Рассмотрим способы моделирования на ЭВМ потоков заявок, поступающих в систему массового обслуживания. Сначала остановимся на достаточно простом и вместе с тем наиболее распространенном случае, когща в систему поступает ординарный стационарный поток однородных событий с ограниченным последействием (поток типа Пальма).
Любой поток типа Пальма может быть задан функцией плотности случайных интервалов между последовательными моментами - поступления заявок. Для моделирования его на ЭВМ достаточно построить необходимое число реализаций потока, т. е. таких неслучайных последовательностей моментов
поступления заявок в систему, интервалы между которыми являлись бы возможными значениями случайных величин описываемых функцией плотности
Процедура построения последовательности состоит в следующем. Сначала формируется Функция плотности может быть определена через по формуле Пальма (4.4). Тогда, исходя из наличия в ЭВМ электронного или алгоритмического датчика случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0,1), приступаем к формированию Для этого одним из способов, рассмотренных в главе П, преобразуем случайное число в случайное число имеющее функцию плотности Получив полагаем
В дальнейшем процедура получения любого совпадает с процедурой формирования т. е. очередное случайное число преобразуется в случайное число имеющее функцию плотности и
Рассмотрим некоторые примеры, часто встречающиеся при решении практических задач методом статистического моделирования.
Пример 1. Простейший (пауссоновский) поток.
Как отмечалось выше, простейший (пауссоновский) поток является стационарным ординарным потоком однородных событий без последействия, т. е. одним из возможных частных случаев потоков типа Пальма. Функция плотности для простейшего потока имеет вид показательного распределения (4.6):
где - интенсивность потока, определяющая среднее значение числа заявок, поступающих в единицу времени.
Чтобы определить функцию плотности для первого интервала, воспользуемся формулой Пальма.
После несложных вычислений получаем:
Отсюда следует, что функция плотности первого интервала для простейшего потока имеет тот же вид, что и Этим свойством в общем случае, не обладают другие потоки типа Пальма.
Таким образом, для формирования реализаций простейшего потока необходимо иметь последовательность случайных чисел имеющих показательное распределение (4.6) с параметром К. Методику получения такой последовательности мы рассматривали в главе II. В соответствии с (2.15) случайные числа могут быть получены по формуле
где - случайные числа с равномерным распределением в интервале (0,1).
Последовательность моментов поступления заявок будет следующей:
Пример 2. Поток с равномерным распределением интервалов
Функция плотности рассматриваемого потока имеет вид равномерного распределения:
Можно показать, что среднее значение (математическое ожидание) случайной величины равно Поэтому среднее число заявок, поступивших в единицу времени (интенсивность потока):
Определим функцию плотности для первого интервала. По формуле Пальма аналогично формуле (4.11):
Заметим, что среднее значение длительности первого интервала может быть получено как математическое ожидание случайной величины, имеющей функцию плотности (4.16):
Перейдем к формированию первого интервала Для этого, имея случайные числа с равномерным законом распределения в интервале (0,1), необходимо получить случайное число соответствующее функции плотности (4.16). Преобразуем соотношение (4.16) следующим образом. Подставим в него вместо величины ее значение из равенства (4.15). Тогда можно записать функцию плотности
Необходимо отметить, что потоки, рассмотренные в примерах 1 и 2, отличаются благоприятной особенностью: интегралы в формуле Пальма и формулах преобразования случайных чисел берутся в конечном виде. В общем случае эти интегралы могут оказаться неберущимися. Кроме того, функции плотности иногда задаются таблично по (результатам обработки статистического материала. На практике в такого рода ситуациях пользуются приближенными методами. Интеграл в формуле Пальма вычисляется обычно для заданного набора численными методами. Это не оказывается существенно на объеме вычислений, так как формула Пальма применяется только один раз для данного потока. Преобразование случайных чисел выполняется, как правило, методом кусочной аппроксимации функции плотности в соответствии с соотношениями (2.23), (2.24) и (2.25).
4. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
4.1. Классификация систем массового обслуживания и их показатели эффективности
Системы, в которых в случайные моменты времени возникают заявки на обслуживание и имеются устройства для обслуживания этих заявок, называются системами массового обслуживания (СМО).
СМО могут быть классифицированы по признаку организации обслуживания следующим образом:
Системы с отказами не имеют очередей.
Системы с ожиданием имеют очереди.
Заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты:
Покидает систему с отказами;
Становится в очередь на обслуживание в системах с ожиданием при неограниченной очереди или на свободное место при ограниченной очереди;
Покидает систему с ожиданием при ограниченной очереди, если в этой очереди нет свободного места.
В качестве меры эффективности экономической СМО рассматривают сумму потерь времени:
На ожидание в очереди;
На простои каналов обслуживания.
Для всех видов СМО используются следующие показатели эффективности :
- относительная пропускная способность - это средняя доля поступающих заявок, обслуживаемых системой;
- абсолютная пропускная способность - это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
- вероятность отказа - это вероятность того, что заявка покинет систему без обслуживания;
- среднее число занятых каналов - для многоканальных СМО.
