Введение

Периодическая зависимость играть роль общего типа компонентов временного ряда. Не сложно заметить, что каждое наблюдение очень похоже на пограничное; к тому же имеется повторяющаяся периодическая составляющая, что означает, что каждое наблюдение также похоже на наблюдение, имевшееся в том же самое время период назад.

В общей сложности, периодическая зависимость может быть формально определена как корреляционная зависимость порядка n между каждым i-м элементом ряда и (i-n) - м элементом. Ее можно измерять с помощью автокорреляции (т.е. корреляции между самими членами ряда); n обычно называют лагом (иногда используют эквивалентные термины: сдвиг, запаздывание). Если оплошность измерения не слишком большая, то периодичность можно определить визуально, рассматривая поведение членов ряда через каждые n временных единиц.

Периодические составляющие временного ряда могут быть отысканы с помощью коррелограммы. Коррелограмма (автокоррелограмма) представляет численно и графически автокорреляционную функцию. Другими словами, коэффициенты автокорреляции для последовательности шагов из определенного диапазона. На коррелограмме просто отмечается диапазон в размере двух стандартных ошибок на каждом лаге, однако обычно величина автокорреляции более интересна, чем ее надежность, потому что интерес в основном представляют очень сильные автокорреляции .

При изучении коррелограмм следует знать следующее: автокорреляции последовательных лагов формально зависимы между собой.

Рассмотрим пример. Если первый член ряда тесно связан со вторым, а второй с третьим, то первый элемент должен также каким-то образом зависеть от третьего и т.д. Это приводит к тому, что периодическая зависимость может существенно измениться после удаления автокорреляций первого порядка, (т.е. после взятия разности с лагом 1).

Цель работы:

1. Дать основные теоретические сведения

2. Дать примеры расчета АКФ

Теоретические сведения

Коэффициент автокорреляции и его оценка

Для совершенной характеристики случайного движения недостаточно его математического ожидания и дисперсии. Вероятность того, что на определенном месте возникнут те или иные конкретные значения зависит от того, какие роли случайная величина получила раньше или будет получать позже.

Другими словами, существует поле рассеяния пар значений x(t), x (t+n) временного ряда, где n - постоянный интервал или задержка, которая характеризует зависимость последующих реализаций процесса от предыдущих. Теснота этой взаимосвязи оценивается коэффициентами автоковариации -

g (n) = E[(x(t) - m) (x (t + n) - m)] -

и автокорреляции

r (n) = E[(x(t) - m) (x (t + n) - m)] / D,

где m и D - математическое ожидание и дисперсия случайного процесса. Для расчета автоковариации и автокорреляции реальных процессов необходима информация о совместном распределении вероятностей уровней ряда p (x(t 1), x(t 2)).

r (n) = g (n) /g (0),

откуда вытекает, что r (0) = 1. В тех же условиях стационарности множитель корреляции r (n) между двумя значениями временного ряда зависит лишь от величины временного интервала n и не зависит от самих моментов наблюдений t. Коэффициент автокорреляции может быть оценен и для нестационарного ряда, но в этом случае его вероятностная интерпретация теряется.

В статистике имеется несколько выборочных оценок теоретических значений автокорреляции r (n) процесса по конечному временному ряду из n наблюдений. Наиболее популярной оценкой является нециклический коэффициент автокорреляции с задержкой n

Главным из различных коэффициентов автокорреляции является первый - r 1 , измеряющий тесноту связи между уровнями x(1), x(2),…, x (n -1) и x(2), x(3),…, x(n).

Распределение коэффициентов автокорреляции неизвестно, поэтому для оценки их правдивости иногда используют непараметрическую теорию Андерсона (1976), предложившего статистику

t = r 1 (n -1) 0.5 ,

которая при достаточно большой выборке распределена нормально, имеет нулевую среднюю и дисперсию, равную единице (Тинтнер, 1965).

При обработке временных рядов необходимо учитывать наличие автокорреляции и авторегрессии , при которых значения последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений.

Автокорреляция – явление взаимосвязи между рядами: первоначальным и этим же рядом сдвинутым относительно первоначального положения на h моментов времени.

Количественно автокорреляцию можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

Эту величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями и и определяется по формуле:

где

Сдвиг между соседними уровнями или сдвинутыми на любое число периодов времени называютвременным лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Коэффициент корреляции строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Пример 3.

Пусть имеются некоторые условные данные (таблица 11) об общем количестве поступившей товарной продукции на склад предприятия.

Таблица 11 – Общее количество поступившей товарной продукции на склад.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой .

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка 2, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в 2 момента времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.

Рассмотрим пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики Татарстан).

