерных величин т = 3 (кг, м, с), поэтому в расчётах может быть использовано:
параметра, то есть Q, V, , ω.
Поскольку учтены не все параметры, в функциональную зависимость между выбранными параметрами добавляется коэффициент k:
,
или с использованием основных единиц измерения M, L, T:
0 = 3x + у - 3z (показатели слева и справа при L);
1 = - у (показатели слева и справа при T);
1 = z (показатели слева и справа при M).
Таким образом, x = 2/3; у = 1; z = 1, то есть функциональная зависимость производительности обезвоживающего элеватора багер-зумпфа по классу 0,5-13 мм от объёма ковша, скорости движения цепи элеватора и плотности питания имеет вид:
.
Величина коэффициента k определяется на основе предыдущих исследований при фиксированных параметрах: V = 0,25 м/с; = 1400 кг/м 3 ; = 50·10 –3 м 3 в результате которых установлено, что Q = 1,5 кг/с, кроме того, следует учесть коэффициент заполнения ковшей = 0,5 и тогда:
.
Формула 
является математической моделью процесса транспортировки концентрата крупностью 0,5-13 мм исследуемым обезвоживающим элеватором багер-зумпфа.
Следует иметь в виду, что чем меньше значение коэффициента k, тем больше значение рассматриваемых параметров.
Основные понятия теории моделирования
Моделированием называется метод экспериментального изучения модели явления вместо натурного явления. Модель выбирают так, чтобы результаты эксперимента можно было распространить на натурное явление.
Пусть моделируется поле величины w . Тогда при точном моделировании в сходственных точках модели и натурного объекта должно соблюдаться условие
где масштаб моделирования.
В случае приближенного моделирования получим
Отношение называется степенью искажения.
Если степень искажения не превосходит точности измерения, то приближенное моделирование не отличается от точного. Нельзя заранее сделать так, чтобы величина не превышала некоторого наперед заданного значения, так как в большинстве случаев ее нельзя заранее даже определить.
Метод аналогий
Если два физических явления различной физической природы описываются тождественными уравнениями и условиями однозначности (краевыми или в стационарном случае граничными условиями), представленными в безразмерной форме, то явления называются аналогичными. При этих же условиях явления одной физической природы называются подобными.
Несмотря на то, что аналогичные явления имеют различную физическую природу, они относятся к одному индивидуальному обобщенному случаю. Это обстоятельство позволило создать весьма удобный метод аналогий для изучения физических явлений. Сущность его состоит в следующем: обследованию подвергается не изучаемое явление, для которого трудно или невозможно измерить искомые величины, а специально подобранное аналогичное изучаемому. В качестве примера рассмотрим электротепловую аналогию. В этом случае изучаемое явление - стационарное температурное поле, а его аналогия - стационарное поле электрического потенциала
Уравнение теплопроводности
(9.3)
где абсолютная температура,
и уравнение электрического потенциала
(9.4)
где электрический потенциал, аналогичны. В безразмерной форме эти уравнения будут тождественны.
Если созданы граничные условия для потенциала, аналогичные условиям для температуры, то в безразмерной форме они будут также тождественны.
Электротепловая аналогия широко используется при изучении процессов теплопроводности. Например, температурные поля лопаток газовых турбинин были измерены этим методом.
Анализ размерностей
Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения - эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса
Анализ размерностей - это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.
Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m , время t , количество теплоты Q избыточную температуру . Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи температуропроводность a и т. п.
Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид
(9.5)
где Q –количество теплоты.
Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.
Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.
Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.
Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела , (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м 3), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м 2 К)), время периода , (с), характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида
Показатель степени при первичной величине называется раз мерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.
Заменим в физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим
В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.
Приравняем нулю показатели степеней одночлена:
для длины
a – b - 3i - 2k = 0; (9.8)
для количества теплоты Q
0; (9.9)
для времени
для температуры
для массы m
Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и kмогут быть выбраны произвольно.
Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим:
из (8.8), (8.9), (8.12)
f = -b - k ; (9.14)
r=b + k ; (9.15)
из (8.11) и (8.9)
n = b + f + k = b + (-b – k ) + k = 0; (9.16)
из (8.12) и (8.9)
i = f = -b -k. (9.17)
Теперь одночлен можно представить в форме
Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:
1. при этом запишем
В случаях, когда отсутствуют уравнения, описывающие процесс, и составить их не представляется возможным, для определения вида критериев, из которых следует составить уравнение подобия, можно воспользоваться анализом размерностей. Предварительно, однако, необходимо определить все параметры, существенные для описания процесса. Это можно сделать на основе опыта или теоретических соображений.
Метод размерностей подразделяет физические величины на основные (первичные), которые характеризуют меру непосредственно (без связи с другими величинами), и производные, которые выражаются через основные величины в соответствии с физическими законами.
В системе СИ основным единицам присваиваются обозначения: длина L , масса M , времяT , температураΘ , сила токаI , сила света J , количество веществаN .
Выражение производной величины φ через основные называется размерностью. Формула размерности производной величины, например при четырех основных единицах измерения L , M , T , Θ, имеет вид:
где a , b , c , d – действительные числа.
В соответствии с уравнением безразмерные числа имеют нулевую размерность, а основные величины – размерность, равную единице.
В основе метода кроме приведенного принципа лежит аксиома о том, что складываться и вычитаться могут только величины и комплексы величин, имеющие одинаковую размерность. Из этих положений вытекает, что если какая-либо физическая величина, например ∆ p , определяется как функция других физических величин в виде∆ p = f (V , ρ, η, l , d ) , то эта зависимость может быть представлена как:
,
где C – постоянная.
Если затем выразить размерность каждой производной величины через основные размерности, то можно найти величины показателей степени x , y , z и т.д. Таким образом:
В соответствии с уравнением после подстановки размерностей получим:
Группируя затем однородные члены, найдем:
Если в обеих частях уравнения приравнять показатели степени при одинаковых основных единицах, то получится следующая система уравнений:
В этой системе из трех уравнений пять неизвестных. Следовательно, любые три из этих неизвестных можно выразить через два остальных, а именно x , y иr черезz иv :
После
подстановки показателей степени
и
в степенные функции получается:
.
Критериальное уравнение описывает течение жидкости в трубе. В это уравнение входят, как было показано выше, два критерия-комплекса и один критерий-симплекс. Теперь же с помощью анализа размерностей установлены виды этих критериев: это критерий Эйлера Eu =∆ p /(ρ V 2 ) , критерий РейнольдсаRe = Vdρ /η и параметрический критерий геометрического подобия Г= l / d . Для того чтобы окончательно установить вид критериального уравнения, необходимо экспериментально определить значения постоянныхC , z и v в уравнении.
Экспериментальное определение констант критериального уравнения
При проведении опытов измеряют и определяют размерные величины, содержащиеся во всех критериях подобия. По результатам опытов вычисляют значения критериев. Затем составляют таблицы, в которые соответственно значениям критерия K 1 вписывают значения определяющих критериевK 2 , K 3 и т.д. Этой операцией завершается подготовительный этап обработки опытов.
Для обобщения табличных данных в виде степенной зависимости:
используется логарифмическая система координат. Подбором показателей степени m , n и т.д. добиваются такого расположения опытных точек на графике, чтобы через них можно было провести прямую линию. Уравнение прямой линии дает искомую зависимость между критериями.
Покажем, как на практике определить константы критериального уравнения:
.
В логарифмических координатах lgK 2 – lgK 1 это уравнение прямой линии:
.
Нанося опытные точки на график (Рис. 4), проводят через них прямую линию, наклон которой определяет значение постоянной m = tgβ .
Рис. 4. Обработка опытных данных
Остается
найти постоянную
.