Показатели эффективности СМО рассчитываются по формулам из специальных справочников (таблиц). Исходными данными для таких расчетов являются результаты моделирования СМО.
4.2. Моделирование системы массового обслуживания:
основные параметры, граф состояний
При всем многообразии СМО они имеют общие черты , которые позволяют унифицировать их моделирование для нахождения наиболее эффективных вариантов организации таких систем .
Для моделирования СМО необходимо иметь следующие исходные данные:
Основные параметры;
Граф состояний.
Результатами моделирования СМО являются вероятности ее состояний, через которые выражаются все показатели ее эффективности.
Основные параметры для моделирования СМО включают:
Характеристики входящего потока заявок на обслуживание;
Характеристики механизма обслуживания.
Рассмотрим характеристики потока заявок .
Поток заявок - последовательность заявок, поступающих на обслуживание.
Интенсивность потока заявок - среднее число заявок, поступающих в СМО в единицу времени.
Потоки заявок бывают простейшими и отличными от простейших.
Для простейших потоков заявок используются модели СМО.
Простейшим , или пуассоновским называется поток, являющийся стационарным , одинарным и в нем отсутствуют последействия .
Стационарность означает неизменность интенсивности поступления заявок с течением времени.
Одинарным поток заявок является в том случае, когда за малый промежуток времени вероятность поступления более чем одной заявки близка к нулю.
Отсутствие последействия заключается в том, что число заявок, поступивших в СМО за один интервал времени, не влияет на количество заявок, полученных за другой интервал времени.
Для отличных от простейших потоков заявок используются имитационные модели.
Рассмотрим характеристики механизма обслуживания .
Механизм обслуживания характеризуется:
- числом каналов обслуживания ;
Производительностью канала, или интенсивностью обслуживания - средним числом заявок, обслуживаемых одним каналом в единицу времени;
Дисциплиной очереди (например, объемом очереди , порядком отбора из очереди в механизм обслуживания и т. п.).
Граф состояний описывает функционирование системы обслуживания как переходы из одного состояния в другое под действием потока заявок и их обслуживания.
Для построения графа состояний СМО необходимо:
Составить перечень всех возможных состояний СМО;
Представить перечисленные состояния графически и отобразить возможные переходы между ними стрелками;
Взвесить отображенные стрелки, т. е. приписать им числовые значения интенсивностей переходов, определяемые интенсивностью потока заявок и интенсивностью их обслуживания.
4.3. Вычисление вероятностей состояний
системы массового обслуживания
Граф состояний СМО со схемой "гибели и рождения"
представляет собой линейную цепочку, где каждое из средних состояний имеет прямую и обратную связь с каждым из соседних состояний, а крайние состояния только с одним соседним:
Число состояний в графе на единицу больше, чем суммарное число каналов обслуживания и мест в очереди.
СМО может быть в любом из своих возможных состояний, поэтому ожидаемая интенсивность выхода из какого-либо состояния равна ожидаемой интенсивности входа системы в это состояние. Отсюда система уравнений для определения вероятностей состояний при простейших потоках будет иметь вид:
где - вероятность того, что система находится в состоянии
- интенсивность перехода, или среднее число переходов системы в единицу времени из состояния в состояние .
Используя эту систему уравнений, а также уравнение
вероятность любого -ого состояния можно вычислить по следующему общему правилу :
вероятность нулевого состояния рассчитывается как
а затем берется дробь, в числителе которой стоит произведение всех интенсивностей потоков по стрелкам, ведущим слева направо от состояния до состояния а в знаменателе - произведение всех интенсивностей по стрелкам, идущим справа налево от состояния до состояния , и эта дробь умножается на рассчитанную вероятность
Выводы по четвертому разделу
Системы массового обслуживания имеют один или несколько каналов обслуживания и могут иметь ограниченную или неограниченную очередь (системы с ожиданием) заявок на обслуживание, не иметь очереди (системы с отказами). Заявки на обслуживание возникают в случайные моменты времени. Системы массового обслуживания характеризуются следующими показателями эффективности: относительная пропускная способность, абсолютная пропускная способность, вероятность отказа, среднее число занятых каналов.
Моделирование систем массового обслуживания осуществляется для нахождения наиболее эффективных вариантов их организации и предполагает следующие исходные данные для этого: основные параметры, граф состояний. К таким данным относятся следующие: интенсивность потока заявок, количество каналов обслуживания, интенсивность обслуживания и объем очереди. Число состояний в графе на единицу больше, чем сумма числа каналов обслуживания и мест в очереди.
Вычисление вероятностей состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения» осуществляется по общему правилу.
Вопросы для самопроверки
Какие системы называются системами массового обслуживания?
Как классифицируются системы массового обслуживания по признаку их организации?
Какие системы массового обслуживания называются системами с отказами, а какие – с ожиданием?
Что происходит с заявкой, поступившей в момент времени, когда все каналы обслуживания заняты?