Таблица 4.1

Год	Квартал	Количество возбужденных дел,
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV

Построим поле корреляции:

Уже исходя из графика видно, что значения образуют пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.

Таблица 4.2



		–	–	–	–	–	–
			-328,33	-288,13	94601,72	107800,59	83018,90
			169,67	-292,13	-49565,70	28787,91	85339,94
			315,67	205,87	64986,98	99647,55	42382,46
			-342,33	351,87	-120455,66	117189,83	123812,50
			-228,33	-306,13	69898,66	52134,59	93715,58
			292,67	-192,13	-56230,69	85655,73	36913,94
			320,67	328,87	105458,74	102829,25	108155,48
			-309,33	356,87	-110390,60	95685,05	127356,20
			-344,33	-273,13	94046,85	118563,15	74600,00
			292,67	-308,13	-90180,41	85655,73	94944,10
			205,67	328,87	67638,69	42300,15	108155,48

			-238,33	241,87	-57644,88	56801,19	58501,10
			-245,33	-202,13	49588,55	60186,81	40856,54
			220,67	-209,13	-46148,72	48695,25	43735,36
			227,67	256,87	58481,59	51833,63	65982,20
Сумма			9,05	0,05	74085,16	1153766,39	1187469,73
Среднее значение	699,33	663,13	–	–	–	–	–

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Таблица 4.3



		–	–	–	–	–	–
		–	–	–	–	–	–
			145,57	-269,79	-39273,33	21190,62	72786,64
			291,57	-273,79	-79828,95	85013,06	74960,96
			-366,43	224,21	-82157,27	134270,94	50270,12
			-252,43	370,21	-93452,11	63720,90	137055,44
			268,57	-287,79	-77291,76	72129,84	82823,08
			296,57	-173,79	-51540,90	87953,76	30202,96
			-333,43	347,21	-115770,23	111175,56	120554,78
			-368,43	375,21	-138238,62	135740,66	140782,54
			268,57	-254,79	-68428,95	72129,84	64917,94
			181,57	-289,79	-52617,17	32967,66	83978,24
			-262,43	347,21	-91118,32	68869,50	120554,78
			-269,43	260,21	-70108,38	72592,52	67709,24
			196,57	-183,79	-36127,60	38639,76	33778,76
			203,57	-190,79	-38839,12	41440,74	36400,82
Сумма			-0,02	-0,06	-1034792,71	1037835,43	1116776,36
Среднее значение	723,43	644,79	–	–	–	–	–

При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют Автокорреляцией уровней ряда .

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Формула для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:

(4.1)

Эту величину называют Коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка , так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .

(4.2)

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют Лагом . С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше .

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и также характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют Автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется Коррелограммой .

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т. е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Рассмотрим Пример . Пусть имеются некоторые условные данные об общем объеме потребления электроэнергии на одном из предприятий города.

Таблица 4.1

Построим поле корреляции:

Уже исходя из графика видно, что значения Y образуют пилообразную фигуру.

Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу (см. табл. 4.2).

Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т. к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.

Теперь вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):

Составляем вспомогательную таблицу 4.3 для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.

Следовательно

Аналогично находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные значения заносим в сводную таблицу 4.4.

Таблица 4.2




















Значение

Таблица 4.3

Для выявления структуры ряда (т. е. состава компонент) строят автокорреляционную функцию.

Автокорреляция уровней ряда – корреляционная между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L – лаг). То есть связь между рядом: Х 1 , Х 2 , ... Х n-L и рядом Х 1+L , Х 2+L , ... Х n , где L – положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L = 1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-го порядка r t,t-1 . Если L = 2, то коэффициент автокорреляции 2-го порядка r t,t-2 и т.д.

Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции, равный n/4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (I), при котором автокорреляция (r t,t-L) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

Если наиболее высоким оказывается значение r t,t-1 , то исследуемый ряд додержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался r t,t-L , то ряд содержит (помимо тенденции) колебания периодом L.

Если ни один из r t,t-L (l=1;L) не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:

Либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;

Либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда . График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Чтобы найти коэффициент корреляции 1-го порядка, нужно найти корреляцию между рядами (расчет производится не по 14, а по 13 парам наблюдений):

Два важных свойства коэффициента автокорреляции:

1) Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. По-этому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

2) По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Сдвигаем исходный ряд на 1 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 1
3.18	4.31
4.31	5.66
5.66	6.89
6.89	9.47
9.47	12.34
12.34	14.36
14.36	18.08
18.08	20.63
20.63	24.3
24.3	30.2
30.2	37.04
37.04	43.81
43.81	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 1-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-1:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r t,t-1 < 0.3: слабая;

0.3 < r t,t-1 < 0.5: умеренная;

0.5 < r t,t-1 < 0.7: заметная;

0.7 < r t,t-1 < 0.9: высокая;

0.9 < r t,t-1 < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между рядами - весьма высокая и прямая.