Для любой точки прямой на графике
.
Поэтому значениеC
находят по любой паре соответствующих
значенийK
1
и
K
2
,
отсчитанных на прямой линии графика.
Для надежности значения
определяют по нескольким точкам прямой
и в конечную формулу подставляют среднее
значение:
При большем числе критериев определение констант уравнения несколько усложняется и проводится по методике, описанной в книге .
В логарифмических координатах не всегда удается расположить опытные точки вдоль прямой линии. Это случается, когда наблюдаемая зависимость не описывается степенным уравнением и надо искать функцию другого вида.
Следует подчеркнуть, что конечная цель в рассматриваемом случае остается прежней: нахождение чисел подобия, по которым следует вести моделирование, но решается она при существенно меньшем объеме информации о характере процесса.
Для уяснения дальнейшего кратко рассмотрим некоторые основополагающие понятия. Обстоятельное изложение можно найти в книге А.Н.Лебедева «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
Любой материальный объект обладает рядом свойств, которые допускают количественное выражение. При этом каждое из свойств характеризуется размером определенной физической величины. Единицы некоторых физических величин можно выбирать произвольно, и с их помощью представлять единицы всех остальных. Физические единицы, выбираемые произвольно, называют основными . В международной системе (применительно к механике) это - килограмм, метр и секунда. Остальные величины, выраженные через эти три, называют производными .
Основная единица может обозначаться либо символом соответствующей величины, либо специальным символом. Например, единицы длины - L , единицы массы - M , единица времени - T . Либо, единица длины - метр (м), единица массы - килограмм (кг), единица времени - секунда (с).
Под размерностью понимают символическое выражение (иногда его называют формулой) в виде степенного одночлена, связывающее производную величину с основными. Общий вид этой закономерности имеет вид
где x , y , z - показатели размерности.
Например, размерность скорости
Для безразмерной величины все показатели 
, и, следовательно, .
Два следующих утверждения достаточно ясны и не нуждаются в каких-либо специальных доказательствах.
Отношение размеров двух объектов является величиной постоянной вне зависимости от того, в каких единицах они выражаются. Так, например, если отношение площади, занимаемой окнами, к площади стен составляет 0,2, то этот результат останется неизменным, если сами площади выражать в мм2, м2или км2.
Второе положение можно сформулировать следующим образом. Любое правильное физическое соотношение должно быть размерностно однородным. Это означает, что все члены, входящие как в правую, так и в левую его части должны иметь одинаковую размерность. Это простое правило четко реализуется в житейском обиходе. Все осознают, что метры можно складывать только с метрами и никак не с килограммами или с секундами. Нужно четко представлять, что правило остается справедливым и при рассмотрении даже самых сложных уравнений.
Метод анализа размерностей базируется на так называемой -теореме (читается: пи-теорема). -теорема устанавливает связь между функцией, выраженной через размерные параметры, и функцией в безразмерной форме. Более полно теорема может сформулирована так:
Любая функциональная зависимость между размерными величинами может быть представлена в виде зависимости между N
безразмерными комплексами (числами ), составленными из этих величин. Число этих комплексов 
, где n
- число основных единиц. Как уже отмечалось выше, в гидромеханике (кг, м, с).
Пусть, например, величина А является функцией пяти размерных величин (), т.е.
(13.12)
Из -теоремы следует, что эта зависимость может быть преобразована в зависимость, содержащую два числа (
)
(13.13)
где и - безразмерные комплексы, составленные из размерных величин.
Эту теорему иногда приписывают Бэкингему и называют -теоремой Бэкингема. В действительности в её разработку внесли вклад многие крупные ученые, в том числе Фурье, Рябушинский, Рэлей.
Доказательство теоремы выходит за рамки курса. При необходимости оно может быть найдено в книге Л.И.Седова «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с. Подробное обоснование метода приводится и в книге В.А.Веникова и Г.В.Веникова «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с. Особенностью этой книги является то, что помимо вопросов, связанных с подобием, в нее включены сведения о методике постановки эксперимента и обработки его результатов.
Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функциональной зависимости вида (13.12), которая на следующем этапе обрабатывается специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел (чисел подобия).
Основным, носящим творческий характер, является первый этап, так как получаемые результаты зависят от того, насколько правильно и полно представление исследователя о физической природе процесса. Другими словами, насколько функциональная зависимость (13.12) правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Любая ошибка здесь неизбежно приводит к ошибочным выводам. В истории науки известна так называемая «ошибка Рэлея». Суть ее в том, что изучая задачу о теплообмене при турбулентном течении, Рэлей не учел влияние вязкости потока, т.е. не включил её в зависимость (13.12). В результате в конечные соотношения, полученные им, не вошло число подобия Рейнольдса, играющее исключительно важную роль в теплообмене.
Для уяснения сущности метода рассмотрим пример, иллюстрирующий как общий подход к задаче, так и способ получения чисел подобия .
Необходимо установить вид зависимости, позволяющий определить потери давления либо напора при турбулентном течении в круглых трубах.
Напомним, что эта задача уже рассматривалась в разделе 12.6. Поэтому представляет несомненный интерес установить, как она может быть разрешена с помощью анализа размерностей и дает ли это решение какую-то новую информацию.
Ясно, что падение давления вдоль трубы, обусловленное затратами энергии на преодоление сил вязкого трения обратно пропорционально её длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не , а , т.е. потери давления на единицу длины трубы. Напомним, что отношение , где - потери напора, носит название гидравлического уклона.
Из представлений о физической сущности процесса можно предположить что возникающие потери должны зависеть: от средней скорости течения рабочей среды (v); от размера трубопровода, определяемого его диаметром (d ); от физических свойств транспортируемой среды, характеризуемых её плотностью () и вязкостью (); и, наконец, разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхностью трубы, т.е. с шероховатостью (k ) ее стенок. Таким образом, зависимость (13.12) в рассматриваемом случае имеет вид
(13.14)
На этом и заканчивается первый и, нужно подчеркнуть, наиболее ответственный этап анализа размерностей.
В соответствии с -теоремой, число влияющих параметров, входящих в зависимость, . Следовательно, число безразмерных комплексов , т.е. после соответствующей обработки (13.14) должна принять вид
(13.15)
Существует несколько способов нахождения чисел . Мы воспользуемся методом, предложенным Рэлеем.
Основным достоинством его является то, что он представляет собой своеобразный алгоритм, приводящий к решению задачи.
Из параметров, входящих в (13.15) необходимо выбрать три любых, но так, чтобы в них входили основные единицы, т.е. метр, килограмм и секунда. Пусть ими будут v, d , . Легко убедиться, что они удовлетворяют поставленному требованию.
Образуются числа в виде степенных одночленов из выбранных параметров, умноженных на один из оставшихся в (13.14)
; (13.16)
; (13.17)
; (13.18)
Теперь задача сводится к нахождению всех показателей степеней. При этом они должны быть подобраны так, чтобы числа были безразмерны.
Для решения этой задачи определим прежде всего размерности всех параметров:
; ; 
Вязкость 
, т.е. 
.
Параметр 
, и 
.
И, наконец, .
Таким образом, размерности чисел будут
Аналогично два других
В начале раздела 13.3 уже отмечалось, что для любой безразмерной величины показатели размерности . Поэтому, например, для числа можем записать
Приравнивая показатели степеней, получаем три уравнения с тремя неизвестными
Откуда находим ; ; .
Подставляя эти значения в (13.6), получаем
(13.19)
Действуя аналогично, легко показать, что
и .