Что рассматривают в качестве меры эффективности экономической системы массового обслуживания?
Какие используются показатели эффективности системы массового обслуживания?
Что служит исходными данными для расчетов показателей эффективности систем массового обслуживания?
Какие исходные данные необходимы для моделирования систем массового обслуживания?
Через какие результаты моделирования системы массового обслуживания выражают все показатели ее эффективности?
Что включают основные параметры для моделирования систем массового обслуживания?
Чем характеризуются потоки заявок на обслуживание?
Чем характеризуются механизмы обслуживания?
Что описывает граф состояний системы массового обслуживания
Что необходимо для построения графа состояний системы массового обслуживания?
Что представляет собой граф состояний системы массового обслуживания со схемой «гибели и рождения»?
Чему равно число состояний в графе состояний системы массового обслуживания?
Какой вид имеет система уравнений для определения вероятностей состояний системы массового обслуживания?
По какому общему правилу вычисляется вероятность любого состояния системы массового обслуживания?
Примеры решения задач
1. Построить граф состояний системы массового обслуживания и привести основные зависимости ее показателей эффективности.
а) n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Основные параметры:
Каналов ,
Интенсивность потока ,
Интенсивность обслуживания .
Возможные состояния системы:
Все каналов заняты ( заявок в системе).
Граф состояний:
Относительная пропускная способность ,
Вероятность отказа ,
Среднее число занятых каналов .
б) n-канальная СМО с m-ограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналы заняты, две заявки в очереди;
Все каналы заняты, заявок в очереди.
Граф состояний:
в) Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Канал занят, ноль заявок в очереди;
Канал занят, одна заявка в очереди;
...................................................................................
Канал занят, заявка в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
,
Среднее время пребывания заявки в системе 
,
,
,
Абсолютная пропускная способность ,
Относительная пропускная способность .
г) n-канальная СМО с неограниченной очередью
Возможные состояния системы:
Все каналы свободны (ноль заявок в системе);
Один канал занят, остальные свободны (одна заявка в системе);
Два канала заняты, остальные свободны (две заявки в системе);
...................................................................................
Все каналов заняты ( заявок в системе), ноль заявок в очереди;
Все каналы заняты, одна заявка в очереди;
....................................................................................
Все каналы заняты, заявок в очереди;
....................................................................................
Граф состояний:
Показатели эффективности системы:
Среднее число занятых каналов ,
Среднее число заявок в системе ,
Среднее число заявок в очереди ,
Среднее время пребывания заявки в очереди .
2. Вычислительный центр имеет три ЭВМ. В центр поступает на решение в среднем четыре задачи в час. Среднее время решения одной задачи - полчаса. Вычислительный центр принимает и ставит в очередь на решение не более трех задач. Необходимо оценить эффективность центра.
РЕШЕНИЕ. Из условия ясно, что имеем многоканальную СМО с ограниченной очередью:
Число каналов ;
Интенсивность потока заявок (задача / час);
Время обслуживания одной заявки (час / задача), интенсивность обслуживания (задача / час);
Длина очереди .
Перечень возможных состояний:
Заявок нет, все каналы свободны;
Один канал занят, два свободны;
Два канала заняты, один свободен;
Три канала заняты;
Три канала заняты, одна заявка в очереди;
Три канала заняты, две заявки в очереди;
Три канала заняты, три заявки в очереди.
Граф состояний:
Рассчитаем вероятность состояния :
Показатели эффективности:
Вероятность отказа (все три ЭВМ заняты и три заявки стоят в очереди)
Относительная пропускная способность
Абсолютная пропускная способность
Среднее число занятых ЭВМ
3. (Задача с использованием СМО с отказами.) В ОТК цеха работают три контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24, среднее время, которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, деталь пройдет ОТК необслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы (* - заданное значение ).
РЕШЕНИЕ. По условию задачи , тогда .
1) Вероятность простоя каналов обслуживания:
,
3) Вероятность обслуживания:
4) Среднее число занятых обслуживанием каналов:
.
5) Доля каналов, занятых обслуживанием:
6) Абсолютная пропускная способность:
При . Произведя аналогичные расчеты для , получим
Так как , то произведя расчеты для , получим
ОТВЕТ. Вероятность того, что при деталь пройдет ОТК необслуженной, составляет 21%, и контролеры будут заняты обслуживанием на 53%.
Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее пяти контролеров.
4. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием.) Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров () для обслуживания вкладчиков . Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика мин.
Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
РЕШЕНИЕ. Интенсивность потока обслуживания , интенсивность нагрузки .
1) Вероятность простоя контролеров-кассиров в течение рабочего дня (см. предыдущую задачу №3):
.
2) Вероятность застать всех контролеров-кассиров занятыми:
.
3) Вероятность очереди:
.
4) Среднее число заявок в очереди:
.
5) Среднее время ожидания заявки в очереди:
мин.
6) Среднее время пребывания заявки в СМО:
7) Среднее число свободных каналов:
.