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	4.31	10.11	18.58	13.71
4.31	5.66	18.58	32.04	24.39
5.66	6.89	32.04	47.47
6.89	9.47	47.47	89.68	65.25
9.47	12.34	89.68	152.28	116.86
12.34	14.36	152.28	206.21	177.2
14.36	18.08	206.21	326.89	259.63
18.08	20.63	326.89	425.6	372.99
20.63	24.3	425.6	590.49	501.31
24.3	30.2	590.49	912.04	733.86
30.2	37.04	912.04	1371.96	1118.61
37.04	43.81	1371.96	1919.32	1622.72
43.81	48.32	1919.32	2334.82	2116.9
230.27	275.41	6102.65	8427.36	7162.43

Сдвигаем исходный ряд на 2 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 2
3.18	5.66
4.31	6.89
5.66	9.47
6.89	12.34
9.47	14.36
12.34	18.08
14.36	20.63
18.08	24.3
20.63	30.2
24.3	37.04
30.2	43.81
37.04	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 2-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-2:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	5.66	10.11	32.04
4.31	6.89	18.58	47.47	29.7
5.66	9.47	32.04	89.68	53.6
6.89	12.34	47.47	152.28	85.02
9.47	14.36	89.68	206.21	135.99
12.34	18.08	152.28	326.89	223.11
14.36	20.63	206.21	425.6	296.25
18.08	24.3	326.89	590.49	439.34
20.63	30.2	425.6	912.04	623.03
24.3	37.04	590.49	1371.96	900.07
30.2	43.81	912.04	1919.32	1323.06
37.04	48.32	1371.96	2334.82	1789.77
186.46	271.1	4183.34	8408.79	5916.94

Сдвигаем исходный ряд на 3 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 3
3.18	6.89
4.31	9.47
5.66	12.34
6.89	14.36
9.47	18.08
12.34	20.63
14.36	24.3
18.08	30.2
20.63	37.04
24.3	43.81
30.2	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 3-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-3:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	6.89	10.11	47.47	21.91
4.31	9.47	18.58	89.68	40.82
5.66	12.34	32.04	152.28	69.84
6.89	14.36	47.47	206.21	98.94
9.47	18.08	89.68	326.89	171.22
12.34	20.63	152.28	425.6	254.57
14.36	24.3	206.21	590.49	348.95
18.08	30.2	326.89	912.04	546.02
20.63	37.04	425.6	1371.96	764.14
24.3	43.81	590.49	1919.32	1064.58
30.2	48.32	912.04	2334.82	1459.26
149.42	265.44	2811.38	8376.75	4840.25

Сдвигаем исходный ряд на 4 уровней. Получаем следующую таблицу:

y t	y t - 4
3.18	9.47
4.31	12.34
5.66	14.36
6.89	18.08
9.47	20.63
12.34	24.3
14.36	30.2
18.08	37.04
20.63	43.81
24.3	48.32

Расчет коэффициента автокорреляции 4-го порядка .

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент автокорреляции

Линейный коэффициент автокорреляции r t,t-4:

x	y	x 2	y 2	x y
3.18	9.47	10.11	89.68	30.11
4.31	12.34	18.58	152.28	53.19
5.66	14.36	32.04	206.21	81.28
6.89	18.08	47.47	326.89	124.57
9.47	20.63	89.68	425.6	195.37
12.34	24.3	152.28	590.49	299.86
14.36	30.2	206.21	912.04	433.67
18.08	37.04	326.89	1371.96	669.68
20.63	43.81	425.6	1919.32	903.8
24.3	48.32	590.49	2334.82	1174.18
119.22	258.55	1899.34	8329.28	3965.71

Вывод : в данном ряду динамики имеется тенденция (r t,t-1 = 0.997 → 1).

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:

Автокорреляция

Вместе с этой задачей решают также:

Тест Дарбина-Уотсона

Выявление тренда методом аналитического выравнивания

Уравнение нелинейной регрессии

Показатели динамики: цепные и базисные

Анализ сезонных колебаний

Аддитивная модель временного ряда

Мультипликативная модель временного ряда

Онлайн сдача дистанционных тестов

Список литературы

1. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.

2. Эконометрика: Учебник/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 576 с.

3. Эконометрика: Учебно-методическое пособие/ Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2004. – 198 с.

Коэффициент автокорреляции и его оценка.

Коэффициент автокорреляции и его оценка.

Введение

Теоретические сведения

Коэффициент автокорреляции и его оценка