Таким образом, зависимость (13.15) принимает вид
(13.20)
Так как есть неопределяющее число подобия (число Эйлера), то (13.20) можно записать как функциональную зависимость
(13.21)
Следует иметь в виду, что анализ размерностей не дает и принципиально не может дать каких-то числовых значений в получаемых с его помощью соотношениях. Поэтому он должен завершаться анализом результатов и при необходимости их корректировкой, исходя из общих физических представлений. Рассмотрим с этих позиций выражение (13.21). В правую его часть входит квадрат скорости, но эта запись не выражает ничего, кроме того, что скорость возводится в квадрат. Однако, если поделить эту величину на два, т.е. , то как известно из гидромеханики, она приобретает важный физический смысл: удельной кинетической энергии, а - динамическое давление, обусловленное средней скоростью. С учетом этого (13.21) целесообразно записать в виде
(13.22)
Если теперь, как в (12.26), обозначить буквой , то приходим к формуле Дарси
(13.23)
(13.24)
где - гидравлический коэффициент трения, который, как следует из (13.22), является функцией числа Рейнольдса и относительной шероховатости (k/d ). Вид этой зависимости может быть найден только экспериментальным путем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержеев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов. М.:Высшая школа, 1976. - 389с.
2. Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.-307с.
3. Федяевский К.К., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. - М.: Судостроение, 1968. - 567 с.
4. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.
5. Аржаников Н.С. и Мальцев В.Н. Аэродинамика. - М.: Оборонгиз, 1956 - 483 с.
6. Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений. - К.: Наукова думка, 1964. - 530 с.
7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.
8. Дейли Дж., Харлеман Д. Механика жидкости. -М.: Энергия, 1971. - 480 с.
9. А.С. Монин, А.М. Яглом «Статистическая гидромеханика» (ч.1. -М.: Наука, 1968. -639 с.)
10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.
11. Павленко В.Г. Основы механики жидкости. - Л.: Судостроение, 1988. - 240 с.
12. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. - М.: Недра, 1970. - 215 с.
13. А.А.Гухман «Введение в теорию подобия». - М.: Высшая школа, 1963. - 253 с.
14. С. Клайн «Подобие и приближенные методы». - М.: Мир, 1968. - 302 с.
15. А.А.Гухман «Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. Процессы переноса в движущейся среде». - М.: Высшая шкала,1967. - 302 с.
16. А.Н.Лебедев «Моделирование в научно-технических исследованиях». - М.: Радио и связь. 1989. -224 с.
17. Л.И.Седов «Методы подобия и размерностей в механике» - М.: Наука, 1972. - 440 с.
18. В.А.Веников и Г.В.Веников «Теория подобия и моделирования» - М.: Высшая школа, 1984. -439 с.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЙ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ................................................................................................ 3
1.1. Векторы и операции над ними................................................... 4
1.2. Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля). ......................................................................................................... 5
1.3. Операции второго порядка........................................................ 6
1.4. Интегральные соотношения теории поля.................................. 7
1.4.1. Поток векторного поля.................................................. 7
1.4.2. Циркуляция вектора поля.............................................. 7
1.4.3. Формула Стокса............................................................. 7
1.4.4. Формула Гаусса-Остроградского.................................. 7
2. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА И ПАРАМЕТРЫ ЖИДКОСТИ. СИЛЫ И НАПРЯЖЕНИЯ........................................................................... 8
2.1. Плотность.................................................................................... 8
2.2. Вязкость....................................................................................... 9
2.3. Классификация сил.................................................................... 12
2.3.1. Массовые силы............................................................. 12
2.3.2. Поверхностные силы.................................................... 12
2.3.3. Тензор напряжения...................................................... 13
2.3.4. Уравнение движения в напряжениях........................... 16
3. ГИДРОСТАТИКА................................................................................. 18
3.1. Уравнение равновесия жидкости.............................................. 18
3.2. Основное уравнение гидростатики в дифференциальной форме. ......................................................................................................... 19
3.3. Эквипотенциальные поверхности и поверхности равного давления. ......................................................................................................... 20
3.4. Равновесие однородной несжимаемой жидкости в поле сил тяжести. Закон Паскаля. Гидростатический закон распределения давления... 20
3.5. Определение силы давления жидкости на поверхности тел.... 22
3.5.1. Плоская поверхность.................................................... 24
4. КИНЕМАТИКА..................................................................................... 26
4.1. Установившееся и неустановившееся движение жидкости...... 26
4.2. Уравнение неразрывности (сплошности)................................. 27