8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:
.
9) Среднее число посетителей в сберкассе:
ОТВЕТ. Вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени , вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8%, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.
5. (Задача с применением СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.) Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день. Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами (). В магазине работают три фасовщика (), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение ч. Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 ч.
Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .
РЕШЕНИЕ. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
Авт./дн.
1) Найдем вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
причем 0!=1,0.
2) Вероятность отказа в обслуживании:
.
3) Вероятность обслуживания:
Так как 
, произведем аналогичные вычисления для , получим), при этом вероятность полной обработки товара будет .
Задания для самостоятельной работы
Для каждой из следующих ситуаций определить:
a) к какому классу относится объект СМО;
b) число каналов ;
c) длину очереди ;
d)интенсивность потока заявок ;
e) интенсивность обслуживания одним каналом;
f) количество всех состояний объекта СМО.
В ответах указать значения по каждому пункту, используя следующие сокращения и размерности:
a) ОО – одноканальная с отказами; МО – многоканальная с отказами; ОЖО – одноканальная с ожиданием с ограниченной очередью; ОЖН - одноканальная с ожиданием с неограниченной очередью; МЖО – многоканальная с ожиданием с ограниченной очередью; МЖН - многоканальная с ожиданием с неограниченной очередью;
b) =… (единиц);
c) =… (единиц);
d) =ххх/ххх (единиц /мин);
e) =ххх/ххх (единиц /мин);
f) (единиц).
1. Дежурный по администрации города имеет пять телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
2. На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается.
3. АТС предприятия обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговоров составляет 1 мин. На станцию поступает в среднем 10 вызовов в сек.
4. В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеются 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Ожидающие обслуживания сухогрузы стоят на рейде.
5. В службе «Скорой помощи» поселка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 мин.
6. Салон-парикмахерская имеет 4 мастера. Входящий поток посетителей имеет интенсивность 5 человек в час. Среднее время обслуживания одного клиента составляет 40 мин. Длина очереди на обслуживание считается неограниченной.
7. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин.
8. На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают три мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин.
9. АТС поселка обеспечивает не более 5 переговоров одновременно. Время переговоров в среднем составляет около 3 мин. Вызовы на станцию поступают в среднем через 2 мин.
10. На автозаправочной станции (АЗС) имеются 3 колонки. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более одной машины, и если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю станцию. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин.
11. В небольшом магазине покупателей обслуживают два продавца. Среднее время обслуживания одного покупателя – 4 мин. Интенсивность потока покупателей – 3 человека в минуту. Вместимость магазина такова, что одновременно в нем в очереди могут находиться не более 5 человек. Покупатель, пришедший в переполненный магазин, когда в очереди уже стоят 5 человек, не ждет снаружи и уходит.
12. Железнодорожную станцию дачного поселка обслуживает касса с двумя окнами. В выходные дни, когда население активно пользуется железной дорогой, интенсивность потока пассажиров составляет 0,9 чел./мин. Кассир затрачивает на обслуживание пассажира в среднем 2 мин.
Для каждой из указанных в вариантах СМО интенсивность потока заявок равна и интенсивность обслуживания одним каналом . Требуется:
Составить перечень возможных состояний;
Построить граф состояний по схеме "гибели и размножения".
В ответе указать для каждой задачи:
Количество состояний системы;
Интенсивность перехода из последнего состояния в предпоследнее.
Вариант № 1
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 1 заявку
2. 2-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 31-канальная СМО с 1-ограниченной очередью
5. 31-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 2
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 2 заявки
2. 3-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 30-канальная СМО с 2-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 30-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 3
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 3 заявки
2. 4-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 29-канальная СМО с 3-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 29-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 4
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 4 заявки
2. 5-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 28-канальная СМО с 4-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 28-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 5
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 5 заявок
2. 6-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 27-канальная СМО с 5-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 27-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 6
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 6 заявок
2. 7-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 26-канальная СМО с 6-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 26-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 7
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 7 заявок
2. 8-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 25-канальная СМО с 7-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 25-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 8
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 8 заявок
2. 9-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 24-канальная СМО с 8-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 24-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 9
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 9 заявок
2. 10-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 23-канальная СМО с 9-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 23-канальная СМО с неограниченной очередью
Вариант № 10
1. одноканальная СМО с очередью длиной в 10 заявок
2. 11-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
3. 22-канальная СМО с 10-ограниченной очередью
4. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
5. 22-канальная СМО с неограниченной очередью
Система (в нашем случае вычислительная система) изменяет свои состояния под действием потока заявок (заданий) -поступающие заявки (задания) увеличивают очередь. Число заданий в очереди плюс число заданий, которые обрабатываются ЭВМ (т.е. число заданий в системе), - это характеристика состояния системы . Очередь уменьшается, как только одна из ЭВМ заканчивает обработку (обслуживание) задания. Тотчас же на эту ЭВМ из очереди поступает стоящее впереди (или по какому-либо другому приоритету) задание и очередь уменьшается. Таким образом, число заданий в системе растет благодаря потоку заданий , а уменьшается благодаря окончанию обслуживания с помощью ЭВМ. Устройства обработки заявок в теории СМО называют каналами обслуживания. В этой теории поток заданий (заявок на обслуживание) характеризуется интенсивностью Л. - средним количеством заявок, поступающих в единицу времени (скажем, в час). Среднее время обслуживания (обработки) одного задания /о, определяет так называемую интенсивность потока обслуживания ц,
Такой подход позволит определить число бригад при различной интенсивности потока и продолжительности обслуживания.
В универсальном магазине (в отделе самообслуживания) на выходе планируется разместить кассы сканирования для приема от покупателей денег за товары. Интенсивность потока покупателей равна 6 чел. /мин. Интенсивность обслуживания составляет 1,4 чел./мин. Допустимая длина очереди не должна превышать трех человек.
Учитывая, что увеличение числа заявок (заданий) в системе (т.е. номера состояния) происходит под воздействием их потока с интенсивностью /, а уменьшение - под воздействием потока обслуживания с интенсивностью г, изобразим размеченный граф состояний нашей системы (рис. 3.3).
Наиболее общей является ситуация, когда интенсивность потока покупателей носит случайный характер, то есть подчиняется распределению Пуассона , а время обслуживания подчиняется закону обратного экспоненциального распределения . Не будем заниматься выводом формул, отметим лишь, что
В связи с тем что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, то расчеты длины очереди L и среднего времени ожидания обслуживания Тож, как и другие качественные параметры, будут сделаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различна и может меняться до 5 раз. Конечно, можно рассчитать эти параметры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоянном переходном процессе. В этом случае входной поток будет нестационарным и с последействием, так как математическое ожидание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3- 5 раз, а число заказов, поступивших, например, в 18 часов, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.
Пример 3.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки автомобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока автомобилей Л = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслуживании являются простейшими.
Параметр потока обслуживания л и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2
Заметим, что подобный расчет требуется не только при проектировании системы обслуживания он необходим при каждом серьезном изменении интенсивностей потоков заявок, их маршрутизации, трудоемкости обработки, требований к качеству обслуживания . Таким образом, необходимыми расчетными средствами должны быть оснащены не только проектировщики, но и управляющий персонал реально эксплуатируемых систем обслуживания.
О Пример. В пункте химчистки имеется три аппарата для чистки. Интенсивность потока посетителей А, = 6 (посетителей в час). Интенсивность обслуживания посетителей одним аппаратом i = 3 (посетителей в час). Среднее количество посетителей, покидающих очередь, не дождавшись обслуживания, VBS (посетитель в час). Найти абсолютную пропускную способность пункта.
Расчет производится на один год с учетом сложившихся в базисном году среднесуточного потока заявок на ремонт и интенсивности обслуживания 1 скважины.
Величину р называют приведенной плотностью потока требований или интенсивностью нагрузки, р - это среднее число требований, приходящееся на среднее время обслуживания одного требования.
СМОЬ СМО2 и СМО3 представляют собой пг, п2- и п3- канальные системы с неограниченной очередью и интенсивностью потоков обслуживании // , ju2 и //з, соответственно. Время повторного обслуживания заявки в
Одноканальная СМО с ожиданием. Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивностью X. Интенсивность потока обслуживания равна ц (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать ц обслуженных заявок). Длительность обслуживания - случайная величина , подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассо-новским потоком событий . Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Производительность канала -интенсивность простейшего потока обслуживании П0б (среднее число заявок, обслуживаемое каналом за единицу времени при непрерывной работе) in П0б = ju = onst 100 заявок/день
Суть упрощений при описании реального предпринимательского процесса моделью СМО состоит в следующем. Во-первых, все однотипные запросы и волеизъявления дотребителей о продаже им того или иного товара или оказании некоторых конкретных услуг представляются в виде так называемого потока заявок на обслуживание. Во-вторых, сложный процесс заключения коммерческого договора купли-продажи , оказания возмездных услуг и их исполнения коммерческим предприятием моделируется аналогично в виде потока обслуживания. При этом модельным аналогом конкретного работника предприятия, который обслуживает потребителя, или конкретного аппарата самообслуживания (колонка АЗС, телефонный канал АТС и т.п.) является так называемый канал обслуживания . В-третьих, вводят допущение о том, что все существенные характеристики как потока заявок, так и потока обслуживания сосредоточены только в единственном их параметре, который называют интенсивностью потока . При этом под интенсивностью потока понимают число событий в соответствующем потоке в единицу времени. Например, под интенсив-
Пример 3.4. Пусть -канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (п = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач , поступающих на ВЦ, имеет интенсивность Л = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания 7обсл =1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.