4.3. Линии тока и траектории.......................................................... 29
4.4. Трубка тока (поверхность тока)............................................... 29
4.5. Струйная модель потока........................................................... 29
4.6. Уравнение неразрывности для струйки................................... 30
4.7. Ускорение жидкой частицы...................................................... 31
4.8. Анализ движения жидкой частицы........................................... 32
4.8.1. Угловые деформации................................................... 32
4.8.2. Линейные деформации................................................. 36
5. ВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.............................................. 38
5.1. Кинематика вихревого движения............................................. 38
5.2. Интенсивность вихря................................................................ 39
5.3. Циркуляция скорости............................................................... 41
5.4. Теорема Стокса......................................................................... 42
6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ................................ 44
6.1. Потенциал скорости.................................................................. 44
6.2. Уравнение Лапласа................................................................... 46
6.3. Циркуляция скорости в потенциальном поле.......................... 47
6.4. Функция тока плоского течения............................................... 47
6.5. Гидромеханический смысл функции тока................................ 49
6.6. Связь потенциала скорости и функции тока............................ 49
6.7. Методы расчета потенциальных потоков................................ 50
6.8. Наложение потенциальных потоков......................................... 54
6.9. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра................ 58
6.10. Применение теории функций комплексного переменного к изучению плоских потоков идеальной жидкости............................................ 60
6.11. Конформные отображения..................................................... 62
7. ГИДРОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ............................. 65
7.1. Уравнения движения идеальной жидкости.............................. 65
7.2. Преобразование Громеки-Лэмба............................................. 66
7.3. Уравнение движения в форме Громеки-Лэмба........................ 67
7.4. Интегрирование уравнения движения для установившегося течения......................................................................................................... 68
7.5. Упрощенный вывод уравнения Бернулли............................... 69
7.6. Энергетический смысл уравнения Бернулли........................... 70
7.7. Уравнение Бернулли в форме напоров.................................... 71
8. ГИДРОДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 72
8.1. Модель вязкой жидкости.......................................................... 72
8.1.1. Гипотеза линейности................................................... 72
8.1.2. Гипотеза однородности................................................ 74
8.1.3. Гипотеза изотропности................................................. 74
8.2 Уравнение движения вязкой жидкости. (уравнение Навье-Стокса) ......................................................................................................... 74
9. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (основы гидравлики)........................................................................................................... 77
9.1. Расход потока и средняя скорость........................................... 77
9.2. Слабодеформированные потоки и их свойства....................... 78
9.3. Уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости................. 79
9.4. Физический смысл коэффициента Кориолиса......................... 82
10. КЛАССИФИКАЦИЯ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ.............................................................................................. 84
11. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЛАМИНАРНОГО РЕЖИМА ТЕЧЕНИЯ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ..................................................................................................... 86
12. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ. .................................................................................................................. 90
12.1. Общие сведения....................................................................... 90
12.2. Уравнения Рейнольдса............................................................ 92
12.3. Полуэмпирические теории турбулентности.......................... 93
12.4. Турбулентное течение в трубах............................................. 95
12.5. Степенные законы распределения скоростей....................... 100
12.6. Потери давления (напора) при турбулентном течении в трубах. ......................................................................................................... 100
13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ............... 102
13.1. Инспекционный анализ дифференциальных уравнений..... 106
13.2. Понятие об автомодельности................................................ 110
13.3. Анализ размерностей............................................................ 111
Литература …………………………………………………………………..118