Полученные выше результаты относились к ситуации, когда интенсивность k потока заявок на восстановление не зависит от числа k находящихся в ремонтном органе необслуженных заявок. В противном случае говорят о замкнутых системах обслуживания. При ограниченном числе R источников заявок обычно считают, что А/ = А(Л - А). Методы расчета марковских систем подобного вида хорошо известны (формулы Энгсета). Рассчитывать немарковские системы значительно сложнее. Особенно труден анализ системы, где интенсивность отказов зависит от объема ЗИПа s (запас s рассматривается как холодный резерв, не подверженный отказам). Между тем этот случай достаточно типичен. Если считать, что в рабочей системе установлены R источников заявок, то интенсивность отказов будет оставаться постоянной и равной АЛ, пока в системе восстановления не скопится k > s заявок. Тогда интенсивность потока заявок начнет убывать по закону А = X. Методика расчета подобной СМО вида M/G/l/(R + s) была предложена автором в статье , оказалась весьма громоздкой и к тому же неприменимой для многоканальных систем восстановления. Однако ап-проксимационные методы, описанные в главе 3, без труда обобщаются и на этот случай. Здесь мы отметим особенности его реализации
Найдем способ расчета стационарных вероятностей состояний одношналъной системы с указанной зависимостью интенсивности потока от числа заявок в ней и произвольным распределением длительности обслуживания B(t).
Сам К.Эрланг изучал эту задачу в следующих предположениях поток требований - пуассоновский с интенсивностью J длительность обслуживания распределена по показательному закону , причем средняя продолжительность обслуживания. При названных предположениях К.Эрланг показал, что если число обслуживающих устройств равно /7 , то при стационарном пуас-соновском
Рассмотрим одноканальную систему
массового обслуживания (СМО) с ожиданием.
Пусть входящий поток заявок на обслуживание -
простейший поток с интенсивностью l
.
Интенсивность потока обслуживания равна m . Длительность обслуживания - случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания. Предположим, что СМО не может вместить более N заявок, т.е. заявки, не попавшие в ожидание, покидают СМО. Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:
Канал свободен;
Канал занят, очереди нет;
Канал занят, одна заявка в очереди;
..............................
Канал занят, n-1 заявка в очереди;
Канал занят, N-1 заявка в очереди.
Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:
, n=0,
...................................
-( , 0 ................................... n - номер состояния. Система уравнений имеет следующее
решение:: Если , n=1, 2, ..., N, Выполнение условия стационарности r
< 1 не обязательно, поскольку
число допускаемых в СМО заявок контролируется
путем введения ограничения на длину очереди.
Определим характеристики одноканальной СМО с
ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной
(N-1): 2) относительная пропускная способность
СМО: 3) абсолютная пропускная способность
СМО: 4) среднее число находящихся в СМО
заявок: 5) среднее время пребывания заявки в СМО: 6) средняя продолжительность пребывания
клиента (заявки) в очереди: 7) среднее число заявок в очереди (длина
очереди): Задача 1
. Специализированный пост
диагностики представляет собой одноканальную
СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих
проведения диагностики, ограниченно и равно 3.
Если все стоянки заняты, то очередной автомобиль,
прибывший на диагностику, в очередь на
обслуживание не становится. Поток автомобилей,
прибывающих на диагностику, распределен по
закону Пуассона и имеет интенсивность l
= 0.85 (автомобиля в час). Время
диагностики автомобиля распределено по
показательному закону и в среднем составляет 1.05
час. Требуется определить вероятностные
характеристики поста диагностики, работающего в
стационарном режиме. > lambda:=0.85;
2) Зададим среднее время обслуживания и
выразим интенсивность потока обслуживания
автомобилей: > t:=1.05:mu:=1/t;
3) Найдем приведенную интенсивность
потока автомобилей как отношение интенсивностей
l
и m
, т.е.. > rho:=lambda/mu;
4) Вычислим финальные вероятности
системы: > N:=4:P:=(1-rho)/(1-rho^(N+1));P:=rho*P;P:=rho^2*P;P:=rho^3*P;P:=rho^4*P;
5) Вероятность отказа в обслуживании
автомобиля:: > P:=P;
Отсюда следует, что пост диагностики не
обслуживает автомобили в среднем в 15.8% случаев. > q:=1-P;
7) Абсолютная пропускная способность
поста диагностики (автомобиля в час): > A:=lambda*q;
8) Среднее число автомобилей в СМО: > L[s]:=rho*(1-(N+1)*rho^N+N*rho^(N+1))/((1-rho)*(1-rho^(N+1)));
9) Среднее время пребывания автомобиля в
СМО: > W[s]:=L[s]/(lambda*(1-P[N]));
10) Средняя продолжительность пребывания
заявки в очереди на обслуживание: > W["q"]:=W[s]-1/mu;
11) Среднее число заявок в очереди (длина
очереди): > L["q"]:=lambda*(1-P[N])*W["q"];
Для статистического моделирования
работы поста диагностики составим следующую
процедуру: > p:=proc(k) global
t_och1,t_och2,t_och3,sm_t_obs,post,otk,obsl:local t1,t_okon,t,rn_post,och,per: Принятые обозначения: Повторите опыт 50 раз в цикле, найдите
оценки характеристик СМО, сравните их с
теоретическими значениями. Задача 2
: В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать: 1) A
- абсолютную пропускную способность СМО
, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; 2) Q
- относительную пропускную способность
, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой; 3) P_{\text{otk}}
- вероятность отказа
, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной; 4) \overline{k}
- среднее число занятых каналов
(для многоканальной системы). Рассмотрим задачу. Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью \lambda
. Поток обслуживании имеет интенсивность \mu
. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности. Примечание.
Здесь и в дальнейшем предполагается, что все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, будут простейшими. К ним относится и поток обслуживании - поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. Среднее время обслуживания обратно по величине интенсивности \mu
, т.е. \overline{t}_{\text{ob.}}=1/\mu
. Система S
(СМО) имеет два состояния: S_0
- канал свободен, S_1
- канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6. В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид (см. выше правило составления таких уравнений) \begin{cases}\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end{cases}
P_0=\frac{\mu}{\lambda+\mu},\quad p_1=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,
Q=\frac{\mu}{\lambda+\mu}\,
P_{\text{otk}}=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\,.
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q
на интенсивность потока отказов A=\frac{\lambda\mu}{\lambda+\mu}\,.
Пример 5.
Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью \lambda
, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера. Решение.
Имеем \lambda=90
(1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}=2
мин. Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{2}=0,\!5
(1/мин) =30
(1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО Q=\frac{30}{90+30}=0,\!25
, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит P_{\text{otk}}=0,\!75
(см. (21)). Абсолютная пропускная способность СМО по (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5
, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок. Рассмотрим классическую задачу Эрланга
. Имеется n
каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью \lambda
. Поток обслуживании имеет интенсивность \mu
. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности. Система S
(СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n
, где S_k
- состояние системы, когда в ней находится k
заявок, т.е. занято k
каналов. Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7. Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью \lambda
. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S_2
(два канала заняты), то она может перейти в состояние S_1
(один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2\mu
. Аналогично суммарный поток обслуживании, переводящий СМО из состояния S_3
(три канала заняты) в S_2
, будет иметь интенсивность 3\mu
, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д. В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния P_0={\left(1+ \frac{\lambda}{\mu}+ \frac{\lambda^2}{2!\mu^2}+\ldots+\frac{\lambda^k}{k!\mu^k}+\ldots+ \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}\right)\!}^{-1},
где члены разложения \frac{\lambda}{\mu},\,\frac{\lambda^2}{2!\mu^2},\,\ldots,\,\frac{\lambda^k}{k!\mu^k},\,\ldots,\, \frac{\lambda^n}{n!\mu^n}
, будут представлять собой коэффициенты при p_0
в выражениях для предельных вероятностей p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n
. Величина \rho=\frac{\lambda}{\mu}
P_0={\left(1+\rho+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1},
P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac{\rho^2}{2!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Формулы (25) и (26) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга
в честь основателя теории массового обслуживания. Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все я каналов системы будут заняты, т.е. P_{\text{otk}}= \frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка будет обслужена: Q=1- P_{\text{otk}}=1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0.
Абсолютная пропускная способность: A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Среднее число занятых каналов \overline{k}
есть математическое ожидание числа занятых каналов: \overline{k}=\sum_{k=0}^{n}(k\cdot p_k),
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы A
есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных
системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем \mu
заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов \overline{k}=\frac{A}{\mu}
Или, учитывая (29), (24):
\overline{k}=\rho\cdot\left(1-\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0\right)\!.
Пример 6.
В условиях примера 5 определить оптимальное число телефонных номеров в телевизионном ателье, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры. Решение.
Интенсивность нагрузки канала по формуле (25) \rho=\frac{90}{30}=3
, т.е. за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора \overline{t}_{\text{ob.}}=2
мин. поступает в среднем 3 заявки на переговоры. Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) n=2,3,4,\ldots
и определим по формулам (25), (28), (29) для получаемой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Например, при n=2
имеем З_0={\left(1+3+ \frac{3^2}{2!}\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4
и т.д. Значение характеристик СМО сведем в табл. 1. По условию оптимальности Q\geqslant0,\!9
, следовательно, в телевизионном ателье необходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q=0,\!9
- см. табл. 1). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (A=80,\!1)
, а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (30) \overline{k}=\frac{80,\!1}{30}=2,\!67
. Пример 7.
В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра. Решение.
По условию n=3,~\lambda=0,\!25
(1/ч), \overline{t}_{\text{ob.}}
=3 (ч). Интенсивность потока обслуживании \mu=\frac{1}{\overline{t}_{\text{ob.}}}=\frac{1}{3}=0,\!33
. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) \rho=\frac{0,\!25}{0,\!33}=0,\!75
. Найдем предельные вероятности состояний: – по формуле (25) p_0={\left(1+0,\!75+ \frac{0,\!75^2}{2!}+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476
; – по формуле (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac{0,\!75^2}{2!}\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033
; Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P_{\text{otk}}=p_3=0,\!033
. По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q=1-0,\!033=0,\!967
, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок. По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242
, т.е. в один час в среднем обслуживается. 0,242 заявки. По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ \overline{k}=\frac{0,\!242}{0,\!33}=0,\!725
, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на \frac{72,\!5}{3}= 24,\!2%.
. При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.
, n=N,
,
1) вероятность отказа в обслуживании заявки:
;
;
;
;
Решение
:
1) Интенсивность прибытия автомобилей на
обслуживание:
6) Относительная пропускная способность поста
диагностики:
t_och1:=0:t_och2:=0:t_och3:=0:post:=0:otk:=0:obsl:=0:t_okon:=0:sm_t_obs:=0:och:=0:rn_post:=rand(1..1200):
for t from 1 by 1 to k do
t1:=rn_post():
if och=1 then t_och1:=t_och1+1 fi:
if och=2 then t_och2:=t_och2+1 fi:
if och=3 then t_och3:=t_och3+1 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon=0 and och>=0 and och<=3 then per:=1 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon>0 and och>=0 and och<3 then per:=2 fi:
if t1>=1 and t1<=17 and t_okon>0 and och=3 then per:=3 fi:
if t1>17 and t_okon>0 then per:=4 fi:
if t1>17 and t_okon=0 and och>0 then per:=5 fi:
if per=1 then t_okon:=stats():
sm_t_obs:=sm_t_obs+t_okon:obsl:=obsl+1:post:=post+1 fi:
if per=2 then t_okon:=t_okon-1:obsl:=obsl+1:och:=och+1:post:=post+1 fi:
if per=3 then t_okon:=t_okon-1:otk:=otk+1:post:=post+1 fi:
if per=4 then t_okon:=t_okon-1 fi:
if per=5 then t_okon:=stats(): sm_t_obs:=sm_t_obs+t_okon:och:=och-1 fi
od end:
t_och1,t_och2,t_och3 - количество минут, когда в очереди 1, 2
и 3 машины соответственно;
sm_t_obs - затрачено всего минут на обслуживание;
post - прибыло машин на обслуживание; otk - количество
отказов в обслуживании; obsl - обслужено машин;
t_obsl - продолжительность обслуживания машины,
инициализируется как случайная величина,
распределенная по закону Пуассона с
математическим ожиданием 65 минут (1 час 5 минут);
t1 - случайная величина, с одинаковой вероятностью
принимающая целые значения из интервала от 1 до
12000. Если t1>=0 и t1<=17, то считаем, что на пункт
диагностики поступила заявка (интенсивность 0.85
заявки в час = 17/12000 заявки в минуту);
t - параметр цикла (количество минут).
Проведем опыт продолжительностью в 5000 минут:
> p(5000);print("Поступило на
обслуживание автомобилей
",post);print("Обслужено ",obsl);
print("Отказано в обслуживании ",otk);
print("Затрачено на обслуживание
",sm_t_obs,"мин."); print(t_och1," мин. 1 машина в
очереди");print(t_och2,"мин. 2 машины в очереди");
print(t_och3," мин. 3 машины в очереди");
1) Модифицируйте процедуру для вычисления
числовых характеристик СМО. Задайте
продолжительность опыта в 1000 минут и повторите
опыт, например, 5 раз. Затем вычислите средние
значения каждой характеристики СМО. Сравните
опытные данные с вероятностными
характеристиками СМО.
2) Смоделируйте работу СМО для случая, когда
автомобиль обслуживается ровно 1 час 5 минут, а
все остальные параметры остаются прежними.
Сравните полученные данные с результатами
предыдущего пункта.
3) Так как интенсивность поступления заявок равна
0.85 машины в час, то в среднем промежуток времени
между поступлениями заявок составляет 1/0.85=100/85
часа, или около 71 минуты. Задайте интервал между
поступлениями заявок с помощью функции stats() и проведите ряд испытаний работы СМО.
Сравните средние значения характеристик,
полученных опытным путем, с вероятностными
характеристиками.
4) Задайте интенсивность обслуживания в 70 минут, а
число стоянок для машин равной 4, и проведите
испытания работы поста диагностики. Повторите
опыт для случая, когда интенсивность
обслуживания составляет 60 минут, а число стоянок
2. Как изменятся характеристики поста
диагностики?
5) Смоделируйте работу поста диагностики при
условии, что число стоянок не ограниченно.Одноканальная система (СМО) с отказами
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p_0+p_1=1
, найдем из (18) предельные вероятности состояний
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S_0
(когда канал свободен) и S_1
(когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q
системы и вероятность отказа P_{\text{otk}}:
Многоканальная система (СМО) с отказами
называется приведенной интенсивностью потока заявок
или интенсивностью нагрузки канала
. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
где p_k
- предельные вероятности состояний, определяемых по формулам (25), (26).
т